Основные характеристики смо

Значение P₀ определяет вероятность того, что все каналы обслуживания свободны (находятся в состоянии простоя). Значение P_k определяет вероятность того, что в системе (в очереди и на обслуживании) находятся k заявок. Если k не превышает числа каналов N, то все заявки находятся на обслуживании и очередь отсутствует; в противном случае все каналы заняты и k-N заявок находится в очереди.

Вероятность P_отк отказа в обслуживании определяется ситуацией занятости всех N каналов и всех m мест в очереди и равна P_N+m.

Среднее число занятых каналов N_зан определяется математическим ожиданием дискретной случайной величины (мы опускаем здесь достаточно простые преобразования).

Среднее число свободных каналов

Коэффициент простоя каналов

Коэффициент занятости каналов

Относительная пропускная способность (доля обслуженных заявок в общем числе поступавших в систему) определяется величиной

Абсолютная пропускная способность (среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени) определяется величиной

Средняя длина очереди

Среднее число заявок, находящихся в системе, складывается из средних значений занятости каналов и длины очереди

Среднее время пребывания заявки в очереди равно

Общее время пребывания заявки в очереди будет складываться из T_очер и среднего времени обслуживания

Полученные характеристики дают возможность анализа замкнутых и разомкнутых систем с отказами (m=0), с очередью или с ожиданием (m →∞) при простейшем входном потоке и однотипных параллельных каналах обслуживания с показательным законом длительности обслуживания (в частности, с фиксированной длительностью).

Примеры простейших смо.

Существуют следующие виды простейших СМО:

• одноканальные СМО с отказами

• одноканальные СМО с ожиданием

• многоканальные СМО с отказами

• многоканальные СМО с ожиданием

I. Одноканальные смо с отказами

Рассмотрим СМО при следующих предположениях:

1. Входной поток является пуассоновским с параметром ;

2. Время обслуживания подчиняется экспоненциальному закону с параметром :

3. Время обслуживания требования не зависит от количества требований, поступивших в систему.

Такая система в любой момент времени t может находиться в одном из двух состояний:

Е0 - в системе 0 требований (система свободна)

Е1 - в системе 1 требование (система занята)

Далее мы будем находить вероятности:

Р0 - система находится в состоянии Е0;

Р1 - система находится в состоянии Е1.

Начиная с некоторого момента времени, вероятность Р0(t) перестает зависеть от времени и становится постоянной; постоянной будет и Р1(t). Эти величины равны соответственно;

В таких случаях говорят, что в системе установился стационарный режим работы. Будем находить коэффициент загрузки системы по формуле

Напомним, что - среднее число требований, прибывающих в систему за единицу времени,- среднее число обслуженных требований.

Вероятности застать систему свободной и застать её занятой соответственно равны теперь

Ясно, что чем больше коэффициент загрузки, тем больше вероятность отказа системы. Это не выгодно потребителю (но выгодно организатору системы, ибо мала вероятность простоя Р0). Если уменьшить коэффициент загрузки, то уменьшится вероятность отказа СМО (это выгодно потребителю), но увеличится вероятность простоя (что не выгодно организаторам системы). Мы имеем дело с противоположными тенденциями и, следовательно, необходимо решат задачи оптимизации режима работы СМО.