§ 2. Сходящиеся последовательности и их свойства.

Определение1. ЧислоаRназываетсяпределомпоследовательности {x_n}, если последовательность {x_n – a} являетсяб/ м. Последовательность, у которой существует предел, называетсясходящейся, в противном случае –расходящейся.

Символически факт существования предела последовательности записывается так: .

Из приведенного определения следует:

1. если {_n} - б/ мпоследовательность, то;

2. , где {_n} - б/ мпоследовательность;

3. если , то последовательность {x_n}

Перефразируем определение 1, используя понятие б/ мпоследовательности.

Определение2., если> 0n₀=n₀():n>n₀|x_n – a| <.

Вставка 1.

Договоримся в дальнейшем б/б последовательности рассматривать как последовательности,сходящиесяк символу(либо +, -). Например,,.

Теорема1.Cходящаяся последовательность имеет один предел.

Доказательство. Предположим, чтои, причемa  b. Тогда из (2) следует, чтоx_n = a + _nиx_n = b + _n, где {_n} и {_n} - б/ мпоследовательности.

Имеем _n - _n = b – a.

С одной стороны, по теореме 2 (§1) последовательность {_n - _n} -б/ м; с другой, эта последовательность постоянна_n - _n = b – a0, и потому при 0 < < |b – a| получим, чтоn|_n - _n| >, что противоречит определениюб/ мпоследовательности. Следовательно, предположение, чтоa bневерно.

Теорема2. Алгебраическая сумма конечного числа сходящихся последовательностей сходится, причем ее предел равен алгебраической сумме пределов слагаемых.

Доказательство. Проведем доказательство для суммы двух последовательностей.

Пусть ,. Тогдаx_n = a + _n,y_n = b + _n, где {_n} и {_n} - б/ мпоследовательности. Далее,x_n + y_n = (a + b) + (_n + _n), причем последовательность {_n +_n} -б/ м(т. 2,§1). Поэтому.

Вставка 2.

Теорема3. Произведение конечного числа сходящихся последовательностей сходится, причем предел равен произведению пределов сомножителей.

Доказательство.Проведем доказательство для двух последовательностей.

Пусть ,. Тогдаx_n = a + _n,y_n = b + _n, где {_n} и {_n} - б/ мпоследовательности. Поэтомуx_n y_n = ab + (a_n + b_n + _n_n). По теоремам 2 и 3 (§1) последовательность {a_n + b_n + _n_n}- б/ м, а потому .

Следствие. Пусть . Тогда

1) СR; 2)  k  Q.

Лемма.Пустьиa < b(a > c). Тогда, начиная с некоторого номера,x_n < b(x_n >c).

Доказательство. Положим  = b – a> 0. По определению пределаn₀:n>n₀|x_n – a| >b – a, откуда 2a – b<x_n < b. Правое неравенство доказывает утверждение.

Теорема4. Если иn>n₀ x_n  b (x_n с), тоa b(aс).

Доказательство. Пусть приn>n₀ x_n  b. Предположим, чтоa< b. Тогда по леммеn₁:n>n₁ x_n < b,что противоречит условию. Следовательно,a b.

Замечание. Еслиx_n > b, то отсюда не следует, чтоa> b, а толькоa b. Например,:, но.

Следствие. Пусть ,, причемn>n₀ x_ny_n. Тогдаa b.

Рассмотрим последовательность {y_n–x_n}. В силу теоремы 2 имеем. А так какn >n₀ y_n – x_n 0, по теореме 4b – a 0 илиa b.

Теорема5. Пусть ,, причемny_n0 иb 0. Тогда последовательностьсходится к.

Доказательство. Пусть для определенностиb> 0. Имеем x_n = a + _n, y_n = b + _n, где

{_n} и {_n} - б/ м последовательности. Поэтому

. (1)

По лемме n₀:n >n₀ . Следовательно,n>n₀

.

Это означает, что последовательность ограничена. Далее, из теорем 2 и 3 (§1) вытекает, что последовательность-б/м, а потому последовательностьтакже являетсяб/м. В силу этого из (1) получим, что последовательностьи.

Аналогично рассматривается случай b<0.

Вставка 3.

Вопросы и упражнения.

1. Сформулировать на языке «-» тот факт, что .Показать, что.

2. Обосновать ограниченность сходящейся последовательности. Всякая ли ограниченная последовательность сходится?

3. Какие последовательности удовлетворяют условиям: а) > 0 иn₀ =n₀():n>n₀? б)> 0n₀ =n₀():?

4. Исказится ли определение предела, если: а) вместо |x_n – a| <написать |x_n – a|? б) вместоn>n₀написатьnn₀?

5. Доказать, что если иk– целое фиксированное число, то .

6. Доказать, что последовательность {sinn} расходится.

7. Пусть в любой окрестности точки а лежит бесконечно много членов последовательности {x_n}. Следует ли отсюда, что а) ? б) {x_n} ограничена?

8. Пусть . Что можно сказать о последовательности {x_n}?

9. Построить контрпримеры к теоремам 3 и5.

10. Докажите следствие к теореме 3.

11. Пусть .Что можно сказать о?

12. Пусть последовательность {x_n} сходится, а {y_n} –б/б. Что можно сказать о последовательностях,,?

13. Пусть последовательности {x_n} и {y_n} расходятся. Могут ли сходиться последовательностии?

14. Найти пределы: а) , б), в), г).