§ 4.2.. Решение некоторых уравнений и неравенств сведением их к решению си­стем уравнений или неравенств относи­тельно той же неизвестной

11. Уравнения вида /?(х) + /| (х) + • • • + /* (х) = 0, 1/|(*)| + l/2(z)| + • • • +1/*(*)1 = 0. Уравнения вида

Пример 1. Решить уравнение

х⁴ + 5 • 4^х + 4х² • 2^х - 2 • 2^х + 1 Ь 0. (4)

Решение. Перепишем уравнение (4) в виде

(х² + 2 • 2^х)² + (2^х - I)² = 0, (5)

откуда очевидно, что уравнение (5) равносильно системе урав­нений

/^21_1=0’

\** + 2-2* = 0.

Первое уравнение этой системы имеет единственное решение х = 0, которое не удовлетворяет второму уравнению системы (6). Следовательно, система (6) не имеет решений.

Ответ: нет решений.

Пример 2. Решить уравнение

V^x² - 6х + 9 + yJ\o&p(x² - 4х 4* 4) = 0. (7)

Решение. Перепишем уравнение (7) в виде |х - 3| + | log_1/7(x² - 4х + 4)| ='0.

Это уравнение равносильно системе уравнений

Гх-3 = 0,

1 log_1/7(x² - 4х + 4) = 0.

Решение первого из этих уравнений есть г = 3. Проверка по­казывает, что это число также является и решением второго уравнения системы (8). Следовательно, х = 3 является реше­нием исходного уравнения (7).

Ответ: х = 3.

Отметим, что к системе (3) сводится и ряд других урав­нений. Приведем пример.

Пример 3. Решить уравнение

log₂ (l 4- у/х⁴ 4- х²) 4- log₂(l 4- х²) = 0. (9)

Решение. Для любых х справедливы неравенства

log₂ (l 4- у/х⁴ x²j > 0, log₂(l 4-х²) > 0.

Поэтому уравнение (9) равносильно системе уравнений

Г log₂ (l 4- у/х⁴ 4-х²) = 0,

\ log₂(l4-x²) = 0.

имеющей единственное решение х = 0.

Ответ: х = 0.

12. Неравенства вида /,²(х) 4- /|(х) 4- • • • 4- /²(х) > 0, l/i(*)l+l/2(*)l+’’'^e+|/n(*)| > 0* Решениями неравенств вида

/?(*)+/?(*) + •••+/*(*)> о, 1/|(*)1 + 1Л(х)| + —+ |/„(*)|> о

являются все х из их ОДЗ, за исключением тех х, которые являются решениями системы уравнений

(Ю)

(П)

(12)

(13)

(log₂ х - I)² + (х - 2)^г > 0.

все решения системы уравнении

{log₂x- 1 = О, а: - 2 = О.

Эта система имеет единственное решение х = 2, следователь­но, решениями неравенства (13) являются все х > 0, кроме х = 2.

Ответ: 0<х<2;2<х< +оо.

Пример 5. Решить неравенство

|Sin²!-sin⁴if ^>0' ^

Решение. ОДЗ неравенства (14) есть все х в JR. Перепи­шем неравенство (14) в виде

х²-^*²

sin² х - sin⁴ х\ +

1+х²

Для любого х справедливы неравенства

х²-*²

| sin² х - sin⁴ х| > 0,

1 + х² 1-

>0.

>0.

Поэтому неравенство (14) не выполняется лишь для таких х, что одновременно

х² - и²

sin² х - sin⁴ х = 0, — г- = О,

1 + х²

т.\е. для х = ж и х = —тт.

Следовательно, решениями исходного неравенства (14) яв­ляются все х, кроме х = 7г и х = -п.

Ответ: -оо < х < -тг; -я<х<тг;я-<х< +оо. Отметим, что к системе (12) сводятся иногда и другие не­равенства.

Пример 6. Решить неравенство

yi-cos< - I > а. (15)

Решение. ОДЗ неравенства (15) являются все х, удовле­творяющие условию 1 - х⁴ > 0, т. е. ОДЗ есть все х € (— 1:1]. На ОДЗ справедливы неравенства

Поэтому неравенство (15) выполняется для всех х из ОДЗ, кроме тех, которые удовлетворяют системе уравнений

Решениями второго уравнения этой системы являются Х\ = 1 и %2 = — 1. Из них первому уравнению удовлетворяет только х = — 1. Итак, решениями данного неравенства (15) являются все х из промежутка —1 < х < 1.

Ответ: -1 < х < 1.

13. Использование ограниченности функции. Ес­ли при решении уравнения

J(x) = д(х)

удается показать, что для всех х из некоторого множества М справедливы неравенства /(х) < .4 и д(х) > А, то на множе­стве М уравнение (16) равносильно системе уравнений

(17)

ПРИМЕР 7. Решить уравнение

(16)

Решение. Перепишем это уравнение d виде

(* + 5) + 4 = - 7С1 Г^- (18)

И н

Очевидно, что для любых действительных х имеем

д(х) = (х + 0 + 4 > 4, /(*) = - —- < 4.

