челгу кб 1 курс Алгебра Lections

Лекция 1

Алгебра изучает наиболее общие структуры и формальные правила работы с ними.

Математический анализ изучает алгебраические структуры на числовой прямой.

Алгебраическая операция. Матрица.

3+5 - множество чисел sinx¢log8x - множество функций

tg±(sin(x1 )) - сложная функция ´ суперпозиция

Определение:

Бинарной алгебраической операцией называется любое отображение на множестве А, которое любым двум элементам из множество А ставит в соответствии какой-то третий элемент на множестве А.

Такие бинарные операции обычно называются алгебраическими. { }- перечисление А х В

Множество обозначают большими латинскими буквами АВСDEFXYZ Элементы множества маленькими abcdefxyz

Функции множества f, g, h Целые числа m, n, k Индексы i, j, k Умножение * Сложение +

Какие алгебраические операции называются "хорошими"? 1. Ассоциативность: 8a; b; c 2 A

(a ¢ b) ¢ c = a ¢ (b ¢ c) (a + b) + c = a + (b + c)

Суперпозиция произведений функций ассоциативна, потому что весь математический анализ использует аксиому ассоциативности.

2. Коммутативность: 8a; b a+b=b+a

Произведение матриц почти всегда не коммутативно. Суперпозиция функций почти всегда не коммутативна.

Коммутативность встречается редко, поэтому коммутативная алгебраэто отдельный предмет.

Если операция коммутативна, то ее как правило обозначают + и называют сложением.

! Сложение может не иметь никакого отношения к сложению чисел.

Замечание:

Сложение чисел - это конкретная алгебраическая операция и как имя собственное =>пишется с большой буквы.

1

Сложение - это синоним термина алгебраической операции. 3. Нейтральный элемент:

Не изменяет объект, с которым взаимодействует. 0,1 0+а=а

1 ¢ =

y=x f(x)=f

Нейтральным элементом e называется такой элемент, что

8a 2 A

a ¢ e = e ¢ a = a, e+a=a+e=a

Как правило, если операция называется сложением и обозначается +, то нейтральный элемент 0 (к числу ноль этот 0 может отношения и не иметь)

Если операция называется умножением, то нейтральный элемент часто называют 1 и у него есть три обозначения 1,е, Е (единица совершенно не обязательно число)

4. Обратный элемент: Определение :

Элемент b называется обратным к элементу а, если a ¢ b = b ¢ a = 1(e; E)

a+b=b+a=0

Обратный элемент во-первых не всегда существует, во-вторых он может быть не единственным.

Если обратный элемент единственный, то в случае умножения a¡1; a1

Вслучае сложения (-а)

Вматематике два основных жанра деятельности: введение определений и аксиом и получение следствий, доказательств.

Замечание:

Пользоваться при доказательстве можно только теми свойствами, которые заложены в определении.

Замечание:

Придумывая математические определения обычно имеют в виду некоторый реально существующий объект и строят его математическую модель.

Основное качество науки:

Наука занимается формулами, которые можно повторить.

Множество матриц: Мn(R) N={0,1,2,3¢ ¢ ¢ }

		n
	Q = n		; n; m 2 N; m 6= 0o
		m
R; C
a11 a1m
A= µ an1 anm ¶
Сложение матриц:				¶
a11 + b11	a1m + b1m
А+В= µ an1 + bn1	anm + bnm

2

Умножение матриц:

Первая строка матрицы А поэлементно умножается на первый столбец матрицы В, полученные произведения складываются и все это будет первым элементом матрицы С.

Лекция 2

Следствия из аксиом:

1) Если алгебраическая операция ассоциативна и существует обратный элемент, то он всегда единственный.

Доказательство:

a-элемент b,c-обратный элемент

(b ¢ a) ¢ c = b ¢ (a ¢ c) e ¢ c = b ¢ e ) b = c

Обратный элемент: a¡1илиa1

Если множество, на котором задана алгебраическая операция конечно, то операцию задают в виде таблицы и называют таблицей умножения.

