КИМ11

Номер: 11.81.С

Задача:

Решить

уравнение

и

сделать

проверку

x ′′(t)− 2x′(t )+ x(t)= e2t ,

x(0)= 1, x′(0) = 0

Ответы: 1). x(t)= e(−t )

+ e(−t )t

2). x(t) = 1

3). x(t)= −2e t t + e(2t )

4). x(t)= 2e(−2t ) + 2e2t

5). нет правильного ответа

Номер: 11.82.С

x′′(t)+ 2x′(t)− 3x(t)= 0 ,

Задача:

Решить

уравнение

и

сделать

проверку

x(0)= 1, x′(0) = 0

Ответы: 1). x(t) =

3

t 2 + 1

2). x(t) =

1

e(−t ) +

1

e(−t ) t

3). x(t) = e t − e t t

2

3

3

4). x(t) =

1

e(−3t ) +

3

e t

5). нет правильного ответа

4

4

Номер: 11.83.С

x′′(t)+ 2x′(t)+ 5x(t)= 0 ,

Задача:

Решить

уравнение

и

сделать

проверку

x(0)= 0 , x′(0) = 0

Ответы: 1). x(t) =

1

t 2

2). x(t) = −5e t

+ e(−3t ) + 4e2t

3). x(t)= 0

10

4). x(t) = −e t − e t t + e2t

5). нет правильного ответа

Номер: 11.84.С

x′′(t)+ 2x′(t)+ 5x(t)= 0 ,

Задача:

Решить

уравнение

и

сделать

проверку

x(0)= 1, x′(0) = 0

Ответы: 1). x(t)= −2e t

t + e2t

2). x(t) = −

1

e t +

1

e(−3t ) + e2t 3). x(t) = 1

2

1

2

4). x(t) =

e(−t ) sin(2t )+ e(−t ) cos(2t)

5). нет правильного ответа

2

Номер: 11.85.С

x′′(t)+ x(t) = 2 sin t , x(0)= 0 ,

Задача: Решить уравнение и сделать проверку

x′(0)= −1

Ответы: 1). x(t)= −

1

e(−2t ) +

1

e2t

2). x(t) = − cos(t) t

3). x(t)= −e t t

4

4

4). x(t)= − sin(t)

5). нет правильного ответа

Номер: 11.86.С

Задача:

Решить уравнение и сделать проверку x′′(t)+ x(t)= 2 sin(t), x(0)= 1,

x′(0) = 0

Ответы: 1). x(t) = cos(t)+ sin(t)− cos(t) t			2). x(t) = e t + e(−t ) −1
3). x(t) = cos(t)	4). x(t) = cos(t)+ t − e t			5). нет правильного ответа
		Номер: 11.87.С
Задача: Решить уравнение и		сделать	проверку		x ′′(t)− x′(t)= et ,	x(0)= 4 ,
x′(0)= 4
Ответы: 1). x(t)= t − 5et	+1	2). x(t)= tet + 3et +1			3). x(t)= tet	+ 3e−t + t
4). x(t)= e2t + 3et + t		5). нет правильного ответа

Номер: 11.88.С

Задача: Решить уравнение и сделать проверку x′′(t)+ x(t) = 2 cos(t), x(0)= −1,

x′(0) = 0

Ответы: 1). x(t) = − cos(t)− sin(t)+ cos(t) t

2). x(t) = −e t

− e(−t )

+ 1

3). x(t) = − cos(t)+ t sin(t)

4). x(t) = −2 cos(t)+ 1

5). нет правильного ответа

Номер: 11.89.С

Задача: Решить уравнение и сделать проверку x′′(t)+ x(t) = 2 cos(t),

x(0)= 0 ,

x′(0)= −1

Ответы: 1). x(t)= −sin(t)+ t sin(t)

2). x(t)= −e t t 3). x(t) =

e(−t ) − e t

4). x(t) = − t − sin(t)

2

5). нет правильного ответа

2

Номер: 11.90.С

Задача: Решить уравнение и сделать

проверку x′′(t)+ 4x(t)= 8t ,

x(0)= 0 ,

x′(0) = 0

Ответы: 1). x(t) = −

1

sin(2t)+ t

2). x(t)= −e(−2t ) + 2t + 1

3). x(t)= 0

2

4). x(t)= −sin(2t)+ 2t

5). нет правильного ответа

Номер: 11.91.С

x(0)= 0 ,

Задача: Решить уравнение и сделать проверку x′′(t)− 2x′(t) + 2x(t)=1,

x′(0) = 0

Ответы: 1). x(t)=

1

(1 − et cos t + et sin t)

