теоретическая механика / Задание02

F08. На полу стоит тележка в виде длинной доски, снабженной легкими колесами. На одном конце доски стоит человек. Масса человека М = 60 кг, масса доски m = 20 кг. С какой скоростью u (относительно пола) будет двигаться тележка, если человек пойдет вдоль доски со скоростью (относительно доски)  = 1 м/с? Массой колес пренебречь. Трение во втулках не учитывать.

Ответ:

F09. На железнодорожной платформе установлено орудие. Масса платформы с орудием М = 15 т. Орудие стреляет вверх под углом  = 60⁰ к горизонту в направлении пути. С какой скоростью ₁ покатится платформа вследствие отдачи, если масса снаряда m = 20 кг и он вылетает со скоростью ₂ = 600 м/с?

Ответ:

F10. К шнуру подвешена гиря. Гирю отвели в сторону так, что шнур принял горизонтальное положение, и отпустили. Как велика сила Т натяжения шнура в момент, когда гиря проходит положение равновесия? Какой угол  с вертикалью составляет шнур в момент, когда сила натяжения шнура равна силе тяжести гири?

Ответ:

F11. Грузик, привязанный к шнуру длиной l = 50 см, описывает окружность в горизонтальной плоскости. Какой угол  образует шнур с вертикалью, если частота вращения n = 1 с^-1.

Ответ:

F12. При насадке маховика на ось центр тяжести оказался на расстоянии r = 0,1 мм от оси вращения. В каких пределах меняется сила F давления оси на подшипники, если частота вращения маховика n = 10 с^-1? Масса m маховика равна 100 кг.

Ответ:

F13. Автомобиль идет по закруглению шоссе, радиус R кривизны которого равен 200 м. Коэффициент трения f колес о покрытие дороги равен 0,1 (гололед). При какой скорости  автомобиля начнется его занос?

Ответ:

F14. Вал вращается с частотой n = 2400 мин^-1. К валу перпендикулярно его длине прикреплен стержень очень малой массы, несущий на концах грузы массой m = 1 кг каждый, находящиеся на расстоянии r = 0,2 м от оси вала. Найти:

1. силу F, растягивающую стержень при вращении вала;

2. момент М силы, которая действовала бы на вал, если бы стержень был наклонен под углом  = 89⁰ к оси вала.

Ответ: 1) 2)

F15. Насос выбрасывает струю воды диаметром d = 2 см со скоростью  = 20 м/с. Найти мощность N, необходимую для выбрасывания воды.

Ответ:

F16. При выстреле из орудия снаряд массой m₁ = 10 кг, получает кинетическую энергию Т₁ = 1,8 МДж. Определить кинетическую энергию Т₂ ствола орудия вследствие отдачи, если масса m₂ ствола орудия равна 600 кг.

Ответ:

F17. Молекула распадается на два атома. Масса одного из атомов в n = 3 раза больше, чем другого. Пренебрегая начальной кинетической энергией и импульсом молекулы, определить кинетические энергии Т₁ и Т₂ атомов, если их суммарная кинетическая энергия Т = 0,032 нДж.

Ответ:

F18. Пуля массой m = 10 г, летевшая со скоростью  = 600 м/с, попала в баллистический маятник (рис.) массой М = 5 кг и застряла в нем. На какую высоту h, откачнувшись после удара, поднялся маятник?

Ответ:

F19. В лабораторной системе отсчета удаляются друг от друга две частицы с одинаковыми по модулю скоростями. Их относительная скорость u в той же системе отсчета равна 0,5с. Определить скорости частиц.

Ответ: 0,286c.

F20. Ион, вылетев из ускорителя, испустил фотон в направлении своего движения. Определить скорость фотона относительно ускорителя, если скорость  иона относительно ускорителя равна 0,8с.

Ответ: c.

F21. Два ускорителя выбрасывают навстречу друг другу частицы со скоростями  = 0,9с. Определить относительную скорость u₂₁ сближения частиц в системе отсчета, движущейся вместе с одной из частиц.

Ответ: 0,994c.

