ЦУА_ПРАКТИКУМ

ACER: 013 ЦУА\ЦУА_ПРАКТИКУМ.docx

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра АТПП

ПРАКТИКУМ

по дисциплине

«ЦИФРОВЫЕ УСТРОЙСТВА АВТОМАТИКИ»

РАСЧЕТ И ПРОЕКТИРОВАНИЕ

ЦИФРОВЫХ УСТРОЙСТВ

Теория и примеры

Уфа 2013

1

Учебно-методическое пособие предназначено для студентов специ-

альности 220301 «Автоматизация технологических процессов и производств

(по отраслям)» и слушателям бакалавриата по направлению подготовки 220200

для изучения разделов дисциплины «Цифровые устройства автоматики».

Составитель: Сафаров М.Р., доц., канд. тех. наук

Рецензент: Краснов А.Н.., доц., канд. тех. наук

© Уфимский государственный нефтяной технический университет, 2013

2

1.ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПЕРЕКЛЮЧАТЕЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ (ПФ) В ВИДЕ МНОГОЧЛЕНА

1.1. Конституента единицы

Конституентой единицы называют ПФ n-аргументов, которая равна еди-

нице, только на одном наборе аргументов. Обычно конституенты единицы вы-

ражают через логическое произведение всех аргументов, каждый из которых входит в произведение со знаком отрицания или без него.

Пример 1.1. ПФ двух аргументов (их всего 16 (F0 F15), см. табл. 1) оп-

ределены на четырех наборах аргументов и, следовательно имеют четыре конституенты единицы: К0, К1, К2 и К3 (i=0 3). Конституента единицы ну-

левого набора К0= равна 1 только на нулевом наборе аргументов ( =1

только при ), а на остальных трех наборах (1-м, 2-м и 3-м) равна ну-

лю.

Уметь анализировать аналогичным образом поведение остальных трех конституент единицы (К1, К2 и К3).

Пример 1.2. Для ПФ четырех аргументов записать конституенту еди-

ницы десятого набора (К10).

Веса единиц аргументов……………8 4 2 1

Аргументы…………………… ……..a b c d

Десятый набор аргументов………..1 0 1 0

Конституента единицы К10… ……

В результате анализа решения примера 1.2, сформулировать правило за-

писи конституент единицы для остальных 15-и ПФ четырех аргументов.

Распространить полученную формулировку на ПФ с любым количеством аргументов.

3

1.2. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) ПФ

Дизъюнкция конституент единицы, равных единице на тех же наборах,

что и заданная функция, называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой переключательной функции (СДНФ ПФ).

Пример 1.3. ПФ двух аргументов F14 (см.табл.1) определена на 4-х набо-

рах и имеет 4-е конституенты единицы. На трех наборах (К0, К1 и К2) функ-

ция равна 1, поэтому в СДНФ F14 входят в виде логических слагаемых три конституенты единицы (см. табл.1, столбец 5, строка F14):

СДНФ F14 = К0+К1+К2 = .

На 3-м наборе функция равна нулю, поэтому конституента К3 не вклю-

чена в число слагаемых.

Пример 1.4. ПФ двух аргументов F1 (см.табл.1) определена на 4-х набо-

рах и имеет 4-е конституены единицы. На трех наборах (К0, К1 и К2) функция равна 0, поэтому в СДНФ F14 входит в виде логического слагаемого консти-

туента единицы К3 (см. табл.1, столбец 5, строка F1):

СДНФ F1 = К3 =

Пример 1.5. Найти выражения СДНФ ПФ остальных функций, приве-

денных в табл.1 и заполнить свободные строки в столбце 5.

Пять левых столбцов табл.1 являются одной из форм табличного задания ПФ. СДНФ ПФ (см. столбец 5 в табл.1), представляющую собой один из перво-

начальных видов записи ПФ в алгебраической форме, часто называют «запись ПФ по единицам».

Последующей формой табличного задания ПФ являются диаграммы Вейтча, показанные на рис.1, б,в, где, в качестве примера, приведены две ПФ

(F12 и F14) от двух аргументов.

