Список задач-ММ-теорфизика

Список задач по курсу «Теоретическая физика» ММ-09-1,2

Классическая механика

1.Все звезды, в частности некоторая звезда N удаляются от солнца со скоростями, пропорциональными их расстоянию до него. Как будет выглядеть эта картина с «точки зрения» звезды N?

2.Точка движется по параболе y ax2 с постоянной скоростью v. Найти ускорение точки,

как функцию ее положения.

3.Найти закон движения точки массы m, движущейся по оси ОХ под действием упругой силы F kx, где k const .

4.Частица движется вдоль оси х по закону х = at2 – bt3, где a и b – положительные постоянные. В момент t = 0 сила, действующая на частицу, равна F0. Найти значения Fх силы в точках поворота и в момент, когда частица опять окажется в точке х = 0.

5.Являются ли обобщенными координатами одной материальной точки следующие тройки величин из набора декартовых, цилиндрических и сферических координат:

1)	, , ;	2) x, , ;	3) z,r, ;	4) x, y, r ; 5) z, ,r ;
6)	z, , ;	7) z, , ;	8) y, r, ;	9) ,r, ;	10) z, ,r .

6.Методом Лагранжа решить задачу о малых колебаниях плоского математического маятника.

7.Записать функцию Гамильтона для плоского математического маятника.

***

Л.Г. Гречко, В.И. Сугаков, О.Ф. Томасевич, А.М. Федорченко Сборник задач по теоретической физике Москва «Высшая школа» 1984

12.Груз массы М падает без начальной скорости с высоты Н на спиральную пружину (рис. 7),

Под действием упавшего груза пружина сжимается на величину h. Вычислить время сжатия пружины (массой пружины и силами трений пренебречь).

13.Тело массы m падает в воздухе без начальной скорости. Считая силу сопротивления воздуха пропорциональной квадрату скорости: R v2 , определить скорость тела и его

координату как функции времени. К какому пределу стремится скорость с течением времени?

17.	Частица массы т движется по закону x acos t ,	y bsin t . Определить силу,
	действующую на частицу в каждой точке траектории.

27.Найти траекторию частицы массы т, движущейся во внешнем поле, потенциал которого

равен U				. Определить условия, при которых частица может 1) попасть в начало
			r2
	r

координат, 2) уйти в бесконечность (рассеяться) и 3) совершать периодическое движение.

57.Записать уравнение для малых колебаний математического маятника массы m и длины l,

точка подвеса которого колеблется по вертикали по закону x acos t .

83.Составить функцию Лагранжа и функцию Гамильтона для двух заряженных частиц,

взаимодействующих по закону Кулона. Выразить их через координаты центра масс и относительные координаты.

Теория относительности

1.Имеется прямоугольный треугольник, у которого катет а = 5 м. и угол между этим катетом и гипотенузой α = 30о. Найти в системе отсчета К', движущейся относительно этого

треугольника со скоростью v = 0.866 с вдоль катета а:

а) соответствующее значение угла α’;

в) длину гипотенузы, и ее отношение к собственной длине.

2.Собственное время жизни некоторой нестабильной частицы Δt0 = 10 нс. Какой путь пролетит эта частица до распада в лабораторной системе отсчета, где ее время жизни Δt = 20 нс.

3.Плотность покоящегося тела равна ρ0. Найти скорость системы отсчета, относительно данного тела, в которой его плотность будет на 25% больше ρ0.

4.Найти матрицу преобразования Лоренца, состоящего из буста vx в направлении оси ОХ, вслед за которым производится буст vy в направлении оси ОУ. Доказать, что те же бусты,

производимые в обратном порядке, порождают другое преобразование Лоренца.

5.Два события разделены времениподобным интервалом. Доказать, что:

а) существует лоренцевская система отсчета, в которой они происходят в одной и той же точке; б) ни в одной лоренцевской системе отсчета они не происходят одновременно.

6.Два события разделены пространственноподобным интервалом. Доказать, что: а) существует лоренцевская система отсчета, в которой они одновременны;

б) ни в одной лоренцевской системе отсчета они не происходят в одной и той же точке.