F22. Отношение заряда движущегося электрона к его массе, определенное из опыта, равно 0,8810¹¹ Кл/кг. Определить релятивистскую массу m электрона и его скорость .

Ответ:  = 0,866с.

F23. В лабораторной системе отсчета одна из двух одинаковых частиц покоится, другая движется со скоростью  = 0,8с по направлению к покоящейся частице. Определить:

1. релятивистскую массу движущейся частицы в лабораторной системе отсчета;

2. скорость частиц в системе отсчета, связанной с центром инерции системы;

3. релятивистскую массу частиц в системе отсчета, связанной с центром инерции.

Ответ: 1)2)3)

F24. В лабораторной системе отсчета находятся две частицы. Одна частица с массой покоя m₀ движется со скоростью  = 0,6с, другая с массой покоя 2m₀ покоится. Определить скорость V_с центра масс системы частиц.

Ответ:

F25. Кинетическая энергия Т электрона равна 10 МэВ. Во сколько раз его релятивистская масса больше массы покоя? Сделать такой же подсчет для протона.

Ответ: 20,6; 1,01.

F26. При какой скорости  кинетическая энергия любой частицы вещества равна ее энергии покоя?

Ответ: 260 Мм/с.

F27. Две релятивистские частицы движутся навстречу друг другу с одинаковыми (в лабораторной системе отсчета) кинетическими энергиями, равными их энергии покоя. Определить:

1. скорости частиц в лабораторной системе;

2. относительную скорость сближения частиц (в единицах с);

3. кинетическую энергию (в единицах m₀c²) одной из частиц в системе отсчета, связанной с другой частицей.

Ответ: 1) 0,866c; 2) 0,9897c; 3)

F28. Определить импульс p частицы (в единицах m₀c²), если ее кинетическая энергия равна энергии покоя.

Ответ:

F29. Определить кинетическую энергию Т релятивистской частицы (в единицах m₀c²), если ее импульс p = m₀c.

Ответ:

F30. Кинетическая энергия релятивистской частицы равна ее энергии покоя. Во сколько раз возрастет импульс частицы, если ее кинетическая энергия увеличится в n = 4 раза?

Ответ: 2,82.

G01. Груз массой m = 60 кг подвешен на нити, которая наматывается на барабан, вращающийся согласно уравнению . Определить натяжение каната, если r = 0,4 м.

G02. Материальная точка массой m = 0,6 кг колеблется в вертикальном направлении согласно закону , где x - в см. Определить силу натяжения пружины в момент времени t = 2 c.

G03.

Материальная точка массой m = 12 кг подвешена на двух одинаковых пружинах. На нее действует сила F = 20 Н. Определить модуль усилия в одной пружине, если в данном положении м.т. имеет ускорение а = 3 м/с².

G04. Автомобиль, масса которого m = кг, двигаясь по мосту, тормозит с замедлением а = 6 м/с². Принимая автомобиль за м. т., определить модуль горизонтальной нагрузки на опору О.

G05.

Вибролоток 1 совершает гармонические колебания в горизонтальном направлении с амплитудой 0,981 см. Определить максимальное значение частоты колебания при которой деталь 2 еще не скользит по лотку. Коэффициент трения скольжения детали по лотку f = 0,1.

G06.

Определить с каким ускорением a надо двигать клин 1 по горизонтальной направляющей, чтобы м.т. 2 не скользила по наклонной плоскости клина.

G07.

Какой наибольшей скорости может достичь м.т. массой m = 1 кг, которая опускается по наклонной плоскости с углом наклона  = 30⁰, если на нее действует сила сопротивления R = 0,11V, где V – скорость в м/с.

G08.

Материальная точка массой m = 10 кг движется по окружности радиусом r = 3 м согласно закону движения . Определить модуль силы инерции материальной точки в момент t = 3 c.

G09.

Материальная точка М движется в вертикальной плоскости по внутренней поверхности цилиндра радиуса r = 9,81 м. Определить минимальную скорость V точки, при которой в указанном положении не произойдет ее отрыв от цилиндра.

