Министерство образования и науки Российской Федерации Сибирский федеральный университет

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Методы математической статистики и их реализация в среде Mathcad.

Учебно-методическое пособие

Красноярск

СФУ

2012

УДК 519.2(07) B14

Вайнштейн И.И.,Кустицкая Т.А.

Теория вероятностей и математическая статистика. Методы математической статистики и их реализация в среде Mathcad: учебно-методическое пособие / И.И. Вайнштейн, Т.А. Кустицкая. - Красноярск: Сиб. федер. ун-т, 2012. - 88 с.

Пособие содержит краткие теоретические сведения по математической статистике, задания для лабораторных работ, руководство по выполнению лабораторных работ в среде Mathcad, примеры расчетов и необходимые справочные данные.

Предназначено для студентов, обучающихся по направлениям 090900.62, 220400.62,

220700.62, 230400.62, 231300.62.

УДК 519.2(07) В14

c Сибирский федеральный университет, 2012

Предисловие

Данное пособие предназначено для обеспечения лабораторных занятий и самостоятельной работы студентов в рамках курса "Теория вероятностей и математическая статистика" и "Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы".

Пособие состоит из восьми разделов. Первый раздел посвящен задачам описательной статистики, второй и третий раздел посвящены задачам оценивания, разделы с четвертого по шестой - проверке статистических гипотез, в седьмом и восьмом разделах рассматриваются методы исследования зависимостей в экспериментальных данных.

В начале каждого раздела излагаются теоретические сведения, при необходимости описываются особенности программной реализации того или иного метода. Далее излагаются примеры решения подобных задач в пакете Mathcad, сопровождаемые подробными комментариями. В последнем подразделе приводятся варианты заданий для лабораторной работы.

Предполагается, что студенты знают основы теории вероятностей и имеют начальное представление о работе в математических пакетах. В данном пособии принципы программной реализации изложены на примере пакета Mathcad, однако все предлагаемые лабораторные работы могут быть выполнены и в других математических пакетах (Maple, Mathlab и др.).

Пособие ориентировано прежде всего на студентов, обучающихся по специальностями "Прикладная математика" , "Информационная безопасность" и "Компьютерная безопасность" , но может быть использовано и для подготовки студентов, специализирующихся в области информационных систем и технологий, управления в технический системах, автоматизации технологических процессов.

3

1. Обработка статистических данных

1.1Первичная обработка статистических данных, выборочные характеристики

Основные понятия выборочного метода

Пусть G - эксперимент, связанный со случайной величиной X, имеющей распределение F . Рассмотрим n независимых повторений эксперимента G и обозначим x1; x2 : : : ; xn совокупность полученных наблюдений. Вектор x = (x1; x2; : : : ; xn) называется выборкой объема n из совокупности с распределением F . Символьно это обозначается x 2 F .

Рассмотрим случайную величину Z, дискретное распределение которой сосредоточено в точках x1; x2; : : : ; xn, и для которой вероятность значения xi(i = 1; 2 : : : ; n) равна 1=n. Соответствующую функцию распределения Fn можно записать так:

	xXi				ny
Fn(y) =		1		=		; где ny число элементов выборки, меньших y:
		n			n
	<y

Распределение случайной величины Z называется эмпирическим распределением, построенным по выборке x, а функция Fn - эмпирической функцией распределения.

Если элементы выборки x упорядочить по возрастанию, то получится последовательность x(1) x(2) x(n); которая называется вариационным рядом. По нему можно построить эмпирическую функцию распределения

8

0;

>

>

<k Fn(y) = >n;

>

:1;

y x(1);

x(k) < y x(k+1);

y > x(n)

При возрастании объема выборки эмпирическая функция распределения неограниченно приближается к функции распределения исходного распределения F . Об этом гласят следующие теоремы:

4

интервалов группировки (k(n) ! 1; так что

Теорема 1.1 Пусть x = (x1; : : : ; xn) - выборка объема n из неизвестного распределения с функцией распределения F . Пусть Fn - эмпирическая функция распределения, построенная по этой выборке. Тогда 8y 2 R

P

Fn(y) ! F (y) при n ! 1:

Теорема 1.2 (Гливенко-Кантелли) Пусть x = (x1; : : : ; xn) - выборка объема n из неизвестного распределения с функцией распределения F . Пусть Fn - эмпирическая функция распределения, построенная по этой выборке. Тогда

P

sup jFn(y) F (y)j ! 0 при n ! 1:

y2R

В этих теоремах имеет место сходимость по вероятности.

