- •Элементы теории массового обслуживания
- •Основные понятия систем массового обслуживания
- •Относительная пропускная способность Относительная пропускная способность – относительное среднее число заявок.
- •Абсолютная пропускная способность смо. Пример решения
- •Смо с ожиданием (очередью)
- •Многоканальная смо с ожиданиями
- •Смо с отказами
- •Модель обслуживания машинного парка
Основные понятия систем массового обслуживания
Системы МО являются частью более широкого класса динамических систем, которые иногда называют системами потоков. Системой потоков называется система, в которой некоторые предметы перемещаются по одному или нескольким каналам с ограниченной пропускной способностью с целью перемещения из одной точки в другую. При анализе систем потоков их разбивают на два основных класса:
регулярные системы, т. е. системы, в которых потоки ведут себя предсказуемым образом (известны величина потока и время его появления в канале). В случае, когда канал один, расчет системы тривиален. Очевидно, что между интенсивностью потока λ и скоростью обслуживания с есть соотношение λ < c;
нерегулярные системы, т. е. системы, в которых потоки ведут себя непредсказуемым образом.
Более интересным является случай регулярного потока, который распределяется по сети каналов. Очевидно, что условие λ < c сохраняется для каждого канала. При этом возникает сложная комбинаторная задача.
Рис. 6
Имеется семь дорог:
A→B→E→F
A→B→D→F
A→B→D→E→F
A→C→D→ F
A→C→B→ E→F
A→C→B→D→E→F
A→C→B→ D→F
Необходимо перевезти груз из А в F. Пропускная способность каждого канала известна. Какова пропускная способность сети и каким путем должен следовать поток? Решить эту задачу можно с помощью теоремы о максимальном потоке, которую мы рассматривали ранее (рис.6).
Ко второму классу относятся случайные вероятные потоки, в которых время поступления требования не определено, число требований непредсказуемо. Решением таких задач и занимается теория массового обслуживания.
В общем случае система массового обслуживания может быть представлена на рисунке 7.
Рис. 7.
Предметом теории массового обслуживания является установление зависимости между характером потока заявок, числом каналов, производительностью, правильностью работы и эффективностью.
В качестве характеристик эффективности могут применяться следующие величины и функции:
среднее количество заявок, которые может обслужить СМО в единицу времени;
среднее количество заявок, получающих отказ и покидающих СМО;
вероятность того, что поступившая заявка немедленно будет обслужена;
среднее время ожидания в очереди;
среднее количество заявок в очереди;
средний доход СМО в единицу времени и другие экономические показатели СМО.
Анализ СМО упрощается, если в системе протекает марковский процесс, тогда систему можно описать обыкновенными дифференциальными уравнениями, а предельные вероятности – линейными алгебраическими уравнениями.
Марковский процесс требует, чтобы все потоки были пуассоновскими (без последействий), но аппарат марковских процессов используется и тогда, когда процесс отличен от марковского. В этом случае характеристики СМО могут быть оценены приблизительно: чем сложнее СМО, тем точнее приближение.
Классификация систем массового обслуживания
СМО могут быть двух видов:
СМО с отказами;
СМО с ожиданием (т. е. с очередью).
Обслуживание в системах с очередью может иметь различный характер:
обслуживание может быть упорядоченным;
обслуживание в случайном порядке;
обслуживание с приоритетом, при этом приоритет может быть с прерыванием и без прерывания.
Системы с очередью делятся на:
системы с неограниченным ожиданием, при этом поступившая в СМО задача становится в очередь и ждет обслуживания. Рано или поздно она будет обслужена;
системы с ограниченным ожиданием, при этом на заявку в очереди накладываются ограничения, например ограниченное время пребывания в очереди, длина очереди, общее время пребывания в СМО. В зависимости от типа СМО для оценки эффективности могут быть применены разные показатели.
Для СМО с отказами используются следующие показатели эффективности:
абсолютная пропускная способность А – среднее число заявок, которое может быть обслужено в единицу времени;
относительная пропускная способность Q – относительное среднее число заявок. При этом относительную пропускную способность можно найти по формуле
где λ – это интенсивность поступления заявок в СМО.
Для СМО с ожиданием абсолютная пропускная способность А и относительная пропускная способность Q теряют смысл, но важными становятся другие характеристики:
единица времени ожидания в очереди;
среднее число заявок в очереди;
среднее время пребывания в системе.
Для СМО с ограниченной очередью интересны обе группы характеристик.