G10.

Материальная точка массой m = 0,1 кг скользит по негладкой, вертикально расположенной направляющей радиуса r = 0,4 м. В самом нижнем положении скорость точки V = 4 м/c, а касательное ускорение а_ = 7 м/с². Определить мгновенное значение силы F, если коэффициент трения f = 0,1.

G11.

Материальная точка массой m = 2 кг удерживается в равновесии двумя наклонными нитями. Определить натяжение одной нити в момент времени непосредственно после обрыва второй.

G12.

Луна движется вокруг Земли на расстоянии 384400 км от центра Земли с орбитальной скоростью 163 м/с. Масса Луны кг. Определить силу, с которой Земля притягивает Луну, считая Луну материальной точкой.

G13.

По негладкой направляющей радиуса r = 0,5 м, расположенной в горизонтальной плоскости, скользит материальная точка массой m = 1,5 кг с постоянной скоростью V = 2 м/с под действием силы. Определить модуль силы F, если коэффициент трения скольжения f = 0,15.

G 14.

Определить в градусах угол отклонения стержня АМ с точечной массой m на конце от вертикальной оси вращения, если вал ОА совместно со стержнем АМ равномерно вращается с угловой скоростью  = 4,47 с^-1, l = 0,981 м. Массой стержня АМ пренебречь.

G15.

Чаша вращается с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси. Определить наибольшее значение угловой скорости, при которой материальная точка М еще не начнет подниматься по стенке чаши. Коэффициент трения скольжения между точкой М и стенкой чаши f=0,1, радиус r = 0,2 м.

G16.

Автомашина движется по прямому участку пути со скоростью V = 140 км/ч. К ободу диска колеса на расстоянии r = 20 см прикреплен балансировочный груз массой m = 80 кг. Определить максимальную силу давления груза на обод колеса. Радиус колеса R = 35 см. Колебаний колеса не учитывать.

G17.

Материальная точка М массой m = 4 кг движется согласно закону S=0,5t²+0,5sin(4t). В момент времени t = 5 с радиус кривизны траектории точки = 4 м. Определить в этот момент времени модуль силы инерции м.т.

G 18.

Горизонтальная виброплатформа 1 на которой лежит деталь 2 совершает гармонические колебания по вертикали с амплитудой 1 мм. Частоту колебаний можно менять, сохраняя туже амплитуду. Определить максимальную частоту, при которой деталь 2 еще не отрывается от платформы.

G19.

Трубка вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью = 1 рад/с под действием пары сил с моментом М. Внутри трубки движется м.т. массой m = 0,1 кг. В момент времени, когда l = 0,2 м и относительная скорость точки V' = 2 м/c, определить момент М_F, силы F.

G20.

Трубка вращается с постоянной угловой скоростью = 2 рад/с вокруг горизонтальной оси. По трубке движется м.т. массой m = 0,2 кг с относительным ускорением а^/ = 4 м/с. Определить модуль силы F в момент времени, когда l = 0,2 м, а трубка находится в вертикальной плоскости.

G21.

Горизонтальная платформа 1 вибростенда совершает вертикальные гармонические колебания с амплитудой 8 мм и частотой 8 Гц. К платформе прикреплен датчик 2 массой 50 г. Определить максимальное значение силы, которая стремиться оторвать датчик от платформы.

G22.

Пара сил с моментом M = 0,8 Hм приводит в движение механизм, расположенный в горизонтальной плоскости. Кривошипы 1 и 2 – однородные стержни длиной l = 0,2 м. и массой m₁ = m₂ = 1 кг, масса m₃ = 2 кг. Пользуясь методом возможных перемещений, определить угловое ускорение кривошипа 1.

G23.

Пользуясь методом возможных перемещений, определить угловое ускорение барабана 1, если к нему приложена пара сил с моментом M = 0,2 Hм, массы тел m₁ = m₂ = 1 кг., моменты инерции барабанов относительно их центральной оси I₁ = I₂ = 0,02 кгм², радиусы r = 0,2 м.

с

G24.