(*-5)⁺4

Следовательно, уравнение (18) равносильно системе уравне-

*0

НИИ

Эта система уравнений не имеет решений, поэтому исходное уравнение также не имеет решений.

Ответ: нет решений.

Пример 8. Решить уравнение

cos² (х sin х) = 1 + log² \/х² 4- х + 1. (19)

Решение. ОДЗ уравнения (19) являются все действитель­ные числа х. Для любых х имеем

cos²(xsinx) < 1, 1 + log² у/х² + х + 1 > 1.

Следовательно, уравнение (19) равносильно системе уравне­ний

Г cos²(xsinx) = 1,

(20)

logs vx^ + x+T = 0.

Решения второго уравнения системы (20) есть х = 0их = —1. Из этих значений первому уравнению удовлетворяет только

•у-«р<м;-л . .Ыл-Д

х = 0, которое, следовательно, является единственным реше­нием исходного уравнения.

Ответ: х = 0.

Пример 9. Решить уравнение

cos⁷x4-sin⁵x = 1. (21)

Решение. Поскольку cos² х + sin² х = 1, то уравнение (21) можно переписать в виде cos⁷ х + sin⁵ х = cos² х + sin² х, или в виде

cos²x(cos⁵x - 1) = sin²x(l - sin³x). (22)

Поскольку для любого действительного х имеем cos⁵ х — 1 < 0, cos² х > 0, sin² х > 0, 1 - sin³ х > 0, то уравнение (22) равно­сильно системе уравнений

cos² x(cos⁵ х - 1) = 0,

sin² х(1 - sin³ х) = 0. ^

Система (23) равносильна совокупности систем уравнений

{

{СО8Х = 0,

sinx = l, |

sin х = 0,

(24)

COS X = 1.

Решения первой из этих систем есть х = ^ + 2тгк_% к € Z, второй х = 2тгт, т € Z. Все эти решения и будут решениями исходного уравнения.

Ответ: х = 2я-т, х = - + 27гЛ:; т, А: € Z,

It

14. Использование свойств синуса и косинуса. Ре­шение большого количества тригонометрических уравнений может быть сведено к решению систем уравнений. Примера­ми таких уравнений могут служить следующие:

sin ах • sin/?x = ±1,

sinax • cos/?x = ±1,

Л (sin ax)^m + £(cos 0x)ⁿ = ±(|Л| + |£|), w4(sinax)^m + J9(sin/?x)ⁿ = ±(|Л| + |B|),

х = 0, которое, следовательно, является единственным реше­нием исходного уравнения.

Ответ: х = 0.

Пример 9. Решить уравнение

cos⁷x4-sin⁵x = 1. (21)

Решение. Поскольку cos² х + sin² х = 1, то уравнение (21) можно переписать в виде cos⁷ х + sin⁵ х = cos² х + sin² х, или в виде

cos²x(cos⁵x - 1) = sin²x(l - sin³x). (22)

Поскольку для любого действительного х имеем cos⁵ х — 1 < 0, cos² х > 0, sin² х > 0, 1 - sin³ х > 0, то уравнение (22) равно­сильно системе уравнений

cos² x(cos⁵ х - 1) = 0,

sin² х(1 - sin³ х) = 0. ^

Система (23) равносильна совокупности систем уравнений

{

{СО8Х = 0,

sinx = l, |

sin х = 0,

(24)

COS X = 1.

Решения первой из этих систем есть х = ^ + 2тгк_% к € Z, второй х = 2тгт, т € Z. Все эти решения и будут решениями исходного уравнения.

Ответ: х = 2я-т, х = - + 27гЛ:; т, А: € Z,

It

15. Использование свойств синуса и косинуса. Ре­шение большого количества тригонометрических уравнений может быть сведено к решению систем уравнений. Примера­ми таких уравнений могут служить следующие:

sin ах • sin/?x = ±1,

sinax • cos/?x = ±1,

Л (sin ax)^m + £(cos 0x)ⁿ = ±(|Л| + |£|), w4(sinax)^m + J9(sin/?x)ⁿ = ±(|Л| + |B|),

Первое уравнение системы (27) имеет решения

х = п/2 + 2nk_t к € Z.

Все они удовлетворяют второму уравнению этой системы, т. е. являются решениями системы (27).

Первое уравнение системы (28) имеет решения

Х = —£ + 2*/, /е г.

Ни одно из этих чисел не удовлетворяет второму уравнению этой системы. Поэтому система (28)- не имеет решений.

Итак, решения исходного уравнения (26) совпадают с ре­шениями системы (27).

Ответ: х = п/2 + 2**, к е Z.