Пример: алгебраическая операция, в которой элемент 1 имеет два обратных (2 и 3). Пусть 4-нейтральный

элемент. Зададим операцию таким образом, чтобы у первого элемента было два обратных по умножению, а именно 2 и 3.

1,2,3,4-не числа, а номера!

Если 2 обратных, то операция не ассоциативна.

*	1	2	3	4
1	1	4	4	1
2	4	1	1	2
3	4	1	1	3
4	1	2	3	4

(2 ¢ 2) ¢ 2 = 1 ¢ 2 = 4

Упражнение :

Проверить, что степени ассоциативны

(a ¢ a) ¢ a = a ¢ (a ¢ a)

Упражнение:

Найти тройку элементов, для которых ассоциативность не выполняется

2)Нейтральный элемент единственный

Доказательство:

3

= Amn - число размещений

Допустим есть два элемента

e1 = e1 ¢ e2 = e2 ) e1 = e2

Элементы комбинаторики

Определение:

Множество А называется линейно упорядоченным, если все его элементы сравнимы друг с другом а>b, b>c

) a>c

Карты не линейно упорядочены.

Определение:

Если на множестве А мы ввели некоторый линейный порядок - это называется перестановкой.

На множестве из трех элементов: a,b,c =>abc, bac, acb, cba, cab, bca.

На множестве из n элементов можно осуществить: 1 ¢ 2 ¢ 3 ¢ : : : ¢ (n ¡ 1) ¢ n = n! перестановок

n! ¼ ³ne ´n ¢ p2 ¢ ¼ ¢ n

Пусть дано множество из n элементов(jAj = n)

и некоторое его подмножество, которое содержит m элементов j A j = n

B µ A

j B j = m · n

Любое подмножество B из m элементов, называется сочетанием из n по

m.

Любое упорядоченное подмножество из n элементов называется размещением из n по m.

Число размещений из n по m равняется:

n!

n ¢ (n ¡ 1) ¢ : : : ¢ (n ¡ (m ¡ 1)) = (n ¡ m)!

Число сочетаний:

Сколько размещений получается из одного сочетания? Очевидно это m! - число перестановок на множестве B. Число сочетаний =

Число размещений			n!	n
		=		= Cnm = µ m	¶
	m!		(n ¡ m)!m!
е = 2,7018281828459045

70! = 1 ¢ 2 ¢ : : : ¢ 70 60!10! 1 ¢ 2 ¢ : : : ¢ 10

Метод математической индукции (ММИ)

4

Пусть некоторое математическое утверждение сформулировано для любого натурального числа n. Доказать это утверждение можно по методу математической индукции:

1)Проверим утверждение для малых значений n (база индукции)

2)Формулируем предположение индукции, что утверждение верно для n

3)Шаг индукции - доказываем его для n+1

Доказательство (принципа математической индукции):

Допустим утверждение верно не для всех натуральных чисел. Пусть n самое маленькое из них ) для (n-1)

утверждение верно, но тогда по шагу индукции переходя от (n-1) к n мы докажем утверждение для n. Противоречие с предположением. Метод математической индукции доказан.

Определение:

Множества называются равными, если они состоят из одинаковых элементов.

Определение:

Множество называется пустым, если у него нет элементов

Утверждение:

Пустое множество единственное

Доказательство:

Пусть есть два пустых множества А1 и А2.

Если 1 =62 , то найдется элемент принадлежащий одному из множеств, и не принадлежащий другому, но в них нет элементов. Значит нет и такого элемента, который их различает, то есть они равны. А1=А2.

Утверждение доказано.

;; f;g; f;; f;gg; f;f;f;ggg; ¢ ¢ ¢

И таким образом можно получить весь натуральный ряд.

Теорема ассоциативности:

Если на множестве А выполняется аксиома ассоциативности

(x1 ¢ x2) ¢ x3 = x1 ¢ (x2 ¢ x3); 4; O8x1; x2; x3 2 A , то в любом произведении x1; x2 : : : xn результат

не зависит от расстановки скобок.