***

Л.Г. Гречко…

120.Показать, что два последовательных преобразования Лоренца в одном и том же направлении перестановочны и эквивалентны одному преобразованию Лоренца.

122. Считая,	что при малых скоростях частицы выполняется условие p2 m2c2 , где р -
импульс	частицы, найти приближенную зависимость энергии частицы от импульса
			p		2		2
точностью до члена порядка
				2		2
					c		.
		m

Электродинамика

1.Шарик радиуса 2 см заряжен с объемной плотностью заряда 0.7 мк Кл/м3. Найти напряженность поля на расстояниях 1 см, и 3 см от центра шарика.

2.Тонкое кольцо радиуса 5 см положительно заряжено зарядом 17 нКл. Найти: 1. Потенциал в центре кольца; 2. Потенциал в точке на оси кольца на расстоянии 10 см от его центра.

3.Найти отношение сил гравитационного притяжения и кулоновского отталкивания двух электронов.

4.Три одинаковых положительных заряда 1 нКл каждый расположены в вершинах равностороннего треугольника. Какой отрицательный заряд надо поместить в центре треугольника, чтобы система пришла в равновесие. Будет ли это равновесие устойчивым?

5.Найти силу, действующую на заряд q = 1 нКл, со стороны нити длины L = 2 м, заряженной с линейной плотностью заряда τ = 2 нКл/м, если заряд расположен на расстоянии а = 10 см от середины нити.

6.Электрон, на который действует ускоряющая разность потенциалов U = 3.5 кВ, влетает в однородное магнитное поле с индукцией B = 0.01 Тл перпендикулярно линиям магнитной индукции и движется по кругу радиуса R = 2 см. Вычислить отношение заряда электрона к его массе.

***

Л.Г. Гречко…

9.Записать уравнения Максвелла (2.19) — (2.22) а) в цилиндрической системе координат; б)

в сферической системе координат.

10.	Определить напряженность электрического поля	внутри и снаружи равномерно
	заряженного шара. Объемная плотность заряда равна , радиус шара R.

13.Найти напряженность электрического поля внутри и снаружи равномерно заряженного цилиндра радиуса R. Заряд единицы длины цилиндра равен .

17.Найти уравнение силовых-линий двух точечных зарядов е и -е, расположенных на расстоянии d друг от друга.

25.Найти потенциал и напряженность электрического поля на оси плоского кольца,

равномерно заряженного с поверхностной плотностью σ (внутренний радиус кольца R1

внешний R2). Рассмотреть предельные случаи: а) поле плоского диска (R1→0) и б) поле заряженной плоскости (R1→0, R2→∞).

57.Найти напряженность магнитного поля внутри и снаружи цилиндрического проводника, по которому течет ток, равномерно распределенный по его сечению с плотностью j. Радиус проводника R.

143. Показать, что величина Е2-Н2 инвариантна относительно преобразований Лоренца.

Квантовая механика

1.Найти длину волны де Бройля протона, прошедшего разность потенциалов U = 104 В, и сравнить ее с длиной волны фотона, имеющего такую же энергию.

2.Электрон с кинетической энергией Е = 4 еВ локализован в области размером l = 1 мкм. Оценить с помощью соотношения неопределенностей относительную неопределенность его скорости.

3.Используя соотношение неопределенности для энергии и времени, оценить ширину

энергетического уровня Е атома водорода, пребывающего в возбужденном состоянии, время жизни которого τ = 10–8 с.

4. Найти среднее значение модуля напряженности электрического поля ядра атома водорода в основном состоянии, которое описывается волновой функцией

(r)		1		e r a0 , где a0 - боровский радиус. Сравнить полученное значение со
	a03

значением E0 , вычисляемым по формуле напряженности поля точечного заряда на

расстоянии r a0 от ядра.

***

Л.Г. Гречко…

1.Определить уровни энергии частицы, находящейся в одномерной потенциальной яме с

бесконечно высокими стенками, расположенными при x 0и x a.

2.Проквантовать движение одномерного гармонического осциллятора.

37.Найти общее решение одномерного временного уравнения Шредингера для свободной частицы.