Пример 11. Решить уравнение

I

3 cos⁴ 2х - 2 sin⁵ х = 5. (29)

Решение. Если хо есть решение уравнения (29), то

| cos 2хо| = 1, ибо в противном случае было бы справедливо не­равенство | sin хо| > 1, что невозможно. Но если |cos2xo| = 1. то из уравнения (29) следует, что sin xq = -1. Поэтому любое решение уравнения (29) является решением системы уравне­ний:

{sinx = —1,

lco.2,1-1. «“>

Легко видеть, что любое решение системы (30) есть реше­

ние уравнения (29). Следовательно, уравнение (29) равносиль­но системе уравнений (30).

Первое уравнение системы (30) имеет решения

х=-|+2 nl, LeZ.

Все они удовлетворяют второму уравнению системы (30), т. е. являются решениями уравнения (29).

Ответ: *«=-•!+ 2*7,1 е Z.

Пример 12. Решить уравнение

cos³ Зх 4- cos¹¹ 7х = -2. (31)

Решение. Если х₀ — решение уравнения (31), то cos3x₀ = —1 (в противном случае cos7xo < —1, что невозможно). Но

тогда cos7xo = — 1. Следовательно, любое решение уравнения

16. есть решение системы уравнений

/^cos3l = "¹- ₍₃₂₎

| cos 7х = —1.

Легко видеть, что любое решение системы (32) есть решение уравнения (31). Поэтому уравнение (31) равносильно системе

17. .

Первое уравнение системы (32) имеет решения *■ 2 хк , „

** = - + —, Ате г.

Найдем те из этих решений, которые будут удовлетворять второму уравнению системы (32). Это будут те х*, для ка­ждого из которых найдется число т € Z такое, что будет справедливо равенство

7п 14*7: _

у + -у- = ж + 2* т. (33)

Перепишем равенство (33) в виде

f Зт-2 _/0^

к = —-—. (34)

Поскольку кит целые числа, то равенство (34) справедливо лишь тогда, когда m = 7t + 3, t 6 Z, но тогда к = 3t+1, t € Z. Итак, решениями системы (32) являются х*, где к = 34 + 1.

t € Z, т. е. х = ^ + 2*7 + t € Z.

Ответ: х = *• + 2тг*, te Z.

Все они удовлетворяют второму уравнению системы (30), т. е. являются решениями уравнения (29).

Ответ: *«=-•!+ 2*7,1 е Z.

Пример 12. Решить уравнение

cos³ Зх 4- cos¹¹ 7х = -2. (31)

Решение. Если х₀ — решение уравнения (31), то cos3x₀ = —1 (в противном случае cos7xo < —1, что невозможно). Но

тогда cos7xo = — 1. Следовательно, любое решение уравнения

18. есть решение системы уравнений

/^cos3l = "¹- ₍₃₂₎

| cos 7х = —1.

Легко видеть, что любое решение системы (32) есть решение уравнения (31). Поэтому уравнение (31) равносильно системе

19. .

Первое уравнение системы (32) имеет решения *■ 2 хк , „

** = - + —, Ате г.

Найдем те из этих решений, которые будут удовлетворять второму уравнению системы (32). Это будут те х*, для ка­ждого из которых найдется число т € Z такое, что будет справедливо равенство

7п 14*7: _

у + -у- = ж + 2* т. (33)

Перепишем равенство (33) в виде

f Зт-2 _/0^

к = —-—. (34)

Поскольку кит целые числа, то равенство (34) справедливо лишь тогда, когда m = 7t + 3, t 6 Z, но тогда к = 3t+1, t € Z. Итак, решениями системы (32) являются х*, где к = 34 + 1.

t € Z, т. е. х = ^ + 2*7 + t € Z.

Ответ: х = *• + 2тг*, te Z.

an b справедливо неравенство

(a+ 6) > 4. (37)

(И)

В самом деле, применяя неравенство о среднем арифметиче­ском и среднем геометрическом сначала к числам 1 /а и 1/6, а затем к числам а и Ь, имеем 1 1

° ^Ь- > \1- • - и ^ > л/а5,

2 “Ye 6 2

откуда

Кв⁺й(¹^)-^{1, т-е}' G⁺9^(e+6)-⁴-

Поскольку на ОДЗ уравнения (36) имеем sin⁸ х > 0, cos² 2х > О, то, применяя неравенство (37), получаем, что для любого такого х левая часть уравнения (36) не меньше 4. В то же

/я²

время на ОДЗ уравнения (36) 4 cos² у —— х² < 4. Следова­тельно, уравнение (36) равносильно системе уравнений

[ ) (sin⁸ х + cos² 2х) = 4,

\sin х cos² 2х/ _(3g)

VT-^{r, = 1}-

Из последнего уравнения системы (38) находим его решения xi = л/2 и Х2 = -л/2. Подставляя эти значения в первое уравнение системы (38), получаем, что они являются его ре­шениями. Следовательно, Xi = л/2 и Х2 = —л/2 являются решениями исходного уравнения (36).

Отпет: х\ = л/2, Х2 = -л/2.