Лекция № 5

Определение скоростей и ускорений точек механизма методом планов

Наиболее распространенным методом исследования является графо-аналитический метод – метод планов скоростей и ускорений.

Планом скоростей (ускорений) называют рисунок на котором в масштабе изображены векторы, равные по модулю и направлению скоростям (ускорениям) различных точек звеньев механизма в данный момент времени.

План скоростей (ускорений) построенный для исследуемого положения механизма, это совокупность нескольких планов скоростей (ускорений) отдельных точек звеньев, у которых полюса планов являются общей точкой-полюсом плана скоростей (ускорений) механизма.

Планы скоростей (ускорений) механизма могут строиться как для каждого положения отдельно, так и быть совмещенными.

Из теоретической механики известно, что любое движение точки звена может быть составлено из переносного движения известной точки и относительного движения, искомой точки относительно известной

Движение звена относительно основной системы отсчета называется абсолютным движением. Движение звена относительно подвижной системы отсчета называется относительным движением. Движение подвижной системы отсчета относительно основной называется переносным.

При сложном движении тела абсолютная(ое) скорость (ускорение) точки равна векторной сумме переносной(го)() и относительной (го)скоростей (ускорений) этой точки, т.е.

(5.1)

(5.2)

где и- соответственно нормальное ускорение в относительном движении, направленное по радиусу вращения точки к центру кривизны траектории (центру вращения) и касательное ускорение, направленное перпендикулярно радиусу вращения.

Планы скоростей и ускорений начального звена

Если начальное звено механизма совершает вращательное движение, то скорость его любой точки например В, определится: если задана частота вращения n, то ,

тогда:

где - скорость точкиВ, l_АВ – кратчайшее расстояние от оси вращения до точки В, - угловая скорость звена АВ. Скорость точкиВ перпендикулярна прямой АВ, (), может быть изображена на плане скоростей (на рис.5.1 б) как вектор, модуль которого будет:

«рв» = ,

где - масштабный коэффициент скоростей.

«р» - полюс плана скоростей; «в» - одноименная точка на звене.

Аналогичным образом могут быть построены скорости любых других точек, принадлежавших этому звену.

а) б) в)

Рис. Скорости точки, ускорения и ее планы

б) – план скоростей для точки В начального звена

в) – план ускорений для точкиВначального звена АВ.

На плане ускорений – вектор ускорений точки В -и ее составляющие: - нормальное и - касательное.

; II АВ; (масштабный коэффициент)

; (-угловая скорость звена)

ускорение

Ускорение других точек начинающего звена находятся и строятся аналогичным образом.

Определение скоростей и ускорений групп II класса методом планов

1. Рассмотрим группу II класса первого вида

Кинемат. схема II класс 1 вид

План скоростей II класс 1 вид

ДАНО:векторы абсолютных скоростей точекB, D.

векторы скоростей точки С относительно точек В и D.

Известны векторы скоростей точек В и D концевых элементов группы, которыми звенья 2 и 3 (присоединяются), входят в кинематические пары со звеньями 1 и 4 основного механизма, т.е. скорости и.

Требуется определить вектор скорости т. С.

Движение т. С может быть разложено на переносно-поступательное со скоростью точки В или точки D и относительно-вращательное вокруг точки В или точки D. Тогда векторные уравнения для скорости точки С будут иметь вид:

решая совместно уравнения получаем

(5.3)

Чтобы построить план скоростей, выбираем

,

Масштаб ;

Выбираем в качестве полюса плана скоростей точку «р», где , откладываем по направлениюи векторрвкак и от нее отрезки(рв) и (рd), представляющие собой скорости точек и. Проведем через т.«в» и «d» прямые, имеющие направление векторов относительных скоростей и. Пересечение прямых даст т.«с». Точка «с» определит конец вектора согласно (5.3) выражается отрезком(рс), соединяющим т. «р» с полученной точкой «с».

Величина этой скорости будет равна

Отрезки (вс) и (dс) представляют собой относительные скорости ив том же масштабе, т.е.

Треугольники рвс и рdc – называются планами скоростей звеньев № 2 и № 3, Фигура рвсdр – называется планом скоростей группы ВСD,

точка «р» - плана называется полюсом плана скоростей.

Пользуясь планом скоростей можно определить угловые скорости извеньев № 2 и № 3. Если группа ВСD выполнена в произвольном масштабе то

, .

Для определения скорости какой либо точки Е, лежащей на оси звена ВС имеем векторное уравнение

Согласно этому уравнению из т. «в» плана скоростей проводим направление вектора относительной скорости точки. Е вокруг точки. В. т.к. относительные скорости любых точек, лежащих на оси ВС звена 2,ВС, то направление совпадает с направлением вектора скорости , т.е. отрезок плана скоростей(ве), определяющий скорость совпадает по направлению с отрезком(вс). Величина отрезка определяется:

(1), и

(2)

разделив уравнение (2) на уравнение (1) получаем:

т.е. скорости точек Е и С относительно т. «В» прямо пропорциональны расстояниям этих точек до т. В.

