§ 4.3. Применение производной.

В предыдущих параграфах были рассмотрены применения некоторых свойств функций, входящих в уравнение, напри­мер, свойства монотонности, ограниченности, существования

cos²

наибольшего и наименьшего значений и т.д. Иногда вопрос о мопотопности, об ограниченности и в особенности о нахо­ждении наибольшего и наименьшего значений функций эле­ментарными методами требует трудоемких и тонких иссле­дований, однако он существенно упрощается при применении производной. В этом параграфе будет показано применение производной при решении уравнений и неравенств.

20. Использование монотонности функции.

В дальнейшем будем пользоваться следующими утверждения­ми.

11. Если функция }(х) имеет положительную производную на промежутке X ((о; 6), (а;+оо), (-оо;а), (-сед+'оо)), то эта функция возрастает на этом промежутке.

12. Если функция /(х) непрерывна на промежутке X ([а; 6], [а; Ь), (а; 6], [а; -foo), (—оо;а]), и имеет внутри промежутка по­ложительную (отрицательную) производную, то эта функция возрастает (убывает) на промежутке X.

13. Если функция f(x) имеет на интервале (а; Ь) тождествен­но равную нулю производную, то эта функция }(х) есть по­стоянная на этом интервале.

Пример 1. Решить уравнение

I⁵ + х³ - vfl - Зх + 4 = 0. (1)

Решение. Рассмотрим функцию

/(х) = х⁵ + х³ - у/1 - Зх + 4.

Область определения этой функции есть промежуток X = = ^—оо; - j. На этом промежутке /(х) непрерывна, внутри его имеет производную

f*(x) = 5х⁴ + Зх² Н-

2у/1 — Зх v

Эта производная положительна внутри промежутка X. Поэто­му функция /(») возрастает на промежутке X. Следовательно,

наибольшего и наименьшего значений и т.д. Иногда вопрос о мопотопности, об ограниченности и в особенности о нахо­ждении наибольшего и наименьшего значений функций эле­ментарными методами требует трудоемких и тонких иссле­дований, однако он существенно упрощается при применении производной. В этом параграфе будет показано применение производной при решении уравнений и неравенств.

21. Использование монотонности функции.

В дальнейшем будем пользоваться следующими утверждения­ми.

11. Если функция }(х) имеет положительную производную на промежутке X ((о; 6), (а;+оо), (-оо;а), (-сед+'оо)), то эта функция возрастает на этом промежутке.

12. Если функция /(х) непрерывна на промежутке X ([а; 6], [а; Ь), (а; 6], [а; -foo), (—оо;а]), и имеет внутри промежутка по­ложительную (отрицательную) производную, то эта функция возрастает (убывает) на промежутке X.

13. Если функция f(x) имеет на интервале (а; Ь) тождествен­но равную нулю производную, то эта функция }(х) есть по­стоянная на этом интервале.

Пример 1. Решить уравнение

I⁵ + х³ - vfl - Зх + 4 = 0. (1)

Решение. Рассмотрим функцию

/(х) = х⁵ + х³ - у/1 - Зх + 4.

Область определения этой функции есть промежуток X = = ^—оо; - j. На этом промежутке /(х) непрерывна, внутри его имеет производную

f*(x) = 5х⁴ + Зх² Н-

2у/1 — Зх v

Эта производная положительна внутри промежутка X. Поэто­му функция /(») возрастает на промежутке X. Следовательно,

промежутке -оо < х < 0. Поскольку /(0) = 0, то f(x) > 0 для любого х € (—оо;0). Следовательно, любое х 6 (—оо;0) явля­ется решением неравенства (3). Поскольку /(0) = 0, то х = 0 не есть решение неравенства (3).

Таким образом, все решения неравенства (3) составляют два промежутка (0; +оо) и (-оо; 0).

Ответ: 0 < х < +оо; -оо < х < 0.

22. Использование наибольшего и наименьшего значении функции. Справедливы следующие утверждения.

11. Наибольшее (наименьшее) значение непрерывной функции, принимаемое ею на интервале Х( (а; Ь) (-оо; +оо),

(о; + оо), (—оо; а)), может достигаться в тех точках интервала Ху в которых ее производная равна нулю или не существует (каждая такая точка называется критической точкой).

11. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения не­прерывной на отрезке [а; 6] функции, имеющей на интерва­ле (а; Ь) конечное число критических точек, достаточно вы­числить значения функции во всех критических точках, при­надлежащих интервалу (о; 6), а также в концах отрезка и из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее.

12. Если в критической точке хо функция непрерывна, а ее производная, проходя через эту точку, меняет знак с минуса на плюс, то точка хо — точка минимума, а если ее производ­ная меняет знак с плюса на минус, то хо — точка максимума.

Пример 4. Решить уравнение

х² + 2х + 3 = (х² + х + 1)(х⁴ + х² + 4). (4)

Решение. ОДЗ уравнения (4) есть промежуток X = = (-оо; +оо). Так как х²+х+1 > 0 для любого х, то уравнение (4) можно переписать в виде

х + 2

= х⁴ + х² + 3. (5)

или в виде

Наименьшее значение функции /(х) = х⁴-Рх²+3 на промежут­ке (-оо; -foo) есть 3. Найдем наибольшее значение на проме-

х + 2

жутке (-оо; -foo) функции р(х) = -= Так как на про-

х^£ + х 4- 1

межутке (—оо;—2) функция р(х) отрицательна, а на проме­жутке (—2; -foo) положительна, то наибольшее-значение функ­ция д(х) может принимать лишь на промежутке (—2; -foo).