Доказательство:

Индукция по n - числу сомножителей. В качестве эталонного произведения возьмем ((x1,x2)x3,¢ ¢ ¢ )xn.

Ипокажем, что любое произведение равно эталонному.

1)База индукции (совпадает с аксиомой ассоциативности) n=3.

2)Предположение: Пусть произведение любых n элементов равно эталонному.

5

3) Шаг индукции: Докажем утверждение для (n+1) сомножителей

(x1 ¢ x2 ¢ : : : ¢ xk) ¢ (xk+1 ¢ : : : ¢ xn+1) , где k · n

Обозначим первые скобки за X. Возможны 2 варианта:

1) k>1

X ¤ (xk+1 ¢ ¢ ¢ xn+1)

(n + 1 ¡ k) + 1 = n + 2 ¡ k · n

поэтому по предположению индукции это произведение равно эталонному.

((x1; xk+1))xn+1

Так как k · n, то по предположению индукции произведение X тоже равно эталонному.

((x1; x2) ¢ ¢ ¢ xk) ¢ (xk+1 ¢ ¢ ¢ xn+1)

2) k=1

((x1; x2 ¢ ¢ ¢ xn+1)) = x1(x2; ¢ ¢ ¢ xc)(xc+1 ¢ ¢ ¢ xn+1)

По аксиоме ассоциативности:

(x1(x2; ¢ ¢ ¢ xc))(xc + 1 ¢ ¢ ¢ xn+1)

Взяв вместо k, число с получаем первый случай.

Лекция 3

Определение:Пусть G множество на котором задана алгебраическая операция и она обладает свойствами ассоциативности,

есть нейтральный элемент и все элементы имеют обратный. Такое множество называется группой.

Примеры групп: Множество целых чисел по сложению образуют группу (нейтральный 0).

Множество не нулевых рациональных чисел по умножению тоже образуют группу.

Обычные свободные вектора тоже образуют группу. Определение: Пусть K - множество на котором

заданы две алгебраические операции: сложение и умножение. По сложению K является группой, причем коммутативной, по умножению есть ассоциативность. Сложение и умножение связаны дистрибутивностью.

Аксиомы дистрибутивности:

8 a; b; c 2 K 1: (a + b) ¢ c = ac + bc 2: a ¢ (b + c) = ab + ac

Тогда множество K называется кольцом.

Примеры колец:

6

1 Множество целых чисел относительно сложения и умножения - кольцо. 2 Натуральные числа ни кольцом, ни группой не являются.

3 2Z - пример кольца без нейтрального элемента по умножению.

Пусть K - кольцо. K[x]=Pni=0 ai ¢ xijx-буква,n2 N

Множество формальных сумм относительно операций сложения и умножения является кольцом, называемым кольцом многочленов.

	n
Xi
f(x) =	¢ai ¢ xi
	=0
	n
Xi
g(x) =	¢bi ¢ xi
	=0
n
Xi	+ bi) ¢ xi
=) f + g = (ai
=0

если степени разные, то дополняем числами с нулевыми коэффициентами

	2n
	Xi
	f ¢ g =	ci ¢ xi; где
	=0
		i
	ci =	Xj
		aj ¢ bi¡j
		=0
обычное умножение 2 многочленов с привидением подобных членов
K[[x]]=Pi1=0 ai ¢ xijai 2 K; x¡буква - кольцо формальных рядов.
Проверим, что K[x] действительно является кольцом:
	n
f(x) =	¢ai ¢ xi
	=0
	Xi
	n
g(x) =	¢bi ¢ xi
	=0
	Xi
	n
h(x) =	¢ci ¢ xi
	=0
	Xi

1. Проверяем ассоциативность сложения.

