Результаты вычислений сведем в таблицу:

i h q[i,1] q[i,2] q[i,3] q[i,4]

1 0.10000 2.7228145640

2 0.05000 2.7194145875 2.7182812620

3 0.02500 2.7185649917 2.7182817932 2.7182818286

4 0.01250 2.7183526177 2.7182818263 2.7182818285 2.7182818285

Точность результатов, приведенных на диагонали таблицы, не может не радовать пользователя.

5. Действия над приближенными числами

Компьютер оперирует с приближенными значениями вещественных чисел. Мерой точности приближенных чисел является погрешность. Различают абсолютную и относительную погрешности. Абсолютная погрешность некоторого числа равна разности между его истинным значением x и приближенным значением a:

(6.9)

Отношение абсолютной погрешности приближенного числа к его модулю

(6.10)

называют относительной погрешностью. Обычно истинное значение величины x неизвестно, поэтому используют верхнюю оценку модуля абсолютной погрешности.

При вычислениях на компьютере экономнее числа не округлять по известным правилам, а просто отбрасывать цифры, выходящие за разрядную сетку. Следовательно, возрастает погрешность результата выполнения такой операции.

Оценка абсолютной погрешности для функции нескольких аргументов может быть сделана по формулам:

(6.11)

где a,b,c – приближенные значения аргументов x,y,z;- их абсолютные погрешности, тогда оценка относительной погрешности:

. (6.12)

Используя формулы (6.11) и (6.12) не трудно получить следующие формулы для оценки погрешностей при выполнении операций над приближенными числами:

(6.13)

Относительная погрешность разности двух чисел

(6.14)

При она может быть очень большой. Поэтому при написании программ следует избегать выражений, в которых происходит вычитание близких чисел. Теперь должны быть понятны трудности, возникающие при составлении алгоритмов чиленного дифференцирования.