Метод ідеальної точки

Метод «ідеальної точки»

(LINMAP — LINear programming technique for Multidimensional Analysis of Preference)

Метод «ідеальної точки» або LINMAP (лінійна техніка програму- вання для багатовимірного аналізу переваг), розроблений Srinivasan і Shocker (1973).

Srinivasan V., Shocker A. D. — Linear programming techniques for multidimensional analysis of preference // Psychometrica, 38. — 1973. — P. 337—342.

— базується на концепції, що вибрана альтернатива повинна мати найменшу відстань до ідеального рішення. Прийняття рішень відбува- ється на основі m критеріїв.

Позначимо через Ai — i -у альтернативу та xij — значення i -ї альте-

рнативи за j -м критерієм (i 1, 2, ..., n, j 1, 2, ..., m ). Передбачаєть-

ся, що кожний критерій матриці рішення має або монотонно зростаючу, або монотонно спадну цільову функцію. Оскільки всі критерії можуть мати різну важливість, можливе призначення ваги критеріям (напри- клад, експертним шляхом або за допомогою інших методів).

Приклад. Меблева компанія Меркс для будівництва одного зі

своїх цехів з виготовлення корпусної меблі хоче здійснити вибір міс- ця розміщення майбутнього цеху. Відділом маркетингу компанії були відібрані декілька варіантів, які оцінюються за такими критеріями: РЗД — розмір земельної ділянки (тис. кв. м), ПП — потенціал пер- соналу (чол.), ТЕФ — кількість транспортно-експедиторські фірми (шт.), ВД — витрати на підготовку проектної документації (тис. грн.); СПД — ставка податку на діяльність (грн.); ВК — витрати на підведення комунікацій (тис. грн.). Інформація про дані кожної з альтернатив наведена в табл. 1:

							Таблиця 1.
	Крите-	РЗД —	О —		ТЕФ —	ВД —	СПД —	ВК —
	рії			ПП —	тран-	витрати на	ставка	витрати на
		розмір зе-	оцінка
				потенціал	спортно-	підготовку	податку	підведення
		мельної ді-	екс-	персоналу	експеди-	проектної до-	на діяль-	комуніка-
	Альтер-	лянки	пертів
				(чол.)	торські фір-	кументації	ність	цій (тис.
		(тис. кв. м) (бал)
	нативи				ми (шт.)	(тис. грн.)	(грн.)	грн.)
	Вага	0,15	0,18	0,16	0,1	0,13	0,17	0,11
	Функція	max	max	max	max	min	min	min
	A1	60	70	800	15	78	350	122
	A2	42,5	90	1100	12	71	250	156
	A3	35	80	1300	25	58	450	144
	A4	35	50	900	14	55	300	300
	A5	40	60	1000	17	65	400	132
	Алгоритм застосування методу:
	Крок 1. Нормалізація матриці рішення. На цьому кроці критерії,
	які мають різні одиниці вимірювання, перетворюють у безрозмірні кри-