7

		n			n
		X			Xi
	(f + g) + h = (ai + bi) ¢ xi + ci ¢ xi =
		i=0			=0
			n
			Xi	+ bi) + ci) ¢ xi =
		= ((ai
			=0
			n
			Xi	+ (bi + ci) ¢ xi =
		= (ai
			=0
= т.к элементы a,b,c принадлежат кольцу K[x], то это равняется =
		n	n
		X	Xi		+ ci) ¢ xi) =
		=	¢ai + ( (bi
		i=0	=0
				= f + (g + h)
2. Проверяем коммутативность сложения.
		n
		Xi
f + g = (ai + bi) ¢ xi =
		=0
	n	т.к. a; b 2 K[x] =
	Xi
	= (bi + ai ¢ xi = g + f
	=0
3. Нейтральный элемент по сложению.
		0 = X¢0 ¢ xi
(Все элементы имеют коэффициент 0.)
4. Обратный элемент.
		n
		Xi
	¡ f = ¢(¡ai) ¢ xi
		=0
По сложению K[x]-коммутативная группа.
5. Проверяем ассоциативность умножения.
		(f ¢ g) ¢ h =
2n	i	n
X Xj		X
= ( aj		¢ bi¡j) ¢ xi ¢ ¢ci ¢ xi =
i=o	=0	i=o
n	i	j
X X X
=	¢( ¢( ¢ak ¢ bj¡k) ¢ ci¡j) ¢ xi				(1)
i=0	j=0	k=o

8

Так как K является кольцом то в нем выполняется дистрибутивность:

	X
(1) =	(ak ¢ bj¡k) ¢ ci¡j	(2)
Так как в кольце K умножение ассоциативно, то
получится:	X
(2) =	ak ¢ (bj¡k ¢ ci¡j)	(3)

По дистрибутивности это равняется:

X

ak ¢ ¢bj¡k ¢ ck¡j = f ¢ (g ¢ h)

Дистрибутивность сложения относительно умножения:

f ¢ (g + h) = f ¢ g + f ¢ h

Замечание: Если K некоммутативно по умножению, то f ¢ g =6 g ¢ f, то есть K[x] некоммутативно.

Кольцо матриц

Пусть K-кольцо.	80		a11...	:.:..: a1...n	1¯¯aij 2 K	9
Mn(K) =
	>			: : : an1	C¯¯	>
	<B an1					=
	>	@			A¯	>
					¯
	:				¯	;

Mn(K) -кольцо квадратных матриц над кольцом K.

Cij получается при умножении, умножением i строки матрицы A на j столбец матрицы B.

n	¢ bkj
ai1 ¢ b1j + : : : + ain ¢ bnj = Pk=1 aik
Нейтральная матрица по сложению - нулевая:
Onxn = 0	:	0: : :: :: ::	:	0: :	1
@		0 : : :		0	A

Обратная матрица по сложению:

A =	0	¡a...	11
¡	B	an1
	@	¡

:: : ¡a1n

... ...

:: : ¡ann

1

C A

Нейтральная матрица по умножению:

9

0 1 : : : 0 1

E = E = B .. .. .. C

nxn @ . . . A

0 : : : 1

Не всякая матрица имеет обратную.

Ассоциативность умножения матриц:

(A ¢ B) ¢ C = A ¢ (B ¢ C)?

надо проверить

G ¢ C = A ¢ H ?

Так как матрицы равны когда равны их элементы на соответствующих местах, то нужно проверить, что элемент на месте ij левого произведения равен элементу на месте ij правого произведения.

Посчитаем элемент слева. Для этого i строчку матрицы G умножим на j столбец матрицы G.

n	n	n
X	X X
gik ¢ ckj =	(	ailblk)ckj
k=1	k=1 l=1
n	n	n
X	X X
ailhlj =		ail blkckj
l=1	l=1	k=1

По аксиоме дистрибутивности слева получится:

Xn Xn

(ailblk)ckj

k=1 l=1

а справа:

Xn Xn

ail(blkckj)

l=1 k=1

В силу асоциативности умножения и коммутативности сложения обе суммы совпадают.

Дистрибутивность сложения отосительно умножения проверить самостоятельно.

Замечание:

10