- •Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
- •1. Цели и задачи дисциплины
- •2. Требования к уровню освоения содержания дисциплины
- •3.Трудоемкость дисциплины по видам занятий
- •4. Содержание дисциплины
- •4.1. Разделы дисциплины и виды занятий (в часах)
- •4.2. Содержание разделов
- •I семестр
- •Раздел 1. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
- •Раздел 2. Введение в математический анализ: функция, теория пределов,
- •Раздел3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- •Раздел 4. Функции нескольких переменных
- •II семестр Раздел 5 Элементы теории функции комплексного переменного и высшей алгебры
- •Раздел6. Неопределенный интеграл
- •Раздел7. Определенный интеграл
- •Раздел8. Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы
- •III семестр
- •Раздел 9. Элементы теории поля
- •Раздел 10. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •5. Перечень практических занятий
- •I семестр
- •II семестр
- •III семестр
- •IV семестр
- •5 Самостоятельная работа студентов (срс)
- •5.3 Примерный перечень тем курсовых проектов (работ).
- •5.4 Примерный перечень тем рефератов.
- •5.5 Самостоятельное изучение тем разделов программы (материалы для самостоятельной работы студентов:умк дисциплины «Математика»).
- •6.Методические указания к самостоятельной работе студентов.
- •6.1.Векторный анализ
- •6.2.Числовые ряды Основные понятия
- •Простейшие свойства сходящихся рядов
- •Остаток ряда
- •Необходимый признак сходимости ряда
- •Положительные ряды
- •I. Признаки сравнения рядов
- •II. Признак Даламбера (в предельной форме)
- •III. Признак Коши (в предельной форме)
- •IV. Интегральный признак Коши
- •Знакопеременные ряды
- •Достаточный признак сходимости знакопеременных рядов
- •Свойства абсолютно сходящихся рядов
- •Функциональные ряды
- •Понятие функционального ряда и его области сходимости
- •Мажорируемость функционального ряда
- •Равномерная сходимость функционального ряда
- •Степенные ряды
- •Область сходимости степенного ряда
- •Нахождение интервала и радиуса сходимости ряда
- •Условия разложения функции в ряд Тейлора
- •Разложение в ряд маклорена некоторых элементарных функций
- •I Разложение функции
- •II Разложение функции
- •III Разложение функции
- •IV Разложение функции
- •V Разложение функции
- •6.3.Комплексные числа
- •Используя правило возведения в степень, получим
- •6.4.Дифференциальные уравнения Основные понятия
- •Уравнения с разделяющимися переменными
- •Однородные уравнения
- •Линейные уравнения
- •Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель
- •Уравнения Лагранжа и Клеро
- •Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.
- •Линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Системы дифференциальных уравнений
- •6.5.Теория вероятности
- •Оценим значение
- •6.6. Математическая статистика Вариационные ряды
- •Основные формулы
- •Выборочный метод. Общие вопросы.
- •Эмпирическая функция распределения.
- •Оценка генеральной доли признака
- •Элементы проверки статических гипотез
- •Элементы корреляционного анализа Линейная корреляция
- •Основные формулы
- •Построение теоретического закона распределения по опытным данным. Статистическая гипотеза. Понятие о критериях согласия. Критерий 2 Пирсона.
- •7.Контрольные работы
- •7.1 Контрольная работа №5 Векторный анализ
- •Числовые ряды
- •Комплексные переменные
- •Дифференциальные уравнения
- •7.2Котрольная работа №6
- •7.3 Контрольная работа №7
- •7.4 Контрольная работа №8
- •Математическая статистика
- •8. Учебно-методическое обеспечение дисциплины
- •9.Карта обеспеченности студентов учебниками, учебными пособиями, учебно-методическими материалами по дисциплине "Математика".
- •10. Перечень контрольных вопросов
- •Семестр II
- •Семестр III
- •Семестр IV
I. Признаки сравнения рядов
Теорема 6.2.5. Пусть даны два положительных ряда (6.2.1) и(6.2.2). Если члены ряда (6.2.1)не превосходят соответствующих членов ряда (6.2.2), т. е. (n=1, 2, 3), и ряд (6.2.2) сходится, то ряд (6.2.1) также сходится.
Теорема 6.2.6. Пусть даны два положительных ряда (6.2.1) и(6.2.2). Если члены ряда (6.2.1)не меньше соответствующих членов ряда (6.2.2), т. е. (n=1, 2, 3), и ряд (6.2.2) расходится, то ряд (6.2.1) также расходится.
Пример 6.2.7. Исследовать на сходимость ряд
Оценим общий член данного ряда: . Ряд с общим членомbn=1/2n. сходится (геометрический ряд). По теореме 6.2.6. данный ряд также сходится.
Пример 6.2.8. Исследовать на сходимость ря
Оценим общий член данного ряда: an=
Последний ряд расходится (как узнаете позднее, это гармонический ряд). Следовательнопо теореме 6.2.6.данный ряд так же расходится.
Отметим полезное следствие из доказанных выше теорем 6.2.5. и 6.2.6.
Теорема 6.2.7. Пусть даны два положительных ряда (6.2.1) и(6.2.2). Если существуетконечный, отличный от нуля, предел отношения общих членов этих рядов: , то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.
Смысл этого следствия состоит в том, что если общий член ряда (6.2.1) и общий член ряда (6.2.2) являются бесконечно малыми (если общие члены этих рядов стремятся к нулю при , тоan и bn можно рассматривать как бесконечно малые) одного и того же порядка (при )то сходимость одного из этих рядов влечет сходимость другого (а значит, и ,наоборот, расходимость одного влечет расходимость другого).
Эту теорему можно прочитать следующим образом:
Если два ряда имеют общие члены одинакового порядка малости (при ), то эти ряды сходятся или расходятся одновременно.
Пример 6.2.9..
при . Поэтому можно ставить вопрос о том, сходится ли данный ряд. Возьмем
т. к. ряд сходится (что будет доказано позднее!!!),то и данный ряд сходится.
Пример 6.2.10.
Имеем
Т. к. ряд с общим членом 1/n (гармонический ряд) расходится, то и теорема (6.2.7.) будет расходится и данный ряд.
II. Признак Даламбера (в предельной форме)
Теорема 6.2.8. Если для ряда с положительными членами существует конечный предел (6.2.5) отношения (n+1)-го члена к n-му, то
а) при Д1 ряд расходится, а
б) при Д1 – расходится.
Пример 6.2.11. Выяснить, сходится ли ряд
Имеем:
на основании признака Даламбера данный ряд сходится.
Пример 6.2.12.
Имеем:
Т. к., то ряд расходится.
Пример 6.2.13.
.
Признак Даламбера ответа не дает на вопрос о сходимости данного ряда. Между тем принцип сравнения рядов решает этот вопрос: при всех значенияхn, а ряд с общим членом сходится. Следовательно, данный ряд сходится.
Пример 6.2.14.
. следовательно, данный ряд расходится.
III. Признак Коши (в предельной форме)
Теорема 6.2.9.. Если для положительного ряда существуетконечный предел , то
а) при С1 ряд сходится, а
б) при С1 – расходится.
Пример 6.2.15.
- ряд сходится.
Замечание 6.2.1. Если , то ряд будетрасходится.
Замечание 6.2.2. Если 1)не существует или 2) равен 1, то признак Коши, как и признак Даламбера, не дает ответа на вопрос о сходимости ряда.