Лабораторные работы по курсу общей физики

3

Зависимость периода колебаний маятника от положения оси вращения

ивыражение момента инерции через период колебаний

Всоответствии с теоремой Штейнера момент инерции маятника относительно произвольной оси равен моменту инерции относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между этими осями, т.е.

I = I0 + ma2

Формулу для периода колебаний теперь запишем в виде
T = 2π		I0	+ ma2		( 7 )
			mga
Зависимость периода T от расстояния a ,			т.е. функция T( a ), проходит через

минимум. Если взять от этой функции первую производную и приравнять ее нулю, то можно найти значение расстояния a , при котором период

минимален. Это расстояние	a =			I0 m		.
Подставив это значение a в формулу ( 7 ) , получим
Tmin	= 2π	4		4I0			.	( 8 )
				mg2

Если экспериментально определить Tmin , то момент инерции относительно оси , проходящей через центр масс I0 можно вычислить по формуле

	I0 =	mg 2	Tmin4	(9)
		64π 4

полученной из выражения ( 8 ). Момент инерции относительно любой другой параллельной оси, смещенной на расстояние a , может быть найден по теореме Штейнера. Если положение центра масс неизвестно, то неизвестно и расстояние a . Тем не менее, момент инерции относительно произвольной оси можно найти и в этом случае, исходя из результатов измерения периода, пользуясь только одним измерительным прибором – секундомером.

Преобразуем формулу ( 7 ) к виду

	a2 −	gT 2	a +	I0	= 0	( 10 )
		8π 2		m

Это квадратное уравнение, из которого можно определить параметр a , соответствующий измеренному значению периода T . Решение этого

уравнения имеет вид

a =

g

T 2 ±

g2T 4

−

I0

( 11 )

8π 2

64π 4

m

С учетом формулы ( 8 ) можно также записать

a =

g

T 2 ±

g

( 12 )

T 4 − T 4

8π

2

8π 2

min

											4
Поскольку момент инерции		I = I0			+ ma2 ,				воспользовавшись формулами
( 9 ) и (12), получим
	é	æ	T 2						ö2	ù
						T 4
	ê	ç							÷	ú
I = I0					± T 4 - 1						( 13 )
	ê1	+ ç T 2							÷	ú
	ë	è	min			min			ø	û

Описание экспериментальной установки

Экспериментальная установка состоит из физического маятника, устройства подвеса маятника и секундомера. Устройство подвеса маятника

предусматривает возможность качания относительно целого ряда параллельных осей. Все эти оси расположены в одной плоскости , проходящей через центр инерции маятника, как показано на рис. 2.

Рис.2

Расстояния между соседними осями d одинаковы. Оси пронумерованы по порядку, начиная с ближайшей к центру инерции. Конструкция устройства подвеса маятника показана на рис. 3.

Рис.3 Устройство состоит из кольца 1, двух закрепленных в нем винтов 2 с

заостренными концами и опорной платформы 3. Кольцо 1 может быть закреплено в любом месте на стержне 4 маятника. Ось вращения проходит

5

через заостренные концы винтов 2. На стержне имеются риски, показывающие рекомендуемое расположение осей качания. Рядом с рисками расположены цифры, означающие номера осей. Ось, проходящая через заостренные концы винтов 2, должна совпадать с одной из рисок на стержне маятника.

Задание к работе

1.Измерить период колебаний маятника относительно каждой из предложенных осей. Период определить по формуле T = tn n , где tn - время

n	колебаний, n -число колебаний . Для увеличения точности измерений
n	должно быть, по возможности, большим ( например, 100 колебаний ).
2.	Результаты измерений представить на графике. По вертикальной оси
отложить значения T 4 ,		по горизонтальной – равномерно распределенные
номера осей от 1 до N .		Tmin4 и по формуле ( 9 ) найти I0 .
3. По графику определить
4.	Определить момент инерции маятника относительно одной из осей по

указанию преподавателя.

Контрольные вопросы

1.Какова цель работы ?

2.В каком случае при выводе дифференциального уравнения физического маятника потерями энергии можно пренебречь ?

3.Вывести это дифференциальное уравнение в указанном приближении.

4.Какими функциями, кроме приведенной в выражении (4), может описываться решение уравнения (3) ?

