МАТАН ЭКЗАМЕН / 26 / алгебраические многочдены и их корни

Определение многочлена

Одночленом от некоторой буквы  x  называется алгебраическое выражение  ,  где  a – некоторое число,  x – буква,  n – целое неотрицательное число. Одночлен    отождествляется с числом  a,  т.е. числа мы можем рассматривать как одночлены.

Одночлены называются подобными, если показатели степени у буквы одинаковы. Подобные одночлены можно складывать по правилу:  Это действие называется приведением подобных членов.

Многочленом называется алгебраическая сумма одночленов.

Любой многочлен от одной буквы  x  (ее часто называют переменной) после приведения подобных членов может быть записан по убывающим степеням этой буквы в виде    или по возрастающим степеням   Такая запись многочлена называется канонической.

  Если  ,  то число  n  называют степенью многочлена, коэффициент    – старшим коэффициентом. Коэффициент    называют свободным членом. Константу    считают многочленом степени  0,  нулевому многочлену степень не приписывается. Степень многочлена  P  будем обозначать так:  deg P.

Если на многочлен смотреть как на символическое выражение, то возникает естественный вопрос, что означает, что два многочлена равны между собой? Слово «равенство» используется в двух разных смыслах. Алгебраический смысл равенства многочленов: два многочлена равны, если они состоят из одних и тех же одночленов. Для проверки равенства многочленов надо сравнить коэффициенты при подобных одночленах. В частности, если многочлен содержит только одну букву, то надо сравнить коэффициенты при одинаковых степенях этой буквы.

Например, алгебраическое равенство многочленов от  x    и    означает равенство коэффициентов: a=m,  b=n,  c=p,  d=q.

Тождественный смысл равенства многочленов: многочлены равны, если равны их значения при всех значениях входящих в этот многочлен букв. Проверить тождественное равенство многочленов по такому определению невозможно, так как пришлось бы подставлять бесконечное число значений букв и на это не хватило бы целой жизни. Какова же связь между понятиями алгебраического и тождественного равенства многочленов? В одну сторону связь очевидна: если многочлены равны алгебраически, то они равны и тождественно, так как оба многочлена состоят из одних и тех же членов, и, подставляя в них любые значения букв, мы будем иметь совпадающие числовые выражения. Доказать обратное утверждение, т. е. что из тождественного равенства многочленов следует их алгебраическое равенство, нелегко. В основе этого факта лежит замечательное утверждение о многочленах от одной буквы.

Теорема о тождестве.  Для алгебраического равенства двух многочленов от одной буквы достаточно проверить равенство значений двух многочленов, подставляя вместо букв числа в количестве, большем, чем степень этих многочленов.