Пользуясь методом возможных перемещений, определить ускорение центра С катка 1, если тела 1 и 2 – однородные сплошные цилиндры с одинаковыми массами и радиусами.

G25.

По горизонтальной платформе массой m₂ = 425 кг бежит человек с ускорением а^/ = 2 м/с² относительно платформы. Масса человека m₁ = 75 кг. Пользуясь методом виртуальных перемещений, определить ускорение платформы.

H

01.

Ш

P

кив радиуса r жестко связан с маховиком и имеет с ним общую ось вращения. Суммарный момент инерции системы I. На шкив намотана нить, к концу которой прикреплен груз P, который, опускаясь, вращает маховик. В начальный момент времени груз P был неподвижен. Составить функцию Лагранжа и определить, какую скорость приобретает груз, опустившись на длину нити h.

H02.

Два тела с массами m₁ и m₂ соединены нерастяжимой невесомой нитью, перекинутой через блок. Пренебрегая массой блока, и считая тела материальными точками, написать:

1. уравнение Лагранжа;

2. функцию Гамильтона;

3. уравнения Гамильтона;

4. найти закон движения грузов, исходя из уравнений Гамильтона.

H03.

На гладкий горизонтальный стержень надеты две пружины жесткостью k, между которыми находится надетая на стержень шайба массой m, пружины упираются в стены (см. рис.). Составить уравнение Лагранжа и найти частоту малых колебаний шайбы.

m

H04.

Составить уравнения Лагранжа и написать уравнение сводных колебаний массы m в системе, изображенной на рис. Система находится в поле силы тяжести и может совершать только вертикальные колебания, коэффициенты упругости пружины одинаковы и равны k.

H05.

На концах невесомого прямого стержня длиной l находятся массы m₁ и m₂ (m₂>m₁). Стержень может вращаться относительно горизонтальной оси, проходящей на расстоянии (¼)l от массы m₁. Составить уравнение Лагранжа и определить частоты малых колебаний стержня.

H06.

Диск радиуса R, массы m подвешен в точке О на расстоянии а от центра и выведен из состояния равновесия на малый угол. Составить уравнение Лагранжа и найти период малых колебаний.

H07.

Стержень длиной 2l, имеющий ось вращения на расстоянии а от конца выведен из состояния равновесия на малый угол. Составить уравнение Лагранжа и найти период малых колебаний.

H08.

Невесомый стержень длиной l шарнирно подвешен на его конце. На другом конце закреплен груз массы m₂ , на расстоянии a от него на стержне закреплен груз массы m₁. Стержень выведен из состояния равновесия. Составить функцию Лагранжа системы и определить период малых колебаний.

H09.

Маятник состоит из подвешенного за один конец невесомого стержня с двумя материальными точками m₁ и m₂ на расстоянии l₁ и l₂ от точки подвеса. Найти функцию Лагранжа системы, период малых колебаний и приведенную длину.

H10.

Грузы весом P и Q с помощью подвижного A и неподвижного B блоков и невесомого шнура закрепленного в точке C подвешены, как указано на чертеже. Пренебрегая массой блоков и трением составить уравнение Лагранжа и определить ускорение груза Q, при условии Q<(1/2)P.

H

11.

Тело весом Q положено на горизонтальную плоскость и к нему привязана нить, перекинутая через блок, к концу которого подвешен груз P. Коэффициент трения тела о плоскость f. Составить уравнение Лагранжа, определить ускорение грузов и натяжение нити T.

H12.

Два груза P и Q связанных нитью, перекинутой через невесомый блок могут скользить по граням неподвижной призмы с углами при основании и , причем += /2. Коэффициент трения грузов о грани равен f. Составить уравнения Лагранжа и найти ускорения грузов.

H13.

Три тела весом P₁, P₂, P₃ положили на горизонтальную поверхность и соединили невесомой нитью, перекинутой через блок. К концу нити подвесили груз Q. Коэффициент трения грузов о плоскость равен f. Составить функцию Лагранжа, определить ускорение грузов и натяжение нити между P₁ и P₂.