2. Построим трендовую модель роста среднемесячного дохода.

Номер года	t=x	среднемесячный доход на душу населения Dt=y
1	1	16
2	2	18,4
3	3	22
4	4	24,6
5	5	18,6
6	6	33,1
7	7	35,7
8	8	43,5
9	9	42,2
10	10	45,7
сумма	55	299,8
среднее	5,5	29,98

хср уср

Уравнение будет иметь вид: D_t = at + b.

Найдем коэффициент корреляции:

r_yx = Cov(x,y) /

x-xcp	y-ycp	(x-xcp)^2	(y-ycp)^2	(x-xcp)*(y-ycp)
-4,5	-13,98	20,25000000	195,44040000	62,91000000
-3,5	-11,58	12,25000000	134,09640000	40,53000000
-2,5	-7,98	6,25000000	63,68040000	19,95000000
-1,5	-5,38	2,25000000	28,94440000	8,07000000
-0,5	-11,38	0,25000000	129,50440000	5,69000000
0,5	3,12	0,25000000	9,73440000	1,56000000
1,5	5,72	2,25000000	32,71840000	8,58000000
2,5	13,52	6,25000000	182,79040000	33,80000000
3,5	12,22	12,25000000	149,32840000	42,77000000
4,5	15,72	20,25000000	247,11840000	70,74000000
0,00000000	0,00000000	82,50000000	1173,35600000	294,60000000
0,00000000	0,00000000	8,25000000	117,33560000	29,46000000
		var(x)	var(y)	cov(x,y)

r_yx = 29,460/ = 0,946871117

То есть зависимость среднемесячного дохода на душу населения от года сильная.

R² = r_yx ² = 0,946871117 ² = 0,896564911, то есть 89% вариации среднемесячного дохода на душу населения объясняется изменением года.

Найдем коэффициенты a и b по формулам:

а = Cov(x,y)/Var(x) = 29,460/ 8,25 = 3,570909091

b = Ycp – aXcp = 10,34

Получим уравнение y_p = 3,570909091х+ 10,34

Оценим статистическую значимость уравнения с помощью критериев Фишера и Стьюдента:

F_факт = (n-2) = 8 = 69,3431928

F_табл = 5,32. F_факт= 69,3431928> F_табл = 5,32, следовательно, гипотеза Н_о о статистической незначимости уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи коэффициента корреляции отвергается. Уравнение регрессии статистически значимо и надежно.

t_a = a/m_a

t_b = b/m_b

t_r = r/m_r

Yp	E=y-Yp	E^2	|E/y|	x^2
13,91090909	2,08909091	4,36430083	0,130568182	1
17,48181818	0,91818182	0,84305785	0,049901186	4
21,05272727	0,94727273	0,89732562	0,043057851	9
24,62363636	-0,02363636	0,00055868	0,000960828	16
28,19454545	-9,59454545	92,05530248	0,515835777	25
31,76545455	1,33454545	1,78101157	0,040318594	36
35,33636364	0,36363636	0,13223140	0,010185893	49
38,90727273	4,59272727	21,09314380	0,105579937	64
42,47818182	-0,27818182	0,07738512	0,006591986	81
46,04909091	-0,34909091	0,12186446	0,007638751	100
299,80000000	0,00000000	121,36618182	0,91063898	385,00000000
29,98000000	0,00000000	12,13661818	0,09106390	38,50000000

m_a = = = 0,428821821

m_b = = 2,660769426

m_r = = = 0,113707458

Получим:

t_a = 3,570909091/0,428821821= 8,327256019

t_b = 3,886093961

t_r = 0,946871117 / 0,113707458= 8,327256019

t_табл = 2,3060

t_a , t_b , t_r > t_табл = 2,3060, гипотеза Н₀ о незначимом отличии коэффициентов а, в и r от 0 отвергается. Коэффициенты а, в и r статистически значимы и сформировались под влиянием объективно действующих факторов. Найдем ошибку аппроксимации:

А = *100% = 9,106389843% < 10%, ошибка модели хорошая.

Найдем для этой модели коэффициент автокорреляции в таблице:

t	у(t)	Yt-1	(Yt-1)-y1cp	(Yt-1)-y2cp	((Yt-1)-y1cp)*((Yt-1)-y2cp)	((Yt-1)-y1cp)^2	((Yt-1)-y2cp)^2
1	16	-	-	-	-	-	-
2	18,4	16	-13,13333333	-12,23333333	160,66444444	172,48444444	149,6544444
3	22	18,4	-9,533333333	-9,833333333	93,74444444	90,88444444	96,69444444
4	24,6	22	-6,933333333	-6,233333333	43,21777778	48,07111111	38,85444444
5	18,6	24,6	-12,93333333	-3,633333333	46,99111111	167,27111111	13,20111111
6	33,1	18,6	1,566666667	-9,633333333	-15,09222222	2,45444444	92,80111111
7	35,7	33,1	4,166666667	4,866666667	20,27777778	17,36111111	23,68444444
8	43,5	35,7	11,96666667	7,466666667	89,35111111	143,20111111	55,75111111
9	42,2	43,5	10,66666667	15,26666667	162,84444444	113,77777778	233,0711111
10	45,7	42,2	14,16666667	13,96666667	197,86111111	200,69444444	195,0677778
Сумма	299,8	254,1	0,00000000	0,00000000	799,86000000	956,20000000	898,78000000
Ср.	29,98	25,41	0,00000000	0,00000000	79,98600000	95,62000000	89,87800000

Где y₁cp = /(n-1) = 31,53333333

y₂cp = /(n-1) = 28,23333333

Коэффициент автокорреляции первого порядка вычислим по формуле:

r₁ = = = 0,862805509.

Связь между среднемесячным доходом на душу населения текущего года и предшествующего тесная, то есть на среднемесячный доход на душу населения имеется сильная линейная тенденция.