5.Как с помощью только одного измерительного прибора – секундомера ( при известной массе тела ) можно определить момент инерции тела ?

6.Формула (13) дает ( с учетом знаков ± внутри формулы ) два значения момента инерции. Как это понимать ? В каком случае использовать

формулу со знаком + , а в каком – со знаком - ?

7.

Литература

1.Трофимова Т.И. Курс физики. - М. : Высшая школа, 1997. - § 140, 141, 142.

2.Детлаф А.А. Яворский Б.М. Курс физики. – М. : Высшая школа , 1999. - § 27.1, 27.2.

3.Савельев И. В. Курс общей физики. – Кн.1.-М. : Наука, Физматлит, 1998. - § 8.5.

1

Лабораторная работа № 20б

СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМЕ ДВУХ СВЯЗАННЫХ МАЯТНИКОВ

Цель работы - в системе двух связанных физических маятников измерить

частоты нормальных колебаний и частоту биений при различной степени связи. Соотношение между частотами и зависимость этих частот от степени связи сравнить с теоретическими.

Гармонические колебания в системе с двумя степенями свободы (нормальные колебания)

Экспериментальная установка (рис.1) состоит из двух одинаковых физических маятников, соединенных пружиной (П), измерительной шкалы (Ш) и секундомера. Маятники представляют собой стержни (С) с укрепленными на них чечевицами (Ч). Пружину можно перемещать вдоль стержней С. Этим обеспечивается изменение связи между маятниками.

ОО

С

С

П

Ч

Ч

Ш

Рис. 1

Экспериментальная установка подставляет собой систему с двумя степенями свободы. Это значит, что для фиксирования (определения) положения системы в пространстве (т.е. положения обоих маятников) необходимо задать всего две какие-либо величины. Этими величинами могут быть ( xЛ , xП ) - горизонтальные смещения, или ( yЛ , yП ) –

вертикальные смещения, или (α Л ,α П ) - углы отклонения маятников и т.п.

(Индексы «Л» и «П» у величин указывают принадлежность величины левому или правому маятнику). Какие две величины взять – это в

2

значительной степени вопрос удобства. Мы выберем для определения положения маятников их угловые смещения α Л и α П (рис.2).

Очевидно, что в рассматриваемой установке будут происходить колебательные процессы. Но будут ли эти процессы гармоническими, т.е. будут ли изменяться углы отклонений маятников α Л и α П с течением

времени по законам косинуса или синуса с постоянной амплитудой колебаний? В общем случае нет.

r

α Л

α П

Рис. 2.

Действительно, отклоним один из маятников и посмотрим, что произойдет с другим маятником (первоначальные отклонения маятников от положения равновесия не одинаковы). Из-за воздействия пружины второй маятник придет в движение: будет происходить его постепенное раскачивание в результате перехода энергии от одного маятника к другому и такое дви- жение не будет гармоническим, поскольку амплитуда этих колебаний непрерывно изменяется с течением времени (это движение невозможно представить в виде синусоиды).

С другой стороны, если мы оба маятника отклоним в одну и ту же сторону на одинаковые углы, то связывающая маятники пружина практически "не будет работать", так как она не сжимается и не растягивается. При этом, если трение и сопротивление воздуха мало, то оба маятника будут совершать гармонические колебания (рис.3).

α П

α0 α0 t

α Л

t

Рис. 3

3

Гармонические колебания также можно наблюдать, если отклонить маятники в разные стороны на одинаковые по величине углы (рис.4).

α П

α0

α0

t

α Л

t

Рис. 4.

(Этот факт не совсем очевиден, однако можно показать, что это следует из

симметрии первоначальных отклонений маятников от положения равновесия).

Таким образом, в системе связанных маятников могут происходить как гармонические, так и негармонические колебания. Гармонические

колебания в системе с двумя или более степенями свободы называются

нормальными колебаниями системы.

Нормальные колебания представляют особый интерес, поскольку любые негармонические движения являются суперпозициями (или линейными комбинациями) этих нормальных колебаний.

Перейдем теперь к количественному описанию колебательных процессов в экспериментальной установке. Исходными являются основные уравнения вращательного движения.

Пусть каждый из маятников имеет массу m и момент инерции J . Центр инерции каждого из маятников расположен на расстоянии l от оси вращения, пружина жесткости k прикреплена к маятникам на расстоянии r от оси вращения (рис. 2). Массой пружины мы пренебрежем.

