§ 3. О статистической проверке гипотез

Пусть дана случайная величина и проведенонезависимых испытаний этой величины, в результате чего получены значения,, …,. Такое множество называют статистической совокупностью.

Положим ,и разделим отрезокнаравных частей,, …,. Пусть– количество элементов статистической совокупности, принадлежащих.

Поставим следующий вопрос: насколько вероятно предположение о том, что данная случайная величина распределена по дифференциальному закону?

Этот вопрос решают обычно следующим образом. Предполагают, что распределена по закону. Тогда событие, состоящее в том, что результатыее испытаний окажутся распределенными по интервалам,, …,с помощью чисел,, …,, имеет некоторую вероятность, зависящую главным образом от гипотетического распределения. Если эта вероятность окажется малой, то высказанную гипотезу (о распределениипо закону) следует опровергнуть. Если же вероятностьокажется близкой к 1, то отвергать гипотезу нет оснований.

Наряду с понятием статистической совокупности используют понятие статистического ряда. Если расположить интервалы в порядке возрастания их центрови для каждого интервала указать, то получится статистический ряд. Статистический ряд гораздо более удобен для исследований, чем статистическая совокупность.

Уточнение поставленной задачи заключается в следующем. Каждому интервалу соответствует вероятностьтого, что случайная величинапримет значение в этом интервале ( теоретическая вероятность, которая равна), а также частота наступления этого события в серии изиспытаний, равная( эмпирическая вероятность того, чтопримет значение в).

Если сделанная гипотеза справедлива, то в силу закона больших чисел отклонения малы при большом количестве испытаний.

Для выполнения описанной в общих чертах программы проверки гипотезы необходимо уметь вычислять вероятности того или иного отклонения набора теоретических частот от набора эмпирических частот.

Оказывается, что существуют такие функции от случайных величин ,, …,, распределение которых не зависит ни от гипотетического распределения, ни от количества испытаний, если только оно велико. Среди таких функций чаще других рассматривают функцию:

. (1)

Как установлено американским математиком К. Пирсоном, случайная величина при большихраспределена по дифференциальному закону:

(2)

где – гамма функция.

Функция табулирована.

Тот факт, что величина распределена по закону (2), позволяет вычислить вероятность того, что случайная величинапринадлежит тому или другому интервалу.

Интерес представляют интервалы и. В случае хорошего совпадения теоретических и эмпирических частот величинане будет принимать слишком больших значений. Поэтому вероятностив случае справедливости гипотезы должны быть малы при больших.

Можно задать некоторую малую вероятность и найтитакое, что. При этом естественно считать, что в случае, когда полученное из опыта значениебудет больше, чем, гипотезу следует признать противоречащей опытным данным, в противном случае – непротиворечащей им. В первом случае говорят, что гипотеза несостоятельна на уровне значимости.

Иногда поступают так. Вычисляют по формуле (1) , а затем по таблицам находят вероятность того, что случайная величинапревзойдет значение. Если вероятность такого события мала (это значит, чтонеправдоподобно велико), то гипотеза опровергается.

Параметр в формуле (2) находится из соотношения

, (3)

где – количество интервалов,

– количество связей, налагаемых на эмпирические частоты.

Чаще всего () или(условия на математическое ожидание и дисперсию).

Распределение называют – распределением сстепенями свободы, а изложенный способ проверки гипотез ––критерием Пирсона.

Пример.

Пусть результаты 50 испытаний дали следующее распределение значений величины по интервалам:

	8	11	9	15	7	50

Проверить гипотезу о равномерном распределении случайной величины на отрезке.

Решение.

,,,,.

.

По формуле (1) ,

. По таблице находим, что, следовательно, гипотеза опровергается при уровне значимости более.