IV.Многоканальные смо с ожиданием

Предположения относительно систем, введенные ранее, остаются в силе. Изучение системы ведется по обычной схеме:

1. Выясняются возможные состояния системы (здесь их бесконечное множество);

2. Находятся переменные вероятности;

3. Составляется система уравнений для нахождения Рк - вероятностей пребывания системы в каждом из своих состояний;

4. Изучаем стационарный режим работы СМО;

5. Находятся все вероятности, через Р0. Результат таков

6. Ведётся подсчет средних характеристик: j - среднее количество занятых линий; q - среднее число свободных линий; Р(w>0) - вероятность ожидания; v - средняя длина очереди.

Пример

Определить число взлетно-посадочных полос для самолётов с учетом требования, что вероятность ожидания Р(w>0) должна быть меньше, чем 0,05. интенсивность потока равна 27 требований в сутки и интенсивность линий обслуживания - 30 самолётов в сутки.

Решение

используя приведенные выше формулы, имеем:

s = 1: P0 = (1+0,9+0,81/(1(1-0,9)))-1 = 0,1;

P(w>0) = 0,9*0,1 / (1-0,9) = 0,9

s = 2: P0 = 0,380; P(w>0) = 0,276

s = 3: P0 = 0,403; P(w>0) = 0,07

s = 4: P0 = 0,456; P(w>0) = 0,015

Таким образом, надо устраивать 4 взлетно-посадочные полосы.

СИСТЕМЫ С ПОТЕРЯМИ

Итак, в систему, состоящую из m линий, поступает про­стейший поток вызовов с интенсивностью , при этом каждый принятый вызов обслуживается с интенсивно­стью. При поступлении очередного вызова могут быть две ситуации: 1) хотя бы одна линия свободна, тогда вызов принимается и обслуживается свободной лини­ей; 2) все линии заняты обслуживанием, тогда вызов получает отказ и покидает систему, то есть теряется (от­сюда и название система с потерями). Таким образом, при отсутствии свободной линии вызов покидает сис­тему (теряется), не оказывая на нее никакого влияния. На рис. 2 приведен граф состояний СМО с потеря­ми.

Рис. 2. Граф состояний СМО с потерями

Состояние системы ,k = 0, 1, 2,…, m, определяет­ся числом занятых линий k, которое равно числу вызо­вов, обслуживаемых системой. Переход вправо (всегда с интенсивностью при простейшем потоке) означает поступление очередного вызова и увеличение числа за­нятых линий на одну. Переход влево означает заверше­ние обслуживания одной линии и ее освобождение. При этом интенсивность перехода зависит от состояния: переходw_k→w_k-1 происходит с интенсивностью , так как в состоянииобслуживается одновремен­ноk вызовов. Это обстоятельство приводит к заверше­нию обслуживания одного из вызовов (с интенсивнос­тью ), при этом одна линия освобождается, то есть число занятых линий уменьшается на 1. Таким обра­зом, в данном случае занятие линии рассматривается как рождение вызова, а освобождение линии (заверше­ние обслуживания вызова) – как гибель вызова.

Рассмотрим сначала однолинейную систему (m = 1). Число состояний такой системы равно двум. Предель­ные вероятности состояний, определенные по (1), будут

,

где– удобный параметр, равный отношению соответствующих интенсивностей.

Вероятность потерь , или вероятность того, что произвольный вызов, поступивший в систему, будет потерян, то есть получит отказ в обслуживании ввиду отсутствия свободной линии, а также среднее число за­нятых линий находят по формулам

,

Перейдем теперь к многолинейной СМО с потеря­ми. Предельные вероятности состояний

, ,

Эти формулы для предельных вероятностей числа занятых линий носят название формул Эрланга. Вид­но, что предельные вероятности зависят от параметра и числа линий m. Предельная вероятность состояния имеет следующий смысл: – это средняя доля време­ни на интервале бесконечно большой длины, в течение которого занято ровно k линий.

Вероятность потерь и среднее число занятых линий:

,

Таким образом, потери и загруженность линий зависят от параметра р и числа линий m. Интересно отметить, что при возрастании потери растут, а при убывании () потери уменьшаются ().