2). x(t)=

1

(t − et cos t + et sin t)

2

2

3). x(t)=

1

(t + e t cos t − e t

sin t)

4). x(t)=

1

(1 − e−t cos t + e−t sin t)

2

2

5). нет правильного ответа

Номер: 11.92.С

x′′(t)+ 4x(t)= 8t ,

x(0)= 1,

Задача: Решить уравнение и сделать проверку

x′(0) = 0

Ответы: 1). x(t) = cos(t)− t sin(t)

2). x(t) = −sin(2t)+ cos(2t)+ 2t

3). x(t)= e(−t )

+ e(−t ) t

4). x(t) = 1

5). нет правильного ответа

Номер: 11.93.С

x′′(t)+ 4x(t)= 8t ,

x(0)= 0 ,

Задача: Решить уравнение и сделать проверку

x′(0)= 1

Ответы: 1). x(t)= sin(2t)− t

2). x(t)= e t t

3). x(t) = −

1

sin(2t)+ 2t

4). x(t) = sin(t)− t sin(t)

2

5). нет правильного ответа

Номер: 11.94.С

x′′(t)+ 9x(t)= 9t ,

x(0)= 0 ,

Задача: Решить уравнение и сделать проверку

x′(0)= −1

Ответы: 1). x(t)= −t

2). x(t)= −

2

sin(3t)+ t

3). x(t)=

1

sin(2t)− 2t

4). x(t)= −sin(t)+ t sin(t)

3

2

5). нет правильного ответа

Номер: 11.95.C

x′′′(t)+ x′′(t)=1,

x(0)= 0 ,

Задача: Решить уравнение

и

сделать

проверку

x′(0) = 0 , x′′(0)=1.

Ответы: 1). x(t)=

t 2

2). x(t)=

t 3

+

t 2

3). x(t) =

t 2

+ t − e t + 1

2

3

2

2

4). x(t )= t −1

5). нет правильного ответа

Номер: 11.96.C

x′′′(t)+ x′′(t)=1,

x(0)= 0 ,

Задача: Решить уравнение

и

сделать

проверку

x′(0) = 0 , x′′(0)= 0 .

Ответы: 1). x(t)= sin(t)

2). x(t)= −e(−t ) +

t 2

− t + 1

3). x(t)=

t 2

4). x(t)= t 3 − t 2

2

2

5). нет правильного ответа

Номер: 11.97.C

x′′′(t)+ x′′(t)= t ,

x(0)= 0 ,

Задача: Решить уравнение

и

сделать

проверку

x′(0) = 0 , x′′(0)= 0 .

Ответы: 1). x(t)= −e −t +

t 2

− t + 1

2). x(t)=

t 2

+ t − e t + 1

2

2

3). x(t) =

t 3

+ e(−t )

−

t 2

+ t −1

4). x(t ) = 0 5). нет правильного ответа

6

2

Номер: 11.98.C

Задача: Решить уравнение и

сделать проверку x ′′′(t) + x ′′(t) = et ,

x(0) = 0 ,

x′(0) = 0 , x′′(0) = 0 .

Ответы: 1). x(t) =

t 3

−

t 2

2). x(t) =

t 3

− e(−t ) −

t 2

+ t −1

6

2

6

2

3). x(t) = e(−t ) +

t 2

− t + 1

4). x(t) =

1

e t −

1

e(−t ) − t

2

2

2

5). нет правильного ответа

Номер: 11.99.C

Задача: Решить уравнение и сделать

проверку x ′′′(t) + x ′′(t) = et ,

x(0) = 0 ,

x′(0) = 0 , x′′(0) =1.

Ответы: 1). x(t) =

t 3

−

t 2

2). x(t) = e t + e(−t )

− 2

3). x(t) = e(−t ) +

t 2

− t + 1

2

6

2

4). x(t) =

1

e t +

1

e(−t ) −1

5). нет правильного ответа

2

2

Номер: 11.100.C

x′′′(t) + x′′(t) = t ,

x(0) = 0 ,

Задача: Решить уравнение и

сделать проверку

x′(0) = 0 , x′′(0) =1.

Ответы: 1). x(t) =

1

e t +

1

e(−t )

−1

2). x(t) = e t

+ e(−t ) − 2

2

2

3). x(t) =

t 3

+ 2e(−t ) −

t 2

+ 2t − 2

4). x(t) =

t 3

−

t 2

6

2

6

2

5). нет правильного ответа

Номер: 11.101.C

x′′′(t) − x′(t) = t − 2 ,

x(0) = 0 ,

Задача: Решить уравнение и сделать проверку

x′(0) = 0 , x′′(0) =1.