4

1.3. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) ПФ двух аргументов

Таблица 1

Ki					Конституенты единицы четырех наборов
i	0	1	2	3	Номера наборов
x	0	0	1	1	СДНФ		Минимальные формы от		Условное	Название функции Fn
y	0	1	0	1			СДНФ	Инверсии Fn	обозначение
0	1	2	3	4	5		6	7	8	9
F0	0	0	0	0
F1	0	0	0	1						Конъюнкция
F2
F3
F4
F5
F6	0	1	1	0						Исключающее«ИЛИ»
F7	0	1	1	1						Дизъюнкция
F8										Операция Пирса
F9
F10
F11
F12
F13
F14	1	1	1	0						Операция Шеффера
F15
	8	4	2	1	Веса «единиц» двоичных разрядов

5

1.4. Диаграммы Вейтча функций двух аргументов

ПФ 2-х аргументов определены на 4-х наборах аргументов (i=1 4), ка-

ждый из которых сопровождается своей конституентой единицы (Кi), что и

следует из рис.1,а. Значения функции (4 значения) заносятся, как это показа-

но на рис.1, в соответствующую клетку диаграммы. Процедура занесения значений упрощается при использовании эталонных диаграмм (см.рис.2).

Вес «1»	2	1											б)
			Кi	Мi	F14	F12
i(№наб.)	x	y					(2)	0		1
								1		1
0	0	0			1	1
1	0	1			1	1
													в)
2	1	0			1	0
3	1	1			0	0	(2)		0		0
									1		1
СДНФ F12=K0+K1=				=

СДНФ F14=K0+K1+K2=

СКНФ F14=М3=

а) классическая табличная форма задания ПФ F12 и F14;

б) задание функции F14 на диаграмме Вейтча;

в) задание функции F12 на диаграмме Вейтча.

Рис.1. Табличные формы задания ПФ 2-х аргументов и их СНФ.

(2)			(2)	3		2
				1		0
		а)			б)

Рис.2. Эталонные диаграммы Вейтча: а)с использованием конституент единицы; б)с указанием номеров наборов.

6

Из заполненной диаграммы Вейтча получают минимизированное (про-

стейшее) алгебраическое выражение ПФ. Простейшие приемы обработки диаграмм следует усвоить путем озакомления с решениями примеров, приве-

денными в [1], стр.26, 27, и далее закрепить решением задач по нахождению минимальных форм ПФ. Результатом последней процедуры является запол-

нение всех строк столбцов 6 и 7 табл.1.

Характеристики контуров в диаграммах Вейтча ПФ 2-х аргументов Таблица 2

Число клеток	Число аргументов-сомножителей,	Число различных
в контуре	обозначающих контур	контуров
1	2	4 ( ; ; ; )
2	1	4
4	Константа 1	1

1.5. Правила минимизации СДНФ с помощью диаграмм Вейтча

1. Диаграмма Вейтча содержит число клеток i, равное числу наборов,

на которых определена функция n-переменных (i=2n).

2. Значение, принимаемое функцией на определенном наборе аргумен-

тов, заносится в клетку диаграммы, соответствующую этому набору.

3. В заполненной таблице все единицы накрываются прямоугольными контурами. Одни и те же клетки могут входить в несколько контуров. В кон-

туре только единицы, число клеток контура – целая степень числа 2 (2i = 1, 2,

4, 8, 16 …(i = 0, 1, 2, …)).

4. Каждый контур описывается (обозначается) произведением аргумен-

тов, число сомножителей уменьшается с увеличением числа клеток в конту-

ре.

7

5. Искомое минимизированное выражение представляет собой дизъ-

юнкцию (логическая сумма) обозначений контуров, накрывающих все еди-

ницы, следовательно, для получения простейшего выражения следует ис-

пользовать минимальное число контуров, каждый из которых накрывает мак-

симальное число единиц (из числа возможных).