На каждый маятник действуют два момента сил: момент силы тяжести и момент сипы связи (предполагаем, что трением в оси колебаний маятников можно пренебречь). Будем считать колебания малыми, т.е. полагаем малыми углы отклонения маятников:

αЛ ,П << 1	(1)
так что
sinαЛ ,П ≈ αЛ ,П , cosαЛ ,П ≈ 1	(2)

4

Деформация пружины равна (см. рис.2):

x = r ×sinαЛ - r ×sinαП » r ×(αЛ -αП )

(3)

Используя при вычислении моментов сил приближенные равенства (2),

основные уравнения динамики вращательного движения можно записать в виде:

J

d 2αЛ

= -mglα

Л

- kr

2 (α

Л

-α

П

)

(4)

dt2

J

d 2αП

= -mglα

П

+ kr

2 (α

Л

-α

П

)

(5)

dt2

Введем обозначения:

ω 0

=

mgl

,

δ =

kr2

(6)

J

J

Тогда уравнения (4) и (6)

после деления на величину J

перепишутся в

следующей форме:

d 2α

+ω02αЛ +δ 2 (αЛ -αП ) = 0

(7)

Л

dt2

d 2α

+ω02αП -δ 2 (αЛ -αП ) = 0

(8)

П

dt2

Уберем мысленно пружину (положим

формально жесткость k = 0 ) или

мысленно поднимем пружину совсем вверх ( r = 0 ), т.е. сделаем маятники независимыми друг от друга, не связанными. Тогда третьи члены в уравнениях (7) и (8) обратятся в нуль, и движение каждого из двух маятни-

ков опишется обычным уравнением гармонических колебаний

d 2α	Л		,	d 2α		,	(9)
		+ω02αЛ = 0		П	+ω02αП
dt2				dt2

где ω0 имеет смысл собственной частоты колебаний одного отдельно взя- того физического маятника.

Различие уравнений (7), (8) и (9) показывает, что при наличии связи между маятниками, т.е. в системе с двумя степенями свободы, движение в общем случае может не происходить по гармоническому закону.

Пусть α Л (0) и αП (0) - начальные угловые отклонения маятников. Тогда

решение уравнений (7), (8) можно записать в следующем виде (проверьте это путем подстановки приведенных решений в уравнения):

	αЛ (t) =	1	(αЛ (0) +αП (0))cosω1t +	1	(αЛ (0) -αП (0))cosω2t	(10)
		2		2

						5
	αП (t) =	1	(αЛ (0) + αП (0))cosω1t −	1	(α Л (0) −αП (0))cosω2t	(11)
		2		2

Здесь введены обозначения:

ω1 = ω0 , ω2 = ω02 + 2δ 2		(12)

Зависимости углов отклонения от времени (10), (11) указывают на тот факт, что в общем случае колебания маятников действительно не являются гармоническими, а представляют собой суперпозицию (комбинацию) двух гармонических колебаний - с частотами ω1 и ω2 . Именно эти гармонические колебания и называются нормальными колебаниями.

Теперь уместно задать вопрос: при каких условиях возбуждения в нашей экспериментальной установке возникают нормальные колебания? Точный количественный ответ, конечно, дают соотношения (10) и (11), из которых видно, что возможны две следующие ситуации (на качественном уровне мы их уже рассмотрели выше):

а) нормальные колебания первого (синфазного) типа

Пусть в начальный момент t = 0 оба маятника были отклонены в одну и ту же сторону на равные углы (см. рис.3):

αЛ (0) = α0	,	αП (0) = α0	(13)
Тогда (см. выражения (10) и (11)):
αЛ (t) = α0 cosω1t	,	αП (t) = α0 cosω1t	(14)
Маятники совершают синфазные		гармонические колебания с	частотой

ω1 = ω0 . Эта частота не зависит от наличии пружины (пружина "не работает").

б) нормальные колебания второго (противофазного) типа

Пусть в начальный момент t = 0 маятники были отклонены на равные углы, но в разные стороны (см. рис.4):

	α Л (0) = −α0	,	αП (0) = α0	(15)
Тогда (см. выражения	(10) и (11)):
αЛ	(t) = −α0 cosω2t	,	αП (t) = α0 cosω2t	(16)

Маятники совершают противофазные гармонические колебания с частотой ω2 . Частота ω2 больше частоты ω1 и она растет с увеличением расстояния r от оси до места закрепления пружины (см. (12)).

