Новая папка / № 4

Разноуровневое изучение комплексных чисел в школьном курсе математики

Изучение комплексных чисел: Изучение комплексных чисел предусмотрено программой по математике только в курсе В – профильного обучения для классов математического профиля. Здесь учащиеся должны овладеть:

1. «Алгебраическая форма комплексного числа»: учащиеся должны знать и уметь использовать определения - комплексных чисел (пара действительных чисел, взятых в определенном порядке), действительной и мнимой части к. ч., равенства двух комплексных чисел (равны действительные и мнимые части), сопряженного комплексного числа с данным комплексным числом(отличается знаком мнимой части), квадратного корня из комплексного числа(такое же, как и для R) (уметь решать квадратные уравнения с отрицательным дискриминантом), знать формулировки и применять на практике свойства сопряженных комплексных чисел (, , , где ) и следствия из них (; если заменить в многочлене P(z) с комплексными коэффициентами значение на сопряженное значение , а все коэффициенты – сопряженными им числами. То значение многочлена заменится на сопряженное; аналогичное следствие для многочлена с коэффициентами из R; Сумма и произведение двух сопряженных комплексных чисел является числом действительным)

2. Геометрическое изображение комплексных чисел: комплексные числа как точки на плоскости, к. ч. как векторы и геометрический смысл основных операций (соответствуют те же самые операции с векторами, умножение – растяжение и поворот на угол)

3. «Тригонометрическая форма комплексного числа»: знать определения и уметь ими пользоваться - аргумент и модуль комплексного числа, корня n-й степени из к. ч.; должны уметь умножать, делить и возводить комплексные числа в натуральную степень(,,,, при - формула Муавра), уметь переводить комплексное число из одной формы записи в другую(, ).

4. Уметь решать двучленные и трехчленные уравнения: (), (замена )

5. Знать и уметь доказывать теоремы: Основная теорема алгебры многочленов: любое уравнение с к. коэф., степень которого больше нуля, имеет хотя бы один к. корень(без док.) и следствия из нее(Любой многочлен n-й степени к. коэф. раскладывается в произведение n линейных множителей; Любое уравнение n-й степени (n>=1) с к. коэф. имеет n комплексных корней.); если к. ч. является корнем многочлена P(z), имеющего действ. коэф. то и является корнем того же многочлена; Любой многочлен с действ. коэф. может быть представлен в виде .

Таким образом, комплексные числа не входят в программу курса А – общеобразовательного профиля но, тем не менее, изучение темы можно предложить в элективном курсе. Различия в содержании элективного курса зависят от уровня математической подготовки конкретного класса, но в общем случае курс строится на основе “ослабления” материала профильного уровня.