Ответы: 1). x(t) =

t 3

−

t 2

2). x(t) = 2e(−t ) − 2 −

t 2

+ 2t

6

2

2

3). x(t) = 2e t − 2e(−t ) − 4

4). x(t) = e t − e(−t ) − 2

5). нет правильного ответа

Номер: 11.102.C

x′′′(t)− x′′(t)= t − 2 ,

x(0)= 0 ,

Задача: Решить уравнение и сделать проверку

x′(0) = 0 , x′′(0)= 0 .

Ответы: 1). x(t)=

3

e(−t )

−

1

e t

−

t 2

+ 2t −1

2). x(t) =

t 2

+ e(−t ) −

t 2

+ t −1

2

2

2

6

2

3). x(t)=

t 2

4). x(t)= t − sin(t)

5). нет правильного ответа

2

Номер: 11.103.C

Задача: Решить уравнение и сделать проверку x′′(t)− 6x′(t)+ 9x(t) = 0 ,

x(0)= 0 ,

x′(0)= 2 .

Ответы: 1). x(t)= e3t − te3t

2). x(t)= e−t − e3t−1

3). x(t)= sin 3t − t sin 3t

4). x(t)= 3t − e3 sin(t)

5). нет правильного ответа

Номер: 11.104.C

Задача: Решить уравнение и сделать проверку x ′′(t)+ 4x(t) = sin2 t ,

x(0)= 0 ,

x′(0)= 0 .

Ответы: 1). x(t)= 3et − te3t + 2

2). x(t)= t + cos 2t − et sin 2t

3). x(t)=

3

sin 2t − t sin 3t +

1

4). x(t)=

1

(1 − cos 2t − t sin 2t)

4

8

8

5). нет правильного ответа

12. Операторный метод интегрирования систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Номер: 12.1.А

Задача: Решить систему линейных однородных дифференциальных уравнений c

постоянными коэффициентами и	сделать проверку x′ + y = 0 , y′ + x = 0 ,
x(0) = 1, y(0) = −1
Ответы: 1). {y = −e t , x = e t }	2). {y = e(−t ) , x = e(−t ) }
3). {y = e t − e(−t ) , x = 1}	4). {y = −1, x = e t − e −t + 1}
5). нет правильного ответа

Номер: 12.2.А Задача: Решить систему дифференциальных уравнений и сделать проверку x′ + y = 1, y′ + x = 1, x(0) = 1, y(0) = −1

Ответы: 1). {y = −e(−t ) , x = e(−t ) } 2). {y = −e t − e(−t ) + 1, x = e t − e(−t ) + 1}

3). {y = 1, x = −1} 4). {y = −1, x = −e t + 2} 5). нет правильного ответа

Номер: 12.3.А Задача: Решить систему дифференциальных уравнений и сделать проверку x′ − y = 0 , y′ − x = 0 , x(0) = 1, y(0) = −1

Ответы: 1). {y = t −1, x = e t } 2). {y = t −1, x = e t + e(−t ) −1}

3). {y = −e t , x = e t } 4). {y = −e(−t ) , x = e(−t ) } 5). нет правильного ответа

Номер: 12.4.А Задача: Решить систему дифференциальных уравнений и сделать проверку x′ − y = 0 , y′ − x = 0 , x(0) = 1, y(0) = 1

Ответы: 1). {y = 1, x = 1} 2). {y = e t , x = e t } 3). {y = t + 1, x = t + 1}

4). {y = t + e t , x = t + e t } 5). нет правильного ответа

Номер: 12.5.А Задача: Решить систему дифференциальных уравнений и сделать проверку x′ + y = 1, y′ + x = 1, x(0) = 1, y(0) = 1

Ответы: 1). {y = e t , x = e(−t ) }	2). {y = 2t + e t −1, x = t − e t + 2}
3). {y = e(−t ) , x = e(−t ) }	4). {y = e t + e−t −1, x = e t − e−t + 1}
5). нет правильного ответа

Номер: 12.6.А Задача: Решить систему дифференциальных уравнений и сделать проверку x′ + y = 1, y′ + x = 1, x(0) = 0 , y(0) = 0

Ответы: 1). {y = 1 − e(−t ), x = 1 − e(−t )} 2). {y = e t −1, x = e(−t ) −1}

3). {y = t, x = 2t} 4). {y = t − sin t, x = 0} 5). нет правильного ответа

Номер: 12.7.А Задача: Решить систему дифференциальных уравнений и сделать проверку

x′ − y = 1, y′ − x = 1, x(0)= 0 , y(0)= 0
Ответы: 1). {y = 1 + t − e t , x = t}	2). {y = sin t, x = − sin t}