Таким образом, в рассматриваемой колебательной системе с двумя степенями свободы возможны два типа нормальных колебаний, и их мож- но возбудить, если отклонить маятники в начальный момент времени в соответствии с рис. 3 и 4.

6

Явление биений.

Всякое отклонение начальных условий от (13) или (15) (т.е. |αЛ (0) |¹|αП (0) |)

возбуждает оба нормальных колебания. Так что движение каждого из маятников будет представлять собой результат суперпозиции (наложения) нормальных колебаний обоих типов. (Имея в виду это иногда говорят о сложении колебаний разных частот, но одного направления колебаний).

Действительно, положим, например, в соотношениях (10), (II)

α Л (0) = 0 ,	αП (0) = α0	(17)
Это значит, что в начальный момент t = 0		правый маятник отклонили

вправо на угол α0 , а левый маятник оставили в положении равновесия. При этом выражения (10) и (11) переписываются так

	αЛ		(t) =	1		α0		(cosω1t - cosω2t)			(18)
				2
	α	П	(t) =	1		α		(cosω t + cosω		t)	(19)
				2
							0	1	2

Преобразуем формулы (18) и (19), используя тригонометрические соотношения:

αЛ (t) = α0 sin(

ω2

−ω1

t)×sin(

ω2

+ω1

t)

(20)

2

2

αП (t) =α0 cos(

ω2

−ω1

t)×cos(

ω2

+ω1

t)

(21)

2

2

Видно, что движение маятников не является гармоническим колебанием. В такой записи вторые сомножители описывают колебания с частотой, равной полусумме частот нормальных колебаний:

ω = (ω2 + ω1 ) / 2

(22)

а первые сомножители - колебания с частотой, равной полуразности частот нормальных колебаний:

Ω = (ω2 − ω1 ) / 2

(23)

В нашей установке имеется возможность сделать связь маятников слабой в том смысле, чтобы выполнялось неравенство δ << ω0 , при котором частоты

ω1 и ω2 становятся достаточно близки друг к другу. При этом

		7
ω2 ≈ ω1 + δ /ω0	= ω1 + kr2 / Jω0	(24)
ω ≈ ω0 ,	Ω ≈ kr2 / 2Jω0	(25)

Так как

Ω << ω ,

(26)

то первые сомножители в формулах (20) и (21) меняются сравнительно медленно. На этом основании величины

A

(t) =

α

0

sin(

ω2 −ω1

t)

=

α

0

sin(Ω t)

(27)

Л

2

A

(t) =

α

0

cos(

ω2 −ω1

t)

=

α

0

cos(Ω t)

(28)

П

2

можно назвать периодически изменяющимися амплитудами колебаний, описываемых вторыми сомножителями в соотношениях (20) и (21).

С какой же частотой изменяются сами амплитуды AЛ (t) , AП (t) ?

Очевидно, с частотой 2Ω . В самом деле, частота Ω в выражении α0 sin(Ω t) или α0 cos(Ω t) характеризует периодичность появления "горбов" (или

"впадин") вдоль синусоиды или косинусоиды. Когда мы находим модуль α0 sin(Ω t) или α0 cos(Ω t) , то "горбы" остаются "горбами", а "впадины"

превращаются в "горбы", и в итоге "горбы" будут встречаться вдвое чаще. Это и означает, что амплитуды AЛ (t) и AП (t) периодически меняются с

удвоенной частотой, т.е. с частотой

ωБ = 2Ω = ω2 − ω1	(29)
ωБ = ω2 − ω1 ≈ kr2 / Jω0	(30)

В случае колебаний вида (20), (21) говорят, что происходит явление

биений: маятники	совершают колебательное движение		с	частотой
ω = (ω2 + ω1 ) / 2 )	с периодически нарастающими	и	убывающими
амплитудами колебаний. Переменные величины		AЛ (t)		и AП (t)
называются амплитудами биений, а величина ωБ = (ω2		− ω1 )		называется
частотой биений.

Явление биений возникает всегда, когда одновременно возбуждают оба типа нормальных колебаний: движение представляет собой не-