Применение преобразований к решению задач
С помощью преобразований можно значительно упростить решение отдельных задач на доказательство. Сущность метода, преобразований состоит в том, что решение задачи начинается с задания некоторого преобразования плоскости, а затем доказывается, что некоторая фигура является образом какой-то другой фигуры в этом преобразовании и. следовательно обладаем требуемыми свойствами. При доказательстве используемся утверждение: если f — некоторое преобразование плоскости и фигура, Ψ является пересечением фигур Ф1, (Ψ =Ф1 Пересек Ф2) и Ψ' = f(Ψ). Ф`1=f(Ф1),Ф`2=f(Ф2), то f(Ψ) =f(Ф1 Пересек Ф2)=f(Ф1) Пересек f(Ф2)= Ф`1 Пересек Ф`2= Ψ'.
Пример . Доказать, что концы отрезка АВ равноотстоят от любой прямой £, проходящей через середину О отрезка.
Решение. Пусть L — любая прямая, проходящая через середину О отрезка АВ. Проведем через точку А прямую м перпендик 1 и построим точку М = м Пересек £, а через точку В — прямую p перпендик l, Р = р пересек l.
Рассмотрим центральную симметрию Z с центром О. Так как О € L и АО = ОБ, то по определению центральной симметрии В = Z(A) и по свойству 2° L = Z(l). Прямые m и р параллельны как два перпендикуляра к одной прямой £ и проходят через симметричные точки А и В. Поэтому по свойству 3° р = Z(m). Теперь найдем: Z(M) = Z(m Пересек £) = Z(m) Пересек Z(£) = р Пересек £ = Р. Таким образом, М и Р — симметричные относительно О точки. Тогда Z(AM) = ВР. Так как центральная симметрия является движением, то AM = ВР.
2°. Центральная симметрия отображает всякую прямую, проходящую через центр симметрии, на себя,
3°. Центральная симметрия отображает всякую прямую, не проходящую через центр симметрии, на параллельную ей прямую, иначе говоря, центрально-симметричные прямые параллельны.
Задача: Дано: треуг АВС, О-внутри АВС.
Построить: треуг=Z0(ABC) центр.симметрия