Уравнение нулевой линии

Для получения уравнения нулевой линии достаточно приравнять напряжения (8.1) нулю:

Математически ­ это уравнение прямой в отрезках:

, (8.2)

где

(8.3)

Нулевую линию можно построить с помощью отрезков, отсекаемых этой прямой на координатных осях, которые определяются поочередным заданием нулевых значений каждой из координат:

Рис. 8.5

На рис. 8.5 показаны эпюры напряжений для случая положительных изгибающих моментов. В этом случае величины отрезков a, b, отсекаемых нейтральной линией (8.2) от осей координат будут отрицательны. Показаны законы изменения составляющих нормальных напряжений от действия положительных изгибающих моментов вдоль сторон прямоугольного сечения шириной В и высотой Н. Построена епюра нормальных напряжений _z . Максимальное напряжение _max будет достигаться в правом верхнем углу сечения где все три слагаемых в формуле (8.1) будут положительны.

8.2 Расчет балки, подверженной косому или пространственному изгибу

Косым называют изгиб, при котором плоскость действия изгибающего момента , возникающего в сечении, не совпадает ни с одной из главных плоскостей бруса (при этом плоскость действия изгибающего момента обязательно должна проходить через центр тяжести сечения) (рис. 8.6).

Рис. 8.6

 При косом изгибе изогнутая ось представляет собой плоскую кривую, и плоскость, в которой она расположена, не совпадает с плоскостью действия нагрузки. При пространственном изгибе нагрузка приложена в разных плоскостях, деформированная ось является пространственной кривой.

 

Определение внутренних усилий при косом изгибе

 

Внутренние усилия при косом изгибе определяются как и при поперечном изгибе методом сечений. В поперечных сечениях бруса действуют следующие внутренние усилия: M_x, M_y – изгибающие моменты и Q_x, Q_y –поперечные (перерезывающие) силы.

Правило знаков для внутренних усилий: изгибающие моменты – положительны, если вызывают растяжение в первом квадранте координатной системы Oxyz; поперечные силы – положительны, если под их действием отсеченный элемент поворачивается по часовой стрелке.

Если разложить внешние силы по главным осям инерции Ох и Оу (рис. 8.6), то получим две системы сил, каждая из которых вызывает прямой изгиб с изгибающими моментами М_x и M_y.

Следовательно, сочетание двух прямых (плоских) изгибов вызывает косой изгиб.

То есть мы имеем частный случай уже рассмотренного в п. 8.1 напряженного состояния бруса, когда, отсутствует продольная сила (N =0) при одновременном действии изгибающих моментов Mx и My.

И нормальные напряжения в произвольной точке сечения теперь определяется выражением:

(8.4)

Изобразим изгибающие моменты в виде векторов моментов пар сил, как это делалось в теоретической механике, совпадающими по направлению с положительными направлениями осей:

Рис. 8.7

Полный изгибающий момент есть векторная сумма этих векторов, модуль которого равен:

Изгибающие моменты и полный момент связаны известными соотношениями:

Тогда напряжения (8.4) в произвольной точке сечения можно выразить через полный изгибающий момент:

(8.5)

Здесь учтено, что напряжения в первой четверти (x > 0 и y > 0) от изгибающего момента M_y отрицательны, поскольку поворот плоскости поперечного сечения от этого момента происходит против часовой стрелки при взгляде навстречу вектору момента и вызывает сжатие волокон в этой четверти

Определим положение нейтральной линии, задавая напряжения (8.5) равными нулю:

или

Окончательно получаем

(8.6)

Уравнение нейтральной линии представляет собой уравнение прямой, проходящей через начало координат. Тангенс угла наклона (угловой коэффициент) равен:

(8.7)

В случае I_x > I_y, что обычно и бывает при проектировании балки, несущей преимущественно вертикальную нагрузку, угол наклона нулевой линии b больше угла наклона полного изгибающего момента a. Это означает, что полный прогиб не совпадает с плоскостью действия полного момента. Отсюда и происходит название косого изгиба.