3). {y = −1 + t + e t , x = −1 + t + e t } 4). {y = −1 + e t , x = −1 + e t }

5). нет правильного ответа

Номер: 12.8.А Задача: Решить систему дифференциальных уравнений и сделать проверку x′ − y = 1, y′ − x = −1, x(0)= 0 , y(0)= 0

Ответы: 1). {y = e	(−t ) −1, x = 1 − e(−t )}	2). {y = −1 − t + e t , x = 1 + t − e(−t )}
3). {y = 1	− e(−t ), x = 0}	4). {y = 1 − cos t, x = t + sin t}

5). нет правильного ответа

Номер: 12.9.А Задача: Решить систему дифференциальных уравнений и сделать проверку x′ − y = 2 , y′ − x = 4 , x(0)= 0 , y(0)= 0

Ответы: 1). {y = e t + t −1, x = e(−2t ) − t −1} 2). {y = 0, x = 4 + 2t}

3). {y = 1 − e(−t ), x = 3e4t − 3}	4). {y = 3e t − e(−t ) − 2, x = 3e t + e(−t ) − 4}
5). нет правильного ответа

Номер: 12.10.А

Задача: Решить систему дифференциальных уравнений и сделать проверку x′ − y = 2 , y′ − x = 2 , x(0)= 0 , y(0)= 0

Ответы: 1). {y = −2 + 2e t , x = −2 + 2e t }

2). {y = 3e t − e(t ) − 2, x = 3e t + e(−t ) − 4} 3). {y = e t + t −1, x = e(−2t ) − t −1}

4). {y = t + 2 sin t, x = 1 − cos t}

5). нет правильного ответа

Номер: 12.11.А

Задача: Решить систему дифференциальных уравнений и сделать проверку x′ − y = −4 , y′ − x = 2 , x(0)= 0 , y(0)= 0

Ответы: 1). {y = −3e(−t ) − e t + 4, x = 3e(−t ) − e t − 2} 2). {y = −2 + 2e t , x = 3e t + e(−t ) − 4}

3). {y = 3e t − e(−t ) − 2, x = 3e t − e(−t ) − 2}

4). {y = t, x = −2t + 2} 5). нет правильного ответа

Номер: 12.12.А

Задача: Решить систему дифференциальных x′ + y = t , y′ − y = 0 , x(0) = 1, y(0) = 1

	Ответы: 1). {y = t + 1, x = e t − sin t}				2).
			t	2
	3). y = e(−t )	, x = −e(−t ) +			+ 2 4).
		2

уравнений и сделать проверку

					t	2
	y = e t , x = −e t			+			+ 2
				2
		t	2
	y = −e(−t ) +			+ 2, x = e(−t )
		2

5). нет правильного ответа

Номер: 12.13.А

Задача: Решить систему дифференциальных уравнений и сделать проверку

x′ + y = −2t , y′ − y = 0 , x(0) = 1, y(0) = 1
		t	2			t	2
Ответы: 1). y = e(−t ) , x = −e t +				+ t + 2	2). y =			+ t + 1, x = e t
	2					2
3). {x = 1, y = t + 1}	4). {x = −e t − t 2 + 2, y = e t }

5). нет правильного ответа

Номер: 12.14.А

Задача: Решить систему дифференциальных уравнений и сделать проверку

x′ + y = 0 , y′ − y = 0 , x(0) = 1, y(0) = 1
Ответы: 1). {x = −e t − t 2 + 2, y = e(−t ) }	2). {y = e t , x = −e t + 2}
3). {y = e t + t, x = −e(−t ) + 2}	4). {y = e(−t ) , x = −e(−t ) + 2}
5). нет правильного ответа

Номер: 12.15.А

Задача: Решить систему дифференциальных уравнений и сделать проверку

	x′ + y = 0 , y′ − y = 0 , x(0) = 0 , y(0) = 1
	Ответы: 1). {y = e t , x = −e t + 1}	2). {y = e t + 1, x = t}
	3). {y = e t , x = −e(−t ) + 1}			t 2		t 2
		4). y = 1	+ t +		, x = t +
				2		2

5). нет правильного ответа

Номер: 12.16.А

Задача: Решить систему дифференциальных уравнений и сделать проверку x′ + y = 1, y′ − y = −1, x(0)= 0 , y(0)= 1

Ответы: 1). {y = e t , x = −e t + 1}	2). {y = e(−t ), x = t} 3). {x = 0, y = 1}
4). {y = e t , x = 0}	5). нет правильного ответа

