Задача №1. Расчет многопролетной ШКБ

2.8. Изображение характера изогнутой оси балки

Схема изогнутой оси балки строится по эпюре изгибающих моментов. Для рассматриваемой шарнирно-консольной балки схема изогнутой оси показана на рис. 9, в.

При схематическом изображении изогнутой оси балки следует руководствоваться следующими правилами:

а) изогнутая ось состоит из участков, границами которых являются нулевые точки эпюры изгибающих моментом М;

б) каждый участок обращён выпуклостью в сторону отложенных на эпюре М ординат (в сторону растянутых волокон);

в) точка, расположенная на границе двух смежных участков, является точкой перегиба кривой (за исключением мест расположения шарниров, где изогнутая ось имеет изломы, а не точки перегиба);

г) изогнутая ось не должна отрываться от опор, т.е. должна быть связана с ними (на рис. 9, в линейные перемещения по направлению шарнирно-подвижных опор В, E, G, а также линейные перемещения в шарнирно-неподвижной опоре А равны нулю).

Рис. 9. Построение изображения изогнутой оси балки

31

3.КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Перечислить внутренние усилия, действующие в поперечных сечениях плоских стержневых систем.

2.Охарактеризуйте основные типы опор, применяемых для крепления многопролётных шарнирно-консольных балок и возникающие в них реакции.

3.Перечислите уравнения, которые могут быть составлены для определения опорных реакций многопролётных шарнирно-консольных балок. Сформулируйте критерий статической определимости многопролётных шарнирно-консольных балок.

4.Поясните принципы построения геометрически неизменяемых статически определимых многопролётных шарнирно-консольных балок.

5.Поясните принцип построения «поэтажной» схемы многопролётной статически определимой шарнирно-консольной балки.

6.Как передаются усилия в «поэтажных» схемах статически определимых многопролётных балок?

7.Как можно определить опорные реакции и построить эпюры внутренних усилий в статически определимой шарнирно-консольной балке без построения "поэтажной" схемы?

8.Дайте определение линии влияния.

9.Приведите порядок построения линий влияния опорных реакций в многопролётных статически определимых шарнирно-консольных балках.

10.Приведите порядок построения линий влияния внутренних усилий в сечениях многопролётных статически определимых шарнирно-консольных балок.

11.Поясните физический смысл ординат линий влияния поперечной силы и изгибающего момента (на примере линий влияния, построенных в данном РГЗ).

12.Поясните физический смысл ординаты линии влияния опорной реакции (на примере линии влияния, построенной в данном РГЗ).

13.Как определяются внутренние усилия в данном сечении (или опоре) от неподвижной нагрузки по линиям влияния?

14.Приведите формулу, по которой определяются перемещения в балках при действии нагрузки.

15.Какие способы используются для вычисления интеграла Мора при определении перемещений в балках и рамах?

16.Приведите порядок определения перемещений с использованием интеграла Мора.

32

17.Какое единичное состояние необходимо для определения линейного перемещения заданного сечения балки в заданном направлении?

18.Какое единичное состояние необходимо для определения углового перемещения заданного сечения балки?

19.Какое единичное состояние необходимо для определения угла взаимного поворота примыкающих к шарниру сечений?

20.Поясните принцип построения изогнутой оси балки по эпюре изгибающих моментов (на примере данного РГЗ).

33

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение А

Правила определения внутренних усилий в балке

В общем случае в элементах плоской стержневой системы возникают три усилия: продольная сила N, поперечная сила Q, изгибающий момент M. На рис. А.1 показаны положительные значения внутренних силовых факторов в любом поперечном сечении стержня.

При нагрузках, направленных по нормали к оси балки, имеем плоский прямой изгиб, когда в поперечном в сечении балки возникают два внутренних усилия

– изгибающий момент и поперечная сила (соответствует условию рассматриваемой задачи).

При нагрузках, направленных не по нормали к оси балки (а под другим углом), в ее поперечных сечениях возникают, кроме поперечных сил и изгибающих моментов, также и продольные силы N.

Рис. А.1

Из уравнений равновесия для отсеченных частей по методу сечений следуют правила определения внутренних усилий.

Продольная сила N – это сумма проекций на ось X всех внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, с учетом правила знаков:

N FХ X .

отс.ч. отс.ч.

Продольная сила положительна, если растягивает элемент, и отрицательна, если сжимает его.

