§ 3. Равномерная непрерывность функции.
Вставка 1.
Определение1. Функцияf, определенная на промежутке, называетсяравномернонепрерывной на этом промежутке, если> 0=() > 0:,<<.
Вставка 2.
Теорема1(Кантор). Если функцияf определена и непрерывна на отрезке [a;b], то она равномерно непрерывна на этом отрезке.
Доказательство. Предположим противное, т.е. такое, что, но.
Возьмем, например, . Тогда получим две последовательностиитакие, что, но .
По теореме Больцано-Вейерштрасса . Тогда и.
Так как функция непрерывна в точке, то, т.е.. Это противоречит тому, что.
Полученное противоречие доказывает теорему.
Вставка 3.
Определение 2. Для каждого> 0 назовеммодулем непрерывности функцииf на множествеЕ Rвеличину,.
Очевидны следующие свойства:
1) ,;
2) (f,)0; 3)(f,) не убывает по.
Вставка 4.
Теорема2. Для того чтобы функцияfявлялась равномерно непрерывной на множестве Е, необходимо и достаточно, чтобы.
Доказательство. 1) Пусть функцияfравномерно непрерывна на множествеЕ, т.е.> 0() > 0: , , а потому при 0 <<() справедливо, т.е если 0 <<(), то(f,) <. Это и означает, что.
2) Пусть теперь выполнено условие , т.е.> 0() > 0:, 0 <<(), имеет место неравенство 0(f,) <. Зафиксируем и выбеоем точки такие, что . Для них будем иметь (f,) <, что и означает равномерную непрерывность функцииfна множестве Е.
Вставка 5.
Вопросы и упражнения.
Сформулируйте в положительном смысле отрицание равномерной непрерывности функции на промежутке.
Докажите, что если функция f определена и непрерывна на полупрямой [a; +) и существует конечный, то функцияfравномерно непрерывна на [a; +).
Приведите пример функции, равномерно непрерывной на [a; +), у которойне существует.
Докажите, что равномерно непрерывная на промежутке функция ограничена на этом промежутке. Верно ли обратное утверждение?
Докажите, что сумма и произведение двух равномерно непрерывных на одном промежутке функций есть функция равномерно непрерывная на этом промежутке.
Найти: а) наE=R\{0}; б)наЕ = (0; 1).
Доказать неравенство .
§ 4. Обобщение понятия непрерывности.
В § 1 при определении непрерывности функции в точке х0предполагалось, что функция определена в некоторой окрестностиО(х0). Если отказаться от этого условия, то получим следующее определение.
Определение. Функцияf, определенная на множествеDfR, называется непрерывной в точкех0Df(по множествуDf), если> 0=() > 0:xDf, |x-х0| <,|f(x) –f(х0)| <.
В приведенном определении не предполагается даже того, что точка х0есть точка сгущения множестваDf, а потому в любой изолированной точке множестваDf функцияf непрерывна. Таким образом, данное определение непрерывности функции в точке дается не через предел, который даже может не существовать.
Пример 1.. Эта функция определена только в изолированных точкахх= 0,1,2,…, но в смысле приведенного определения функция в этих точках непрерывна.
Пример 2. . Здесьх= 0 – точка сгущения множестваDf, причем, т.е. функцияfнепрерывна в точке х = 0, хотя никакаяО(0) не принадлежитDf.
Нетрудно проверить, что при данном определении непрерывности справедливы все свойства, доказанные в §1, причем в теореме 4 (о непрерывности сложной функцииF(x) =) в точкех0можно отказаться от условия.
Докажем для примера теорему о непрерывности суммы двух непрерывных функций.
Пусть функции f иgнепрерывны в точкех0, т.е. > 01,2> 0:x Df, |x-х0| <1,|f(x) –f(х0)| </2 иxDg, |x-х0| <2,|g(x) –g(х0)| </2.
Рассмотрим функцию f + g, которая определена, по крайней мере, в точкех0. ТогдаxDfDg, |x -х0| <( =min(1,2)), выполнено
|(f+g)(x) - (f+g)(x0)||f(x) –f(х0)| + |g(x) –g(х0)| <,
что и доказывает непрерывность функции f + g в точкех0.
Отметим, что приведенное обобщение понятия непрерывности, приводящее к непрерывности функции в изолированных точках, мало содержательно в последнем случае, поскольку идет в разрез с привычным геометрическим представлением непрерывности и представляет собой вырожденный случай.
Вопросы и упражнения.
Почему в приведенном определении функция непрерывна в каждой изолированной точке?
Сформулировать определение непрерывности в точке по множеству через последовательности (по Гейне).
Пусть функция fнепрерывна в точкех0по множествуЕ,ЕDи функцияfопределена наD. Будет ли эта функция непрерывной в точкех0по множествуD?
Показать, что функция Дирихле непрерывна в точке х= 0 по множеству рациональных чисел, но не является непрерывной по множеству действительных чисел.