Номер: 12.17.А

Задача: Решить систему дифференциальных уравнений и сделать проверку

x′ + y = 2t , y′ − y = −1, x(0)= 0 , y(0)= 1
Ответы: 1). {x = 0, y = 1}			2). {y = e t , x = −e t	+ 1}
	t 2		4). {y = 1, x = −t + t 2	} 5). нет правильного ответа
3). y = 1 + t, x = t +
	2

Номер: 12.18.А

Задача: Решить систему дифференциальных уравнений и сделать проверку

x′ + y = 2t , y′ − y = −1, x(0)= 1, y(0)= 0

= 1 + t, y

= t +

t 2

2). {y = 1

− e t , x = −t + e t + t 2 }

Ответы: 1). x

2

y = e t

t

2

3).

−1, x = t −

+ 1

4). {x = 1, y = 0} 5). нет правильного ответа

2

Номер: 12.19.А

Задача: Решить систему дифференциальных уравнений и сделать проверку

	x′ − y = 2t , y′ + y = −1, x(0)= 1, y(0)= 0
	Ответы: 1). {x = −t + e t	+ t 2 , y =		1 − e t }				t 2
					2). x = 1	+ t, y	= t +
								2
			t 2
	3). y = 0, x =	1 + t +		4). {x = −t − e(−t ) + t 2			+ 2, y = −1 + e(−t )}
			2

5). нет правильного ответа

Номер: 12.20.А

Задача: Решить систему дифференциальных уравнений и сделать проверку

x′ + y = e t , y′ + y = −1, x(0)= 1, y(0)= 0
Ответы: 1). {y = −1 + e(−t ), x = t + e(−t ) + e t −1}	2). {x = t + e t + t 2 , y = 0}
3). {x = 1 + t, y = t + t 2 }	4). {x = e t + t, y = t + t 2 }
5). нет правильного ответа

5). нет правильного ответа

Номер: 12.21.А

Задача: Решить систему дифференциальных уравнений и сделать проверку x′ − 2y = e t , y′ + y = 0 , x(0)= 1, y(0)= 0

Ответы: 1). {x = 1, y = 0} 2). {y = 0, x = e t } 3). {x = 1 + t, y = t}

4). {x = −t − e(−t ) + t 2 + 2, y = 0} 5). нет правильного ответа

Номер: 12.22.А

Задача: Решить систему дифференциальных уравнений и сделать проверку x′ − 2y = e t , y′ + y = 0 , x(0)= 0 , y(0)= 0

Ответы: 1). {y = e t −1, x = 0} 2). {y = 0, x = −1 + e t } 3). {y = e(−t ) −1, x = 0} 4). {y = 1 − e t , x = t + t 2 }

Номер: 12.23.А

Задача: Решить систему дифференциальных уравнений и сделать проверку x′(t)+ y′(t)= sin(t), x′(t)+ y(t)= cos(t), x(0)= 1, y(0)=1

Ответы: 1). {x(t)= − cos(t)− et	+ sin(t)+ 3, y(t)= −sin(t)+ et }
2). {x(t)= sin(t)+1, y(t)= cos(t)}
3). {x(t)= − cos(t)+ 2, y(t)= −sin(t)+ et }
4). {x(t)= 1, y(t)= 1}	5). нет правильного ответа

Номер: 12.24.А

Задача: Решить систему дифференциальных уравнений и сделать проверку x′(t)+ y′(t)= sin(t), x′(t)+ y(t)= cos(t), x(0)= 0 , y(0)= 0

Ответы: 1). {x(t)= − cos(t)+1, y(t)= −sin(t)}

2). {x(t)= − cos(t)+1 + sin(t), y(t)= −sin(t)} 3). {x(t)= − cos(t)+1 + t, y(t)= −sin(t)}

4). {x(t)= sin(t), y(t)= 1 − cos(t)} 5). нет правильного ответа

Номер: 12.25.А

Задача: Решить систему дифференциальных уравнений и сделать проверку x′(t)+ y′(t)= 5sin(2t), x′(t)+ y(t)= 5 cos(2t), x(0)= 0 , y(0)= 0

Ответы: 1). {x(t)= 3sin(2t), y(t)= − cos(2t)+ 1}

		3		3
	2). x(t)= −		cos(t)+		, y(t)= 3sin t
		2		2

3). x(t)= 3sin(2t)−	3	cos(2t)− e t +	5	, y(t)= − cos(2t)− 3sin(2t)+ e t
	2
		2

4). {x(t)= sin(2t), y(t)= 3sin(2t)}