СИСТЕМЫ С ОЖИДАНИЕМ

Имеется система с m линиями обслуживания. При по­ступлении очередного вызова в систему с ожиданием могут быть две ситуации в зависимости от состояния системы: 1) хотя бы одна линия свободна, вызов при­нимается и обслуживается свободной линией; 2) все линии заняты, вызов не покидает систему, он становит­ся в очередь и ожидает, пока не освободится какая-ли­бо линия, при освобождении линии она берет вызов из очереди.

Итак, при отсутствии свободной линии вызов по­ступает в очередь. После освобождения линии он об­служивается, а после обслуживания вызов освобождает линию и покидает систему. Таким образом, главная особенность системы с ожиданием состоит в том, что необслуженные вызовы образуют очередь и ждут осво­бождения линий. Очередь образуется из вызовов, ожи­дающих обслуживания в момент, когда все линии заня­ты. При освобождении линии вызов на обслуживание берется из очереди. Длина очереди является случайной и может быть как угодно велика. Отличие данной сис­темы от системы с потерями заключается в том, что по­терь в прежнем виде нет. Обслуживание вызова, по­ставленного в очередь, только задерживается.

Состояние системы удобно обозначать числом вы­зовов, находящихся в системе. На рис. 3 показан граф состояний системы для обслуживания простейшего потока. Множество состояний является счетным (чис­ло возможных состояний бесконечно, так как очередь может быть бесконечной).

Рис. 3. Граф состояний СМО с ожиданием

Интенсивности переходов w_k → w_k+1 определя­ются параметром простейшего потока и поэтому не зависят от состояния. Интенсивности переходовw_k → w_k-1 зависят от состояния: 1) при очереди нет, все вызовы обслуживаются, поэтому; 2) приили,, обслуживаетсяm вызовов, а l вызовов () находятся в очереди, поэтому.

Характеристики СМО с ожиданием являются более разнообразными, чем характеристики СМО с потеря­ми. Ограничимся рассмотрением вероятностей состоя­ний, вероятности задержки обслуживания и среднего числа занятых линий.

Для случая однолинейной системы (m = 1) предель­ные вероятности состояний определяются по формуле

,

Вероятность задержки обслуживания и среднее число занятых линий соответственно будут

,

Перейдем к многолинейной СМО с ожиданием, то есть m>1. Состояния системы могут быть двух видов: 1) состояния, в которых очереди нет, ; 2) со­стояния, в которых очередь есть,.

Прежде всего предельная вероятность состояния вычисляется по формуле

Видно, что под знаком второй суммы находится геоме­трический ряд со знаменателем . Найдем сумму этого ряда при условии, чтоили:

С учетом этого формулы для предельных вероятностей примут вид

,

,

,

Вероятность задержки обслуживания и среднее число занятых линий:

,

Интересно отметить, что при условии илирассмотренный выше геометрический ряд сходится. В противном случае он расходится. Условие сходимос­ти рядаимеет следующий смысл. Число оп­ределяет наибольшую производительность системы. Если , то система справляется с обслуживанием, если же, то система не справляется с обслужи­ванием, при этом длина очереди неограниченно возра­стает, предельные вероятности не существуют.

Из проведенных рассуждений следует, что СМО с потерями может обслужить любой входящий поток, при этом чем больше интенсивность потока, тем боль­ше потери. А система с ожиданием может обслужить поток ограниченной мощности, для которого обяза­тельно должно выполняться условие , так как приочередь бесконечно растет. Система с ожидани­ем является более сложной по сравнению с системой с потерями, так как она требует создания бункера с нео­граниченной емкостью для создания очереди. Наличие такого бункера объясняет независимость среднего чис­ла занятых линий от количества линий в системе.

Пример:

Пусть СМО состоит из трех линий и обслуживает про­стейший поток с интенсивностью1/ч. Интенсив­ность обслуживания 1/ч.

Рассмотрим оба типа СМО: СМО с потерями и СМО с ожиданием.

По условию число линий m = 3;

;

1. Для СМО с потерями получаем следующие ха­рактеристики:

;

;

;

2. Для СМО с ожиданием условие существования установившегося режима выполняется (), то есть система справляется с обслуживанием, поэтому предельные вероятности состояний существу­ют. Характеристики системы:

;

;

;

Сравнение полученных результатов показывает, что вероятность задержки вызова в СМО с ожиданием в два раза превышает вероятность потерь в другой сис­теме, но при этом линии используются более эффек­тивно: в среднем заняты две линии из трех, в то время как в СМО с потерями в среднем занято около полови­ны линий.