1

терії, що дасть змогу здійснити надалі їх порівняння. Один з підходів —
це розділити значення кожного критерію на норму вектора суми зна-
чень критерію.
	Елемент rij					нормалізованої матриці обчислюється як rij												xij	.
																		n
																		xkj2
																		k 1
													n
				Таблиця 2. Обчислення xkj2							та		xkj2		для кожного критерію
													k 1
				РЗД			Е		ПП		ТЕФ			ВД		СПД		ВК
A1				3600		4900			640000		225			6084		122500		14884
A2				1806,25		8100			1210000		144			5041		62500		24336
A3				1225		6400			1690000		625			3364		202500		20736
A4				1225		2500			810000		196			3025		90000		90000
A5				1600		3600			1000000		289			4225		160000		17424
n
xkj2				97,24		159,69			2313,01		38,46			147,44		798,44		409,12
k 1
	Далі для кожного критерію значення матриці (значення в стовпчи-
ку РЗД матриці рішень ділимо на 97,24; в стовпчику Е — на 159,69, і
т.д.	У табл. 3, зокрема,								значення r		0,6170				x11		60 .
									11						5		97,24
															xk21
															k 1
				Таблиця 3. Обчислення нормалізованої матриці D*														r	n m
																		ij
				РЗД*		Е*			ПП*		ТЕФ*			ВД*		СПД*		ВК*
A1				0,6170		0,4384			0,3459	0,3900				0,5290		0,4384		0,2982
A2				0,4370		0,5636			0,4756	0,3120				0,4815		0,3131		0,3813
A3				0,3599		0,5010			0,5620	0,6501				0,3934		0,5636		0,3520
A4				0,3599		0,3131			0,3891	0,3640				0,3730		0,3757		0,7333
A5				0,4113		0,3757			0,4323	0,4420				0,4409		0,5010		0,3226
	Крок 2. Визначення ідеальної альтернативи («ідеальної точки»)
	Визначимо «ідеальну» альтернативу A таким чином:
A							max	),(minrij j J		min		), i
			(maxrij j J										1,2,...,n			{r1	,r2 ,..., rm } ,
				i					i
де	Jmax {j				j 1,2,...,m по j необхідно максимізувати},
	Jmin {j				j 1,2,...,m по j необхідно мінімізувати} ,
тобто на основі наявних альтернатив формується деяка «ідеальна» аль-
тернатива, яка має найкращі показники за усіма критеріями:

2

для критеріїв, які необхідно максимізувати, серед усіх альтерна- тив вибираємо найбільше значення за кожним критерієм (для даної за- дачі у кожному стовпчику з 1-го по 4-й критерій — виділено помаранче- вим кольором);

для критеріїв, які необхідно мінімізувати, серед усіх альтернатив вибираємо найменше значення за кожним критерієм (для даної задачі у кожному стовпчику з 5-го по 7-й критерій — виділено бузковим кольо- ром).

		Таблиця 4. Визначення «ідеальної альтернативи»
	РЗД*	Е*	ПП*	ТЕФ*	ВД*	СПД*	ВК*
	max ( )	max ( )	max ( )	max ( )	min ( )	min ( )	min ( )
A1	0,6170	0,4384	0,3459	0,3900	0,5290	0,4384	0,2982
A2	0,4370	0,5636	0,4756	0,3120	0,4815	0,3131	0,3813
A3	0,3599	0,5010	0,5620	0,6501	0,3934	0,5636	0,3520
A4	0,3599	0,3131	0,3891	0,3640	0,3730	0,3757	0,7333
A5	0,4113	0,3757	0,4323	0,4420	0,4409	0,5010	0,3226
	За цими критеріями вибираємо у кож-				За цими критеріями вибира-
	ному стовпчику найбільші значення				ємо у кожному стовпчику
					найменші значення
	r	r	r	r	r	r	r
A	1	2	3	4	5	6	7
	0,6170	0,5636	0,5620	0,6501	0,3730	0,3131	0,2982

Тут враховано, що критерії РЗД, Е, ПП, ТЕФ мають монотонно зро- стаючу цільову функцію, а ВД, СПД, ВК — монотонно спадну цільову функцію).

Крок 3. Обчислення для кожної альтернативи показника, який по- казує ступінь її близькості до «ідеальної» альтернативи.

При цьому «відстань» між i -ю альтернативою та ідеальною обчис-

	m
люється за формулою: Si	wj (rij rj )2 ,	i 1, 2, ..., n (табл. 5)
	j 1

(можна використовувати й без кореня як на лекції).

			Таблиця 5. Обчислення Si
		Si		Ранг
A1		0,1513		3
A2		0,1406		1
A3		0,1472		2
A4		0,2359		5
A5		0,1624		4

3

Крок 4. Ранжирування порядку переваг.

Ясно, що менше значення Si (чим менша «відстань» до ідеальної

альтернативи), тим переважнішою є альтернатива. Таким чином, множина альтернатив може бути ранжирована відповідно до значень

Si : A2 A3 A1 A5 A4 (табл. 5).

4