Matematika / Математика. Методические указания по подготовке к контрольным работам, часть 1

Логарифмические функции (рис. 30, 31).

y = log a x, y		y = log a x, y
a > 1		0 < a < 1
0 1	x	0	1	x

Рис. 30 Рис. 31

Тригонометрические функции (рис. 32 - 35).

y = sin x	y
	1

	3π	–		π	0	π			3π		x
						2			2
	2			2
					–1
				Рис. 32
y = cos x				y
				1
3π		–		π 0	π				3π	2	x
	2			2	2				2
				– 1

Рис. 33

31

y = tg x

y

3π	–		π	0	π		3π	x
			2		2
2							2

Рис. 34

y = сtg x

y

–		π	0	π		3π	2	x
		2		2		2

Рис. 35

32

Обратные тригонометрические функции (рис. 36 - 39).

y = arcsin x

y

π

2

–1	0 1		x
	π
	2

Рис. 36

y = arсtg x	y

π

2

0

π2

y = arccos x

y

π

2

–1 0 1 x

Рис. 37

x

Рис. 38

33

y = arcсtg x	y

π

2

0

x

Рис. 39

Замечание. При нахождении пределов следует помнить, что:

[a + ] = + , [a – ] = 0,							если a > 1.
[a + ] = 0, [a – ] = + ,						если 0 < a < 1.
[e + ] = + , [e – ] = 0.
[log a ( + )] = + ,					[log a (0 +)] = – ,						если a > 1.
[log a ( + )] = – ,					[log a (0 +)] = + ,						если 0 < a < 1.
[ln ( + )] = + , [ln (0 +)] = – .
		π						π
tg			,		tg				.
		2					2

arctg π2 .

34

3.2. Точки разрыва функции, их классификация

Функция f (x) называется непрерывной в точке x0, если:

– функция определена в точке x0;

– существует конечный		lim f x ;
		x x0
– lim f x f x0 .
x x0
Или: lim	f x lim f	x f x	.
x x	x x	0
0	0

Точка, в которой функция не является непрерывной, называ-

ется точкой разрыва функции.

Классификация точек разрыва.

1) Если в точке разрыва существуют конечные односторонние пределы, то это точка разрыва I рода. При этом если

lim	f x lim	f x f x	,
x x	x x	0
0	0

то разрыв называют устранимым.

2) Если в точке разрыва хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности, то это точка разрыва II рода.

35

Решение примерного варианта контрольной работы

Задача 1. Решить неравенство.

								3x 4				1.
								2
Решение
	3x 4			1	1				3x 4			1 –2 3x + 4 2
								2
	2
				–6 3x –2 2 x									2	.
													3
Ответ:						2
		x 2;					.
						3

Задача 2. Найти область определения функции.

	y	x 4	x	ln 39 x .
			x 5

Решение

x 4	0,		x 4,
	0,
x 5			x 5,
39 x 0			x 39.
Ответ:		x [4; 5)	(5; 39).

36

4 5 39

Задача 3.

Вычислить пределы.

1)

lim

n

n 1

n .

3)

lim

cos x cos3 x

.

tg

2

2x

n

x 0

x2 x 12

.

4)

x 5

3x

2)

lim

lim

.

2x

2

9x

9

x

x 3

x

Решение

1)

lim

n

n 1

n = [ ( – )] =

n

= lim

n

n 1

n

n 1

n

=

lim

n n 1 n

=

n

n 1

n

n

n 1

n

n

Поскольку n + 1 n при n , то

= lim

.

n 1

n

n

придем к пределу

lim

n

= lim

n

1

.

2

n

n n

n 2 n

Ответ: 12 .

	x2 x 12			=	0
2) lim							.
	2x	2	9x 9			0
x 3

Разложим числитель и знаменатель на множители:

x 2 + x – 12 = 0,	2 x 2 – 9 x + 9 = 0,
D = 1 + 48 = 49,	D = 81 – 72 = 9,

37

		x 1 49													4 ,									x				9 9							3			,
			1					2																1							4	2
		x				1 49									3,									x					9 9					3,
			2					2																2							4
			2																							2																3
	x				+ x – 12 =																			2x			– 9x + 9 = 2													x			x 3 =
																																										2
= (x + 4) (x – 3).																								= (2x – 3) (x – 3).
	Придем к пределу
	lim				x2 x 12										= lim			x 4 x 3								= lim						x 4								=	3 4					7	.
					2x2 9x 9													2x 3 x 3														2x 3									2 3 3					3
	x 3														x 3															x 3
	Ответ:								7		.
								3
							cos x cos3 x												0				cos x				1 cos2 x															cos xsin2 x
	3)				lim												=			= lim																	= lim											=
									tg			2	2x														tg			2	2x												tg	2	2x
					x 0														0			x 0																		x 0
	0
=				. Поскольку sin x x,																	tg 2x 2x						при x 0, то придем к
	0
пределу							lim			cos x x2								= lim				cos x			1		.
												2x 2									4				4
							x 0												x 0

Ответ: 14 .

38

lim

x 5

3x

lim

x

5

3x

= lim

1

5

3x

4)

=

=

=

x

x

x

x

x

x

x

x

5

3x

15

5

x

5

x

1

= lim

1

5

= lim 1

5

.

x

x

x

x

Используя второй замечательный предел, получим

lim e15 e15 . x

О т в е т : e 15.

Задача 4. Исследовать функцию на непрерывность и построить ее график (схематично).

	ln ( x),					x 0,
				π						π
	y tg x				,	0 x					,
				2						2
								π
	sin x,					x			.
							2
	Решение
	1) Построим графики.
	График функции y = ln (– x)				при x < 0.
	Данный график получается из графика									y = ln x зеркальным

отражением относительно оси OY. Рассмотрим график на промежутке (– ; 0).

39

	y
y = ln (–x)	y = ln x
	1
–1	1 x
	–1

		График функции y tg x					π	при 0 x		π	.
						2			2
		Данный график получается из графика							y = tg x сдвигом на
π			вдоль оси OX вправо.			Рассмотрим график на промежутке
2
				π
	0;				.
				2

y = tg x		π
	y tg x
		2
y

–		π	–1	0 1	π		3π	x
		2			2		2

40