- •Министерство образования и науки российской федерации
- •1. Краткие сведения из теории линейных нестационарныхинелинейныхсистем автоматического управления
- •1.1. Особенности процессов в линейных нестационарных системах
- •1.2. Особенности процессов в нелинейных сау
- •1.3. Метод фазового пространства
- •2. Моделирования процессов в линейных нестационарных и нелинейных динамических системах с использованием подсистемы MatLab simulink
- •2.1. Приведение линейного дифференциального уравнения к канонической форме
- •2.2. Пример исследования нестационарных и нелинейных процессов
- •3. Задание на самостоятельную работу
- •4. Отчетность
1.2. Особенности процессов в нелинейных сау
Система автоматического управления называется нелинейной, если в ней содержится хотя бы один нелинейный элемент. Это приводит в общем случае или к системе нелинейных дифференциальных и алгебраических уравнений, или к единому нелинейному дифференциальному уравнению САУ.
Рисунок
1 - Схема нелинейного элемента
Из-за наличия нелинейных элементов в нелинейных САУ проявляются свойства, которых нетв системах линейных.
Рисунок
2 - Фазовые портреты нелинейнойСАУ
Из-за особенностей нелинейных систем для их исследования было введено понятие так называемого фазового пространства. Обычно это пространство, координатами (фазами) которого являются регулируемая величинаи ее производные до-го порядка, где- порядок САУ.
Чаще всего для исследования нелинейных систем используют частный случай фазового пространства - так называемую фазовую плоскость. Она представлена на рисунке 2, где в качестве оси абсцисс выступает регулируемая величина, а в качестве оси ординат используется ее производная.
Если нелинейная САУ устойчива (неустойчива) вблизи начала координат фазового пространства, то говорят, что она устойчива (неустойчива) в “малом”. Если нелинейная САУ устойчива (неустойчива) вдали от начала координат, то говорят, что такая система устойчива (неустойчива) в “большом”. Оба эти состояния - и “большое”, и “малое” - разделяет граничная поверхность, которая может характеризовать или границу области устойчивости по возмущениям, или автоколебательный процесс.
Поведение нелинейной САУ в фазовом пространстве отображается так называемой фазовой траекторией. Под ней понимают графическое изображение пути из любого начального состояния САУ в любое её конечное состояние. Совокупность фазовых траекторий часто называютфазовым портретом. На рисунке 2 представлен фазовый портрет устойчивой в “малом” (из- в ноль) и неустойчивой в “большом” (из- в бесконечность) нелинейной системы.
1.3. Метод фазового пространства
Основу метода фазового пространствасоставляют все способы, позволяющие изобразить траекторию движения САУ из одного состояния в другое в соответствующем фазовом пространстве. Особенно наглядно представляется движение САУ на фазовой плоскости, если известны аналитические формулы для некоторых видов процессов.
Пусть САУ переходит из одного состояния в другое по экспоненте
. (3)
Следовательно,
. (4)
Рисунок
3 - Фазовые траектории
Найдём теперь траекторию движения характеристической точки на фазовой плоскости, если процесс имеет форму синусоиды
. (5)
При этом для скорости процесса справедливо соотношение
. (6)
После возведения в квадрат выражений (5),(6) и несложных преобразований (с учётом тождества ) можно получить выражение
. (7)
Это уравнение эллипса с полуосями и. Как следствие, при представлении синусоиды (5) на фазовой плоскости будет наблюдаться движение характеристической точкипо эллипсу (7). Его же часто называютциклом.
Циклы могут быть устойчивые и неустойчивые. Если характеристическая точка стремится удалиться от цикла (7), то его называютнеустойчивым.Если эта точка стремитсяк циклу(7) и из “малого”, и из “большого”, то его называютустойчивым. Частные случаи устойчивых и неустойчивых циклов представлены на рисунке 4.
В случае устойчивого цикла фазовые траектории «навиваются» на эллипс, а в случае неустойчивого - уходят от него в ноль или в бесконечность.