2.Решение задач с помощью функций нескольких переменных в экономических областях.

Задача 1.Прибыль от производства разных видов продукции

Рассмотрим типичную задачу нахождения экстремума функции нескольких переменных, возникающую в экономике. Пусть - количество производимыхразновидностей продукции, а их цены – соответственно(все- постоянные величины). Пусть затраты на производство этих видов продукции задаются функцией издержек

Тогда функция прибыли имеет вид

Максимум прибыли естественно искать как условие локального экстремума функции многих переменных при (при отсутствии других ограничений)

Это условие приводит к системе алгебраических уравнений относительно переменных

Эта система уравнений реализует известное правило экономики: предельная стоимость продукции равна предельным издержкам на производство этой продукции. Решениями этой системы уравнений являются наборы, состоящие из значений каждый. Нужно заметить, что сам процесс нахождения системы уравнений зависит от вида функции издержек и может быть довольно сложным.

Пример. Производится два вида продукции, обозначим их через и. Цены этой продукции, соответственно,и, а функция затрат. Тогда при,прибыль является функцией двух переменных:

Условия локального экстремума приводят к системе линейных алгебраических уравнений решение которой определяет точку. Посколькуто найденная точка определяет локальный максимум функции прибыли, который равен

Задача 2.

Потребитель имеет возможность потратить сумму 1000 денежных единиц на приобретение   единиц первого товара и единиц второго товара. Заданы функция полезности  и цены , за единицу соответственно первого и второго товаров. Найти значения , при которых полезность для потребителя будет наибольшей:

Решение.

Рассмотрим линии уровня функции полезности   т.е.  . Используя свойства лога­рифмов, имеем:

Таким образом, линии уровня представляют собой график функции

 (кривая безразличия)

Легко видеть, что максимальное значение , а следовательно, и уровня  достигается в том случае, если соответствующая кривая безразличия касается прямой (линии уровня затрат)  . Так как градиент в каждой точке перпендикулярен линии уровня, то из этого следует, что условие максимальности прибыли может быть сформулировано следующим образом:

Так как

Где угловой коэффициент прямой, проходящей через .

Из условия перпендикулярности прямых имеем , т.е. . Следовательно, оптимальное распределение потребления товаров находится как решение системы:

Ответ- значения, при которых полезность для потребителя будет наибольшей.

3.Решение задач с помощью функций нескольких переменных в других областях.

Задача 1.

Определить, за счёт каких факторов, на сколько процентов по каждому фактору и в целом по предприятию повысилась производительность труда:

Показатели Базис Отчет

Объем продукции, тыс. руб. 9500; 10500

Трудоемкость, тыс. нормо-часов 2327,5; 2500

Число основных рабочих, чел. 1207; 1227

Затраты труда основных рабочих, тыс. человеко-часов 2155; 2208,6

Численность промышленно-производственного персонала, чел. 3000; 3000

Определим изменение производительности труда за счёт изменения объёма продукции: тыс. руб./чел.

В процентном отношении изменение составило:

или увеличилось на 10,53%

Определим изменение производительности труда за счёт изменения численности основных рабочих:

тыс. руб./чел.

В процентном отношении изменение составило:

или уменьшилось на 1,63%

Следовательно, производительность труда увеличилась за счёт роста объёма продукции, несмотря на отрицательное влияние увеличения числа основных рабочих.

Задача 2.

Определите дуговой коэффициент эластичности спроса по цене, если известно, что при цене 20 руб. объем спроса на товар составляет 600 единиц, а при цене 30 руб. - 400 единиц. Дуговой коэффициент эластичности спроса по цене составит (округляя до целых, если необходимо):

1. Дуговой коэффициент эластичности (средний на интервале) позволяет оценить, как изменяется спрос при изменении цены товара на определенном участке кривой спроса. По технике расчетов он называется дуговым коэффициентом эластичности, рассчитанным по приращениям:

,где  - начальный уровень цены; - конечный уровень цены;  - начальный уровень объема спроса; - конечный уровень объёма спроса. Ответ: 1 ( товар с единичной эластичностью спроса).

Заключение

Таким образом, выполнение поставленных исследовательских задач позволило получить следующие основные результаты исследования:

1. Выявлена сущность функций нескольких переменных – величина, определяемая значениями, которые принимают независимые переменные.

2. Выявлена обширнейшая область применения Функций нескольких переменных – это множество научных областей, определяющих нашу повседневную жизнь (от заключения деловых сделок до поездки на автомобиле, поскольку всё это делается благодаря достижениям науки и её повсеместного применения).

3. Проведён анализ значения функций нескольких переменных. Без функций нескольких переменных наша повседневная жизнь была бы не возможна, поскольку при помощи функции нескольких переменных

выражаются законы природы, возможны расчёты для строительства зданий, машин, заключений деловых сделок, создание проектов, приносящих прибыль и пользу, прогнозирование и т.д.

Перспективой исследования ФНП состоит в:

1. В возможности проведения расчётов вместо дорогих и опасных экспрементов и прогнозировании.

2. Дальнейшем развитии научных областей, посредством выявления закономерностей между несколькими переменными величинами.