Гистограмма и полигон

Разделим область выборочных данных на интервалы 1; 2; : : : ; k. Обозначим за nj (j = 1; 2; : : : ; k) число элементов выборки, попавших в интервал j.

На каждом из интервалов j строим прямоугольник, площадь которого пропорциональна nj . Общая площадь всех прямоугольников должна быть равна единице.

Пусть lj - длина интервала j. Высота hj прямоугольника над ин-

тервалом j равна

hj = nj : nlj

Верхний контур полученной фигуры, состоящий из горизонтальных отрезков называется гистограммой. Имеет место следующая теорема о приближении гистограммы к функции плотности распределения:

Теорема 1.3 Если плотность распределения элементов выборки является непрерывной функцией, то при неограниченном увеличении числа

k(n)

n ! 0) имеет место сходимость по вероятности гистограммы к плотности распределения.

Если гистограмму модифицировать следующим образом - соединить отрезками прямых середины горизонтальных отрезков, то полученная ломанная является графиком непрерывной функции и называется полигоном частот. Здесь середины крайних отрезков (соответствующие1 и k) соединяются с осью абсцисс так, чтобы по-прежнему суммарная площадь под графиком равнялась единице.

5

Выборочные характеристики

Выборочным моментом порядка k называется величина

1			n
			Xi
ak =			xik:
n			=1

Выборочный центральный момент порядка k равен

1		n
		Xi
ako =	n	(xi ak)k:
		=1

Момент a1 называется выборочным средним и обозначается

	1		n
			Xi
X =			Xi:
		n
			=1

Момент ao2 называется выборочной дисперсией и обозначается

	1			n
				Xi
	S2 = n
				(xi X)2:
				=1

Также большую роль в математической статистике играет несмещенная выборочная дисперсия, которая вычисляется по формуле

		1		n
				Xi
S 2 = n			1
				(xi X)2:
				=1

Рассмотренные характеристики являются выборочными аналогами неизвестных истинных моментов распределения.

1.2Обработка данных в Mathcad

В среде Mathcad предусмотрена возможность генерации последовательности случайных чисел с соответствующим законом распределения.

Для реализации этой возможности служит класс встроенных функций с составными названиями вида r*(M, par), где буква r означает, что функция генерирует вектор, * задает тип распределения, M - объем выборки, par - список параметров распределения. Таким образом, функция r*(M, par) возвращает вектор M независимых случайных чисел, каждое из которых имеет соответствующее распределение.

6

Например, с помощью функции rbinom(n, k,p) генерируется выборка объема n из биномиального распределения Bpk.

Другие статистические функции строятся с помощью конструкций: d*(x, par) - плотность вероятности (x - значение случайной величины); p*(x, par) - функция распределения (x - значение случайной величины); q*(p, par) - квантиль распределения порядка p.

В табл. 1.1 перечислены некоторые типы распределений, реализованные в Mathcad. Звездочкой * обозначена недостающая первая буква встроенных функций.

Таблица 1.1. Обозначения основных типов распределений в Mathcad

*beta(x; s1; s2) - бета распределение (0 < x < 1, s1; s2 - параметры); *binom (n; k; p) - биномиальное распределение (k 2 Z, 0 n k,

0 p 1 - параметр, равный вероятности единичного испытания ); *chisq(x; d) - 2-распределение (d > 0) - число степеней свободы; *exp(x; r) - показательное распределение (r > 0);

*F(x; d1; d2) - распределение Фишера (d1; d2 > 0 - числа степеней свободы);

*gamma(x; s) - гамма-распределение (s > 0- параметр формы); *geom(k; p) - геометрическое распределение (0 p 1 - параметр, равный вероятности успеха единичного испытания);

*lnorm(x; ; ) - логарифмически нормальное распределение ( - натуральный логарифм математического ожидания, > 0 - натуральный логарифм среднеквадратичного отклонения);