				1.6. Диаграммы Вейтча функций трех аргументов
	b(2)								Число аргументов: n=3.
a(4)	6		7		5		4		n
									Число наборов (конституент единицы) i=2 =8.
	2		3		1		0
			c(1)						Число различных функций k=256.

Рис.3. Эталонная диаграмма Вейтча для ПФ трех аргументов

Пример 1.6. Для ПФ трех аргументов f(a,b,c) в клетках диаграммы Вейтча (см.рис.3) указаны номера наборов, в скобках, рядом с обозначениями аргументов, представлены веса их единиц. Указать номер набора для кото-

рого выражение является конституентой единицы.

Уметь находить выражение для конституенты единицы любого из семи остальных наборов. Уметь пояснять связь между номером набора и выражением конституенты единицы этого набора.

Пример 1.7. Для ПФ трех аргументов f(a,b,c) уметь находить:

-12 пар номеров наборов, входящих в контур из двух соседних клеток

(см.табл.3) и соответствующие им пары аргументов-сомножителей опи-

сывающих конкретный контур. Например, пара из наборов 4, 6 образует-

контур из двух клеток, обозначаемый произведением

-6 тетрад номеров наборов, образующих контур из 4-х клеток

(см.табл.3) и соответствующие им аргументы, описывающие конкретный

8

контур. Например, тетрада из наборов 0, 2, 4, 6 образует контур из 4-х

клеток, обозначаемый аргументом

Характеристики контуров в диаграммах Вейтча ПФ 3-х аргументов

		Таблица 3
Число клеток	Число аргументов-сомножителей,	Число различных
в контуре	обозначающих контур	контуров
1	3	8
2	2	12
4	1	6
8	Константа 1	1

			1.7. Диаграммы Вейтча функций четырех аргументов
	b(4)							Число аргументов: n=4.
								Число наборов (конституент единицы)
	12		14		10	8
a(8)								i=2n=16.
	13		15		11	9
								d(1) Число различных функций k=65536.
	5		7		3	1
	4		6		2	0
								Рис.4. Эталонная диаграмма Вейтча для
			c(2)
								ПФ четырех аргументов

Пример 1.8. Для ПФ четырех аргументов f(a,b,c,d) в клетках диаграммы Вейтча указаны номера наборов, в скобках, рядом с обозначениями аргумен-

тов, представлены веса их единиц. Для конституенты единицы ука-

зать номер набора.

Уметь находить выражение для конституенты единицы любого из

15-и остальных наборов. Уметь пояснять связь между номером набора и выражением конституенты единицы этого набора.

9

Пример 1.9. Для ПФ четырех аргументов f(a,b,c,d) уметь находить:

-32 пары номеров наборов, входящих в контур из двух соседних клеток

(см.табл.4) и соответствующие им пары аргументов-сомножителей опи-

сывающих конкретный контур. Например, пара из наборов 13, 15 образует-

контур из двух клеток, обозначаемый произведением

-24 тетрады номеров наборов, образующих контур из 4-х клеток

(см.табл.4) и соответствующие им аргументы, описывающие конкретный контур. Например, тетрада из наборов 0, 2, 4, 6 образует контур из 4-х

клеток, обозначаемый двумя аргументами-сомножителями

-8 восьмерок номеров наборов, образующих контур из 8-и клеток

(см.табл.4) и соответствующие им аргументы, описывающие конкретный контур. Например, восьмерка из наборов 0, 1, 9, 8, 4, 5, 13, 12 образует кон-

тур из 8-и клеток, обозначаемый аргументом

Характеристики контуров в диаграммах Вейтча ПФ 4-х аргументов Таблица 4

Число клеток	Число аргументов-сомножителей,	Число различных
в контуре	обозначающих контур	контуров
1	4	16
2	3	32
4	2	24
8	1	8
16	Константа 1	1

1.8. Конституента нуля

Конституентой нуля называют ПФ n-аргументов, которая равна нулю,

только на одном наборе аргументов. Выражается в виде дизъюнкции всех ар-

гументов, каждый из которых берется с отрицанием или без него.

10