При построении эпюр: положительные значения N, как правило, откладывают выше (слева) базисной линии, отрицательные – ниже (справа). На эпюре N обязательно указывается знак.

Поперечная (перерезывающая) сила Q – это сумма проекций на поперечную ось Y сечения всех внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, с учетом правила знаков:

34

Q FY Y .

отс.ч отс.ч

Поперечная сила положительна, если вращает элемент по часовой стрелке, и отрицательна, если вращает его против часовой стрелки.

При построении эпюр: положительные значения Q, как правило, откладывают выше (слева) базисной линии, отрицательные – ниже (справа). На эпюре Q обязательно указывается знак.

Изгибающий момент – это сумма моментов всех внешних усилий, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, взятых относительно центра массы сечения, с учетом правила знаков

M M .

отс.ч

Изгибающий момент считается положительным, если он приводит к растяжению нижних волокон (выпуклостью вниз). На рис. А.2, показаны направления положительных моментов (с левого торца балки – по часовой стрелке, с правого – против).

Рис. А.2

Эпюра М строится со стороны растянутых волокон, причем, в соответствии с введенным правилом знаков, изгибающий момент, имеющий положительное значение откладывается снизу эпюры (на нижних волокнах).

В инженерных расчетах знак на эпюре изгибающего момента обычно не ставят, эпюру М строят со стороны растянутого волокна, что считается достаточным для последующих расчетов. Это связано с тем, что бетон плохо сопротивляется растяжению, поэтому эпюра М указывает ту зону (те волокна), где имеет место растяжение, и где следует закладывать стальную арматуру, которая и будет воспринимать растягивающие напряжения.

35

Приложение Б.

Проверка правильности построения эпюр изгибающих моментов и поперечных сил

Эпюры внутренних усилий M и Q должны удовлетворять закономерностям, известным из курса сопротивления материалов. Поясним эти закономерности на примере эпюр M и Q для многопролётной балки, рассмотренной в примере расчёта (рис. 3, а-в).

1. Эпюра изгибающих моментов:

-в сечениях, где действуют внешние сосредоточенные моменты, наблюдаются скачки эпюры М на величину внешнего момента, направленные в сторону действия М, см. рис. 3, в (сечение k);

-точкам приложения сосредоточенных сил (как внешних, так и реактивных) соответствуют изломы эпюры М в направлении действия этих сил, см. рис 3, в (сечения В, С, n, E, k);

-между сосредоточенными силами (в случае отсутствия между ними распределенных нагрузок) эпюра М линейная, см. рис. 3, в (участки DE, Ek, kG);

-на участках с распределенной нагрузкой q эпюра М криволинейная (параболическая) с выпуклостью в ту сторону, в которую направлена эта нагрузка, см. рис 3, в (участки АВ, ВС, Сn, nD).

2. Эпюра поперечных сил:

-точкам приложения сосредоточенных сил (как внешних, так и реактивных) соответствуют скачки эпюры на их величину в направлении действия сил (при перемещении вдоль базовой линии эпюры слева направо), см. рис. 3, б (сечения В,

С, n, E, k);

-между сосредоточенными силами (в случае отсутствия между ними распределенных нагрузок) эпюра Q сохраняет постоянное значение и представляет собой прямую параллельную нулевой линии, см. рис. 3, б (участки DE, Ek, kG);

-на участках с равномерно распределенными нагрузками эпюра Q наклонная, при этом наклон возрастает с увеличением интенсивности нагрузки, см. рис

3, в (участки АВ, ВС, Сn, nD);

3. Между эпюрами М и Q существует взаимосвязь, определяемая теоремой Д.И. Журавского Q = dM /dх, поэтому:

36

- в сечениях, где поперечная сила равна нулю, изгибающие моменты имеют экстремальные значения, т.е. при Q = 0: М = М max, min. В частности, на рис. 3, б, в показаны экстремумы эпюры M на участке CD. Экстремумы на эпюре М наблюдаются также в точках B, E, где эпюра Q скачкообразно переходит через нулевую линию;

- при положительном значении Q эпюра М возрастает (нисходящие ординаты на эпюре М, при ее построении на растянутых волокнах и движении слева направо), при отрицательном – уменьшается (восходящие ординаты на эпюре М).

4. Кроме качественной проверки эпюр М и Q можно провести количественную проверку.

