III Разложение функции

Разложение в ряд этой функции можно получить так же, как и для

Но можно получить его путем дифференцирования разложения для :

,

Пример 6.2.32. Разложить функцию в ряд по степеням х.

Решение:

IV Разложение функции

Мы должны получить разложение логарифмической функции (в ряд Маклорена) по степеням х. Надо, чтобы сама функция и все ее производные имели смысл при х=0.

Если взять ,,и т. д.

Как видим, f(0) и f⁽ⁿ⁾(0) при всяком n лишены смысла. Поэтому рассматриваем функцию Эта функция и все ее производныеопределены при х=0.

Итак, ;

Разложим эту функцию в ряд, используя возможность почленного интегрирования степенных рядов.

Найдем ; производнаяможет быть разложена в ряд Маклорена, т. к. дробь может рассматриваться как сумма геометрической прогрессии (убывающей) при(знаменатель прогрессииq=-x):

где (радиус сходимости ряда)

Проинтегрируем этот степенной ряд почленно в промежутке , где(интервал интегрирования не выходит за пределы интервала сходимости ряда):

,

Сохраняется ли это равенство при х=±1

При х=±1 теряет смысл функция , поэтому равенство при х=-1 лишено смысла.

При х=1 сохраняет смысл функция , она обращается в числоРядсходится (по признаку Лейбница).

Остается проверить, имеет ли место равенство:

(*)

Из рассмотренных выше рассуждений справедливость равенства (*) пока еще не вытекает, т. к. доказали только, что разложение функции верно при.!Для проверки равенства (*) проведемоценку остаточного члена при х=1:

Закон образования производных найти легко:

Остаточный член (в форме Лагранжа):

найдем при х=1:

Т. к. , то пристремится к нулю:при. А это означает (теорема 1), что ряд (*) сходится и имеет своей суммой число, т. е. равенство (*) верно.

Итак, ,

V Разложение функции

; эту дробь при можно рассматривать как сумму убывающей геометрической прогрессии со знаменателем:

Интегрируя в пределах от 0 до х, где , получаем:; откуда имеем:

, (что будет показано ниже)

Проверим, не сохраняется ли это равенство и при х=±1.

При х=-1 – самостоятельно!

При х=1: ряд принимает вид:

который сходится (по теореме Лейбница).

!Остается проверить, имеет ли место равенство:

(*)

Для этого поступим следующим образом:

т. е. приостанавливаемся на (n+1) члене !!!

Интегрируем это равенство (конечное число слагаемых) в промежутке от 0 до 1:

т.к. при, то, следовательно правая частьпри(в силу равенства (**)):при; это и означает, что сумма ряда (*), т. е. равенствоверно.

6.3.Комплексные числа

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

Число , гдеи- действительные числа, а- так называемая мнимая единица, называетсякомплексным числом. Действительные числаиназываются соответственно действительной и мнимой частями комплексного числаи обозначаются:-есть действительное число; если, а, то числоназывается числом мнимым.

Два комплексных числаисчитаются равными, если равны их действительные и мнимые части, т. е.=прии

Будем изображать комплексное число с помощью точки на плоскости, абсцисса которой равна, а ордината. Тогда всякое комплексное число изобразится с помощью определенной точки, так называемой комплексной плоскости.

Положение точки, изображающей комплексное число z , можно определить также с помощью полярных координат r и φ будем называть соответственно модулем и аргументом комплексного числа z: r =|z|; φ = Arg z . Из определения модуля и аргумента следует, что если , тоx = r cos φ =|z | cos (Arg z); y =r sinφ=|z| sin(Arg z);

tgφ(при х).

Заметим, что величина j=Arg z имеет бесчисленное множество значений, отличающихся одно от другого на целое, кратное 2p. Если величину одного из углов обозначить через j₀, то совокупность величин всех углов запишется выражением

Arg z=j₀+2pk (k=0,±1, ±2,…).

Значение j=Arg z, принадлежащее промежутку ]- p,p[, назы­вается главным и обозначается j₀=arg z, т.е -p<arg z£p.

Следовательно,

Arg z= Arg z++2pk (k=0,±1, ±2,…).

Зная действительную х и мнимую у части комплексного числа z и пользуясь тем, что tg (arg z)=y/x, можно вычис­лить arg z по формуле

Числу 0 не приписывается какое - либо значение аргумента.

Всякое комплексное число, отличное от нуля, можно представить ь в тригонометрической форме

z=x+iy=rcosj+irsinj=r(cosj+isinj).

Замечание 1.1. С помощью формулы Эйлера e^ij=cosj+isinj можно представить комплексное число в показательной форме :

z=re^ij .

Комплексные числа z=x+iy и называют взаимно-сопряженными. При этом.

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел производят по правилам сложения, вычитания и умножения алгебраических многочленов, полагая при этом i²=-1, i³=-i, i⁴=1,…

При сложении и вычитании комплексных чисел отдельно склады­ваются и вычитаются их действительные и мнимые части:

(x₁+iy₁)±( x₂+iy₂)=( x₁+x₂)+i(y₁+y₂).

Умножение:

(x₁+iy₁) ( x₂+iy₂)=(x₁x₂-y₁y₂)+i(x₁y₂+x₂y₁).

Деление определяется как действие, обратное умножению.

Деление удобно производить следующим образом; сначала умножить делимое и делитель на число, сопряженное делителю, после чего делитель станет действительным числом , а затем произвести деление действительной и мнимой частей отдельно;

Если воспользоваться тригонометрической формой записи чисел

z₁=r₁(cosj₁+isinj₁); z₂=r₂(cosj₂+isinj₂);

получим

z₁ z₂=r₁ r₂ [(cos(j₁+j₂)+isin(j₁+j₂)], (6.3.1)

т.e, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются:

. (6.3.2)

Из правила умножения следует правило возведения в целую положительную степень: если

z=r(cosj+isinj), то zⁿ=rⁿ(cosnj+isin nj). (6.3.3)

Нетрудно убедиться, что формула справедлива и при целом отрицательном n.

Извлечь корень целой положительной степени n из числа z - значит найти такое число ,n-я степень которого равна z.