2.4. Методические указания к выполнению задачи 4

Силовой расчёт плоского рычажного механизма сводится к силовому расчёту отдельных структурных групп, входящих в состав механизма, и завершается силовым расчётом начального звена.

Так как структурная группа обладает статической определимостью, то при её силовом расчёте можно использовать уравнения равновесия статики. Для определения линий действия сил, действующих на группу, в задаче 4 можно воспользоваться теоремой о трёх силах из курса теоретической механики. Существо этой теоремы заключается в том, что линии действия трёх сил, действующих на твёрдое тело, находящееся в равновесии, пересекаются в одной точке. Например, силы

Р₁, Р₂иР₃, действующие на звено, изображённое на рисунке 2.10, при равновесии звена пересекаются в точкеК.

Рисунок 2.10 – Силы, действующие на тело

Рассмотрим использование теоремы о трёх силах применительно к силовому расчёту структурной группы второго вида, изображённой на рисунке 2.11. На

группу действуют заданная по величине и направлению внешняя сила Ри реакции со стороны отброшенных звеньевR₂₁ иR₃₀, которые необходимо определить. Линия действия реакцииR₃₀перпендикулярна направляющейsпоступательной пары, образованной звеньями 3 и 0 (например, стойкой). Из условия равновесия отдельного звена 3 следует, что реакцияR₃₀проходит через центр шарнираВ. Таким образом, линии действия силР и R₃₀пересекаются в точкеВ. Следовательно, третья сила, т. е. реакцияR₂₁при равновесии группы без учёта сил тяжести и сил инерции звеньев также проходит через точку В.

Рисунок 2.12 – План сил

Составим уравнение равновесия структурной группы в форме векторной суммы сил:

P +R₃₀ +R₂₁ = 0.

Используя это уравнение, построим на рисунке 2.12 план сил, действующих на структурную группу. Для этого изобразим сначала заданную по величине и направлению внешнюю силу P. Начало вектора силыPнаходится в точке 1, а конецв точке 2. Затем проведём через точку 2 линиюперпендикулярно направляющейsи через точку 1 линиюпараллельноАВ. Линииипересекаются в точке 3, которая является концом вектораR₃₀и началом вектораR₂₁. Построив, таким образом, в определённом масштабе план сил, получим реакцииR₂₁иR₃₀.

Силовой расчёт механизма заканчивается силовым расчётом начального звена. На рисунке 2.13 изображена схема сил, действующих на начальное звено ОА. В точкеАна звено 1 со стороны отброшенного звена 2 действует реакцияR₁₂, которая определена ранее. ПричёмR₁₂= -R₂₁. Кроме этого, на звено 1 действуют реакция стойкиR₁₀, которая определяется из условия равновесия звена,

т.е.R₁₀= -R₂₁, и уравновешивающий моментМ_у, подлежащий определению.

Рисунок 2.13 – Силы, действующие на звено 1

Составим уравнение равновесия звена 1 в форме суммы моментов сил относительно точки О:

М_О = R₁₂  l_ОС – М_у = 0.

Откуда

М_у = R₁₂  l_ОС,

где l_ОС– плечо силыR₁₂относительно точкиО.

Для определения уравновешивающего момента, действующего на механизм, можно использовать теорему Н.Е. Жуковского о рычаге.

Рычагомназывается жёсткая система (ферма), имеющая неподвижную ось вращения.

Рычагом Н.Е. Жуковскогодля данного механизма называется жёсткая ферма, имеющая вид повёрнутого на 90^о(в любую сторону) плана скоростей механизма, закреплённого в полюсе.

Теорема Н.Е. Жуковского о рычагезаключается в следующем. Если силы, действующие на механизм, перенести, не меняя их направления, в соответствующие точки рычага Жуковского, то при равновесии механизма рычаг Жуковского также будет находиться в равновесии.

Если на звенья механизма кроме сил действуют моменты сил, то каждый из них необходимо предварительно заменить парой сил, точки приложения и направления которых можно выбрать произвольно.

Теорему Н.Е. Жуковского о рычаге применяют для нахождения уравновешивающей силы, действующей на механизм.

Рассмотрим пример.

На механизм, изображённый на рисунке 2.14, действует внешняя сила Р. Необходимо найти уравновешивающий моментМ_у, приложенный к начальному звенуОАмеханизма.

Искомый уравновешивающий момент М_у, приложенный к звенуОА, заменим парой силР_У иР_У , приложив их в точкахАиОсоответственно. Направления линий действия силР_УиР_Упримем перпендикулярнымиОА, однако направление момента этой пары сил пока неизвестно. Поэтому примем направление моментаМ_Уи заменяющей пары сил произвольными, например, по направлению вращения часовой стрелки.

На рисунке 2.15 построим в произвольном масштабе план скоростей механизма. Скорость точки Вможно определить векторной суммой:

V_B = V_A + V_BA,

//S ОА АВ

где V_A – скорость точкиА(направлена перпендикулярноОА);

V_BA – скорость точкиВпри вращении звена 2 вокруг точкиА(направлена перпендикулярноАВ).

Данное векторное уравнение решим графическим способом. Из произвольно выбранной точки рпроведём векторра, направленный перпендикулярноОА. Длину векторара примем произвольной. Через точкуaпроведём прямую, перпендикулярнуюАВ, а через точкур– прямую, параллельную осиS. Точку пересечения этих прямых обозначим черезb.Векторрbизображает скорость точкиВ.

На рисунке 2.16 построим рычаг Жуковского для данного механизма, повернув план скоростей механизма на 90^ои закрепив его в полюсер.

Перенесём все силы, действующие на механизм, в соответствующие точки рычага Жуковского.

Составим уравнение равновесия рычага Жуковского в форме суммы моментов сил относительно полюса р:

 М_Р =-Р_У  ра + Р  pb = 0,

откуда

Р_У = Р  pb / ра,

где pb ира– длины отрезков, изображающих плечи сил относительно полюсар, измеряемые в миллиметрах на рычаге Жуковского.

Если величина Р_Упри расчёте получится отрицательной, то предварительно принятое направление моментаМ^Ж_У и пары силР_УиР_Унеобходимо изменить на противоположное.

Уравновешивающий момент М^Ж_Уопределяется по формуле

М^Ж_У=Р_У  l_ОА.

Для сравнения результатов определения уравновешивающего момента для расчётного положения механизма, полученных двумя методами, используем формулу

где М^Ж_Увеличина уравновешивающего момента, найденного с помощью теоремы Н.Е. Жуковского о рычаге;

М_Увеличина уравновешивающего момента, найденного при силовом расчёте с помощью построения планов сил;

  относительная разница вычислений М^Ж_У иМ_У (%).

Допустимая разница при расчётах не должна превышать 5%.