Так как Q = dM /dх = tgφМ поперечная сила в любом сечении численно равна тангенсу угла наклона, составляемого касательной к эпюре M с осью балки (угла φ). При построении эпюры изгибающего момента на растянутых волокнах поперечная сила положительна, если нулевую линию эпюры следует вращать до совмещения с касательной к эпюре М по часовой стрелке на угол не более 90°.

Тогда эпюры поперечных сил можно построить по эпюрам моментов на основе зависимости Журавского в виде:

- для участков, где эпюра М имеет линейное очертание (отсутствует q) значе-

ние Q = const

Q tg М М К М Н , l

- для участков, где эпюра М имеет параболическое очертание (действует q), эпюра Q линейная со значениями ординат по краям

Q tg

М К М Н

ql

,

Q tg

М К М Н

ql

,

Н

М

l

2

К

М

l

2

где МН и МК – изгибающие моменты соответственно в начале МН и в конце МК участка (положительны, если растягивают нижние (правые для вертикальных стержней волокна);

l – длина участка;

QН и QК – поперечные силы соответственно в начале и в конце участка (берутся со своим знаком);

q – действующая равномерно распределенная нагрузка (q > 0, если направлена вниз или слева направо для вертикальных стержней).

Для балки, указанной на рис. 3, а (эпюра изгибающих моментов – на рис. 3, в), имеем:

37

Q

tg

M В M А

q lАВ

40 0

5 3

5,83 кН;

А

АВ

lАВ

2

3

2

Qслева tg

M В M А

q lАВ

40 0

5 3

20,83 кН;

АВ

В

lАВ

2

3

2

Qсправа tg

MС M В

q lВС

0 ( 40)

5 2

25 кН;

ВС

В

lВС

2

2

2

Qслева tg

MС M В

q lВС

0 ( 40)

5 2

15 кН;

ВС

С

lВС

2

2

2

Qсправа tg

Mn MC

q lСn

8 0

5 2

9 кН;

Сn

С

lСn

2

2

2

Qслева tg

Mn MC

q lСn

8 0

5 2

1 кН;

Сn

n

lСn

2

2

2

Qсправа tg

M D Mn

q lnD

0 8

5 4

8 кН;

nD

n

lnD

2

4

2

Qслева tg

M D Mn

q lnD

0 8

5 4

12 кН;

nD

D

lnD

2

4

2

Q tg

M E M D

12 0 12 кН;

DE

DE

lED

1

Q

tg

Mk M E

24 ( 12)

12 кН;

Ek

Ek

lEk

3

Q tg

MG Mk

0 16

8 кН;

kG

Ek

lkG

2

Полученные значения поперечных сил совпадают со значениями, указанными на эпюре Q (рис. 3, б) и вычисленными по правилам, принятым в сопротивлении материалов.

5. Изменение величины изгибающего момента на заданном участке элемента системы между двумя его сечениями равно площади эпюры поперечных сил, соответствующей этому участку (при условии, что в пределах его не приложены внешние моменты).

Условие является следствием дифференциальной зависимости между поперечной силой и изгибающим моментом. Действительно, т.к. Q = dM /dх, то dM = Q∙dx = dAQ. Здесь dAQ – площадь элементарной полоски шириной dx эпюры Q. Интегрируя полученное выражение в пределах участка IK, получаем, что для любого участка IK можно записать: МК – МI = AQIK, откуда:

38

МК = МI + AQIK.

Здесь индексы I и K указывают на те сечения, в которых действуют моменты (I – слева, K – справа), а AQIK – площадь эпюры поперечных сил на участке элемента между сечениями I и K (значения ординат Q берутся с эпюры со своим знаком).

Для рассматриваемого примера (рис. 3, б, в) получаем:

M A 0;

M

B

M

A

AAB 0 5,83 20,83 3 40

кН м;

Q

2

M

M

ABC 40

25 15

2 40 40 0 кН м;

C

B

Q

2

M

M

ACn 0

9 1

2 8 кН м;

n

C

Q

2

M

M

AnD 8

8 12

4 8 8 0 кН м;

D

n

Q

2

M

E

M

D

ADE 0 ( 12 1) 12 кН м;

Q

M

слева M

Е

AEk

12 (12 3) 24 кН м;

k

Q

M

G

M

справа AkG 16 ( 8 2) 0 кН м;

k

Q

Полученные значения изгибающих моментов совпадают со значениями, указанными на эпюре M (рис. 3, в) и вычисленными по правилам, принятым в сопротивлении материалов.

39

Приложение В

Линии влияния в балках с жёсткой заделкой

Рис. В.1

40