7.8. Определение вязкости жидкости с использованием формулы Стокса

Стокс экспериментально установил, что при малых Re, т. е. при небольших скоростях движения и небольших геометрических размерах, сопротивление среды обусловлено практически только силами трения. В частном случае для шарика с радиусом r, двигающегося в жидкости с вязкостью  со скоростью v эта сила будет равна

F_СТ = 6rv. (7.26)

Предполагается, что расстояние от тела до границ жидкости, например до стенок сосуда, значительно больше размеров тела.

Пользуясь этой формулой можно определить вязкость жидкости. Рассмотрим для этого шарик из материала с плотностью_ш, опущенный в жидкость с плотностью_ж, рис. 7.16. Шарик будут двигаться вниз под действием трех сил: силы тяжести (m_шg), направленной вниз, выталкивающей силы (m_жg) и силы трения, определяемой согласно (7.26), направленных вверх. Вначале, пока скорость шарика мала, сила трения также будет иметь небольшое значение и шарик будет двигаться вниз ускоренно.

Однако, что поскольку согласно (7.26) сила трения увеличиваться с увеличением скорости, наступит момент, когда сила трения и сила Архимеда уравновесят силу тяжести. Начиная с этого момента движение будет происходить с постоянной скоростью v₀, которуюможно рассчитать, приравняв соответствующие силы:

6rv₀ + m_жg = m_шg. (7.27)

Учитывая, что масса шарика m_ш=_шV_ш=_ш(4r³/3), а масса вытесненной водыm_ж=_жV_ш=_ж(4r³/3), перепишем (7.27) в виде:

6rv = (4r³/3)(_ш – _ж), (7.28)

откуда для вязкости получим:

 = {2(r²g)(_ш – _ж)}/9v₀. (7.29)

Таким образом, измерив скорость установившегося движения шарика в жидкости, его радиус и зная остальные величины входящие в (7.29) можно вычислить вязкость жидкости.

Часть 2. Колебания и волны

1. Колебательное движение. Свободные, затухающие, вынужденные колебания

Колебательными называют процессы, имеющие определенную повторяемость во времени.

Колебания могут быть механическими, электрическими и.т.д. (например численность волков и зайцев в лесу). Колебательные процесс могут использоваться в жизни, а могут оказывать вредные последствия (например, маятник в часах и обрушение моста под ротой солдат, идущих в ногу).

В случае механических колебаний повторяются изменения положений, скоростей и ускорений каких-либо тел.

Силу, под воздействием которой происходит колебательный процесс, называют возвращающей силой.

Колебания могут быть свободными (собственными) иливынужденными.Свободные колебания являютсянезатухающими, если не происходит рассеивания энергии в окружающую среду.

Вынужденные колебаниясовершаются под воздействием внешней периодически изменяющейся силы (вынуждающей силы).

Гармоническими колебаниями называют колебания, при которых смещение тела от положения равновесия совершается по синусоидальному закону.

Для ознакомления с величинами, характеризующими колебательный процесс, рассмотрим простую физическую модель, например, колебания тела на пружинке без трения (рис. 1).

m

Рис. 1

Если начало координат совместить с положением равновесия тела, а затем отклонить его на расстояние х, то возвращающая сила, согласно закону Гука, будет F= –kx. Согласно второму закону Ньютона, уравнение движения будетma=F= –kxили, учитывая, чтоa=d²x/dt²,

F = –kx = m(d²x/dt²) или (d²x/dt²) – (k/m)x = 0. (1)

Будем искать решение уравнения в виде: x=Acos(₀t+₀), тогда

dx/dt= –A₀sin(₀t+₀),d²x/dt²= –A₀²cos(₀t+₀). (2)

Подставляя (2) в (1) получим

(k/m)Acos(₀t + ₀) – A₀² cos(₀t + ₀) = 0, (3)

откуда для угловой частоты колебаний получим:

₀=(k/m) (4)

Таким образом, решением уравнения является синусоида (косинусоида), то есть изменения амплитуды отклонения тела от положения равновесия, его скорость и ускорения будут происходить в соответствии с рис. 2. Начальную фазу по возможности надо принять за 0.

х Т

х₀

t, сек

v

t, сек

а

t, сек

Рис. 2.

При наличии затухания (трения) добавится сила трения F_тр–rv, пропорциональная скорости и уравнение движения примет вид:

(d²x/dt²) + 2(dx/dt) – (k/m)x = 0, (5)

Где введено обозначение 2=r/m. Его решением будет также синусоида, но с экспоненциально убывающей амплитудой х =exp(–t)Acos(₀t+₀) –затухающее колебание.

Для вынужденных колебаний добавится вынуждающая сила F_вн=f₀cosΩt и уравнение будет иметь вид:

(d²x/dt²) + 2(dx/dt) – (k/m)x = f₀ cos Ωt, (6)

Решение которого выходит за рамки данного курса. В случае, когда частота вынуждающей силы Ω совпадает с собственной частотой ₀=(k/m) наступает явление резонанса, при котором амплитуда колебаний резко возрастает.

Примером свободных колебаний может служить математический маятник– материальная точка массыm, подвешенная к неподвижной точке на невесомой нерастяжимой нити (или стержне) длинойlи совершающая движение в вертикальной плоскости под действием силы тяжести –mg(рис. 3).

Уравнение динамики вращательного движения в этом случае имеет вид:

I=N= –mglsin, (7)

гдеI– момент инерции тела (в данном случаеI=ml²),N– момент действующей силы,– угловое ускорение тела. Принимая во внимание, что=d/dt =d²/dt² иI=ml², уравнение (7) примет вид :

ml²(d²/dt²) = –mgl sin. (8)

Для малых углов можно считатьsin=, тогда окончательно получим:

d²/dt²+₀²= 0, (9)

где ₀²=g/l.

Рис. 3

С подобным уравнением мы уде встречались (1) и знаем, что его решением является гармоническое колебание с частотой ₀:

 = asin(₀t+₀). (10)