*norm(x; ; ) - нормальное распределение ( - математическое ожидание, > 0 - среднеквадратичное отклонение);

*pois(k; ) - распределение Пуассона ( > 0 - параметр);

*t(x; d) - распределение Стьюдента (d > 0- число степеней свободы); *unif(x; a; b) - равномерное распределение (a < b - границы интервала)

Для построения графиков функции распределения, плотности распределения и гистограммы мы будем пользоваться шаблоном двухмерных графиков. На панели инструментов Graph (График) нажимаем кнопку X-Y Plot(X-Y (декартов) график), в местозаполнитель вдоль оси абсцисс вводим имя агрумента функции, вдоль оси ординат - имя функции. Саму функцию нужно определить выше в тексте программы.

По умолчанию график строится в виде линии. При построении гистограммы необходимо поменять стиль отображения рядов данных. Для этого в диалоговом окне Formatting Currently Selected Graph (Форматирование) на вкладке Traces (Графики) нужно установить тип списка bar (Столбцы).

7

Генерируется выборка объема 2000 из распределения N0;1. Задается число столбцов в гистограмме.

Определяются границы области значений случайной величины и вычисляется длина интервалов

группировки.

Формируется вектор, компоненты которогоконцы интервалов группировки.

Вычисляется высота прямоугольника, построенного над j-м интервалом группировки.

Функция плотности распределения N0;1.

Рис. 1.1. Построение гистограммы

8

На рис 1.1 приведен пример построения гистограммы для выборки объема n = 2000 из нормального распределения N0;1. В данном случае область выборочных данных была разбита на 20 равных интервалов.

1.3Задание к лабораторной работе 1

Сгенерировать выборку из N элементов, имеющих указанное в вашем варианте распределение (основные характеристики распределения в Приложении).

1.Вычислить выборочные моменты и центральные выборочные моменты до 3-го порядка включительно.

2.Составить эмпирическую функцию распределения. В одной системе координат построить график эмпирической и теоретической функций распределения. Увеличивая объем выборки с N до 2N, 3N, убедиться

спомощью построенного графика в стремлении эмпирической функции распределения к теоретической.

3.В одной системе координат построить гистограмму и теоретическую функцию плотности распределения (если она является непрерывной), сравнить полученные графики и оценить, действительно ли гистограмма является приближением функции плотности вероятности.

Указание: Из встроенных статистических функций разрешено пользоваться только функциям, генерирующими выборки из распределений.

Варианты заданий

1.x - выборка из биномиального распределения Bpk, где p = 0:7; k = 50.

2.x - выборка из равномерного распределения U2;4.

3.x - выборка из показательного распределения E , где = 2.

4.x - выборка из распределения Фишера Fk;m, где k = 2; m = 10.

5.x - выборка из нормального распределения Na; 2 , где a = 2, = 1:5.

6.x - выборка из геометрического распределения Gp с параметром p = 0:75.

7.x - выборка из распределения Стьюдента Tk, где k = 3.

8.x - выборка из распределения Пуассона , где = 3.

10.x - выборка из распределения 2k, где k = 2.

11.x - выборка из гамма-распределения 1; , где = 5.

12.x - выборка из равномерного распределения U 5;2.

13.x - выборка из распределения Фишера Fk;m, где параметрами k = 4; m = 5.

14.x - выборка из биномиального распределения Bpn, где p = 0:3; n = 400.

9

15.x - выборка из гамма-распределения 1; , где = 3.

16.x - выборка из нормального распределения Na; 2 , где a = 5,

= 2.

17.x - выборка из распределения Фишера Fk;m, где k = 6; m = 4.

18.x - выборка из распределения Стьюдента Tk, где k = 10.

19.x - выборка из логнормального распределения с параметрами a = 5; = 3.

20.x - выборка из бета-распределения m;n, где m = 5; n = 5.

21.x - выборка из равномерного распределения U0;10.

22.x - выборка из нормального распределения Na; 2 , где a = 1, = 1.

23.x - выборка из показательного распределения E , где = 5.

24.x - выборка из распределения Пуассона , где = 0:7.

25.x - выборка из бета-распределения m;n, где m = 2; n = 3.

10