Для определения скорости какой либо произвольной точки F на звене №3: также составляем уравнения:

Векторы искоростей т.D и C нам известны по величине и по направлению, а векторы иизвестны только по направлению. ВекторотрезкуFD, а вектор . Из т.d-плана скоростей проводим прямую FD, а через т. «с»- прямую FC, точка пересечения «f» определяет конец вектора полной скорости т. «F», отрезок «рf».

.

Для удобства графического построения плана скоростей всех звеньев группы, иногда план условно повертывают в одном и том же направлении на угол . Тогда векторы относительно скоростейибудутII ВС и DC.

Рассматривая плана скоростей иCFD на звене, можно видеть, что отрезки сf, fd,dc на плане скоростей соответственно к отрезкам (CF), (FD),(DC) на схеме

т.е. на плане скоростей изображающий относительные скоростигруппы на ее схеме и повернуты относительно его на угол, в. Это свойство подобия фигуры относительных скоростей на плане скоростей фигуре звена на схеме механизма позволяет определять скорости любых точек этого звена не из уравнений, а графически, построением подобных фигур.

Для проверки правильности графического построения подобных фигур на схеме и на плане скоростей: При обходе контура звена по часовой стрелке на схеме например CDF, должно совпадать в том же порядке на плане скоростей: cdf

При определении ускорений группы II класса первого вида, известны векторы иполных ускорений точек В иD. Для определения ускорения а_с точки «С», как и для определения скорости ,точки «С», рассматриваем ее движение как сложное, состоящее из переносного со скоростями и ускорениями т. В и D и относительного вращательного вокруг этих точек. Тогда векторные уравнения для определения ускорения точки С

, (5.5)

где инормальные ускорения в относительном движении

и- тангенциальные ускорения

Решая совместно уравнения получаем

(5.6)

и - известны

Масштаб: 1мм - (м/с²)

Кинемат. схема II класс 1 вид

План ускорений II класс 1 вид

План скоростей предполагается построенным, т.е. известны скорости всех звеньев, тогда. Векторы нормальных ускорений ,в относительном движении может быть определены:

;

Скорости ии угловые скоростиимогут быть определены по построенному плану скоростей, длиныl₂ и l₃ звеньев 2 и 3 определяют по схеме подставляя в полученные равенства длины из плана скоростей в масштабе и со схемы, получаем

; (5.7)

где отрезки (вс) и (dc) взяты из плана скоростей.

В качестве полюса плана выбираем точку «» и откладываем отрезки () и ()- в масштабеускорений точек В иD. Далее по уравнениям (5.7) вычисляем величины ускорений ии откладываем из точкив и d отрезки вn₂ и dn₃, и представляющие в масштабе эти ускорения. Из полученных точек n₂ и n₃ проводим прямые в направлении векторов тангенциальных ускорений ,перпендикулярно ВС и СD. Точка пересечения этих прямых и даст конец вектора полного ускорения точки С, т.е.. Построенные фигурыиносят название планов ускорений звеньев 2 и 3, а вся фигура- называется планом ускорений группыBCD. Точка - называется началом или полюсом плана ускорений.

Соединив точки «в» и «d» плана с точкой «С», получим векторы полных относительных ускорений и. Имеем: =;

Модули угловых ускорений: ;(5.8)

звеньев ВС и CD

Подставляя соответствующие отрезки взятые из ускорений в равенство, получаем

;

Для определения ускорения какой-либо точки Е, лежащей на оси звена ВС воспользуемся уравнением:

Как известно из теоремы механики при вращательном, плоском движении звена около некоторой точки, ускорения всех точек звена пропорциональны радиусом-вектором, соединяющим исследуемые точки центром вращения, направления этих ускорений образуют с этими радиусами постоянный угол , определяемый из уравненияtg=, где -есть угловое ускорение звена, а- угловая скорость звена.

Т.к. относительное движение звена 2 около точки В есть движение вращательное, то, очевидно, что относительные ускорения всех точек звена 2 будут образовывать с радиусами- векторами, выходящими из точки В, постоянный угол , удовлетворяющий соотношению

, следовательно, направление вектора должно совпадать на плане ускорений с направлением вектора, т.е. с направлением отрезка (вс), величина же отрезка (вl) изображающего на плане ускорений ускорение , определяется из условия пропорциональности ускорений радиусом-вектором, т.е.

;

Для определения ускорения точки F жестко связанной со звеном 3, можно токже воспользоваться правилом подобия. Для этого строим на отрезке (сd) плана ускорений , повернутый относительнона постоянный угол, определяемый по формуле:.