Эта функция на промежутке (—оо; -foo) имеет производ­ную

, . х² + х + 1 - (х + 2)(2х + 1) _ х² + 4х -f 1 ^9(х)~ (х*+х+1)^а ~ (*^а + х + 1)²’

которая обращается в нуль в точках xi = —2 + \/3 и ха = — 2 — —%/5. Поскольку на промежутке (—2+ л/3; -foo) имеем д'(х) < О, а на промежутке (-2;-2 + \/3) имеем д'(х) > 0, то в ату непрерывности функции д(х) заключаем, что она на проме­жутке [-2 + >/3; -foo) убывает, а на промежутке [-2; -2 -f %/3] возрастает. Следовательно, в точке хг = -2+ >/3 функция $(х)

, , 2>/3 + 3 _

принимает наибольшее значение, причем д\х2) = . ио-

2\/3 + 3 ^

скольку < 3, то для любого х справедливы неравен­

ства

/(*) > 3 > > д(х),

из которые следует, что уравнение (5) решений не имеет.

Следовательно, не имеет решений и равносильное ему уравнение (4).

Ответ: решений нет,

Пример 5. Решить уравнение

X² + X + 1

Решении. ОДЗ уравнения (6) есть промежуток 2 < х < 4. Рассмотрим непрерывную функцию /(х) = \/х - 2 + у\-х на отрезке [2; 4). Функция /(х) на интервале (2; 4) имеет про­изводную

/'(*) = i(*-2)-V«-1(4-*)-*/«,

обращаю щуюся в нуль только при х = 3. Так как функция /(х) непрерывна на отрезке (2; 4], то ее наибольшее и наимень­шее значения находятся среди чисел /(3), /(2) и /(4). Так как /(3) = 2, /(2) = /(4) = \/2 < 2, то наибольшее значение /(х) есть /(3) = 2. Следовательно, уравнение (6) имеет единствен­ный корень х = 3.

Ответ: х = 3.

Пример 6. Решить неравенство

<*>

Решение. ОДЗ неравенства (7) есть промежуток I = = {0; -foo). Рассмотрим непрерывную функцию /(х) = \/х^(1— —х) на промежутке (0; -foo). Эта функция имеет внутри про­межутка (0; -foo) производную

/'<*) = 1*^(1 - *> - **/* = ,«/* 0(1 - X) - *) .

Эта производная внутри промежутка I обращается в нуль только в точке хо = -. Поскольку для любой точки х, находя-

3

щсйся слева от точки хо = г, имеем, что /'(х) > 0, а для любой

о

точки справа от х<> имеем f'(x) < 0, то в силу непрерывности функции, /(х) на отрезке [0; 3/5) возрастает, на промежут-

3

ке [3/5; -foo) убывает и точка х<> = - есть точка максимума

О

функции /(х). Это означает, что для любого х из I, кроме хо,

2

справедливо неравенство /(х) < /(3/5), /(3/5) = -^/27/125.

о

Следовательно, решениями исходного неравенства (7) являют-

ся все х из двух промежутков

Ответ: 0 < х < 3/5; 3/5 < х < +оо. Пример 7. Решить неравенство

х²

1п(1 + х) > х ——.

£

Решение. ОДЗ неравенства (8) есть промежуток X = = (—1;+оо). Рассмотрим функцию

/(z) = ln(l + z)-*+у.

Эта функция на промежутке (—1;+оо) имеет производную

которая обращается в нуль в точке Хо = 0.

Рассмотрим функцию /(х) сначала на промежутке Х\ — (—1; 0]. Так как /(х) непрерывна на промежутке Х\ и для лю­бой точки х внутри промежутка Х\ имеем f'(x) > 0, то /(х) возрастает на Х\. Поскольку /(0) = 0, то /(х) < 0 для любого х внутри Х\, т.е. ни одно х из промежутка Х\ не есть решение неравенства (8).

На промежутке 1г = [0; +оо) функция /(х) непрерывна, для любой точки х внутри промежутка имеем /'(х) > 0, поэтому /(х) возрастает на Хь- Поскольку /(0) = 0, то /(х) > 0 для любого х внутри 2а, т. е. любое х из промежутка 0 < х < +оо есть решение неравенства (8).

Ответ: 0 < х < +оо.

23. Применение теоремы Лагранжа.

ТЕОРЕМА (Лагранжа). Если функция /(х) непрерывна на отрезке [а; 6] и имеет производную на интервале (о; Ь), то найдется такая точка с интервала (а; 6), что

(8)

•Г

3. 2^Z+² — 7х = 17. (9)

Пример 8. Решить уравнение

Решение. Заметим, что х = — 2 и х = 1 являются корня­ми уравнения (9). Докажем, что других корней уравнение (9) не имеет. Предположим, что уравнение (9) имеет три корня xi < Х2 < хз. Рассмотрим функцию f(x) = 3 • 2^Z+2 — 7х - 17. Данная функция непрерывна на всей прямой и имеет всюду производную. По теореме Лагранжа имеем

/(*2) - /(х0 = /'(ci)(x₂ - xi) = 0, хх < ci < х>,

/(*з) - /(х₂) = /'Ы(хз - Х₂) = 0, Хо < с₂ < х₃.

Следовательно, существуют хотя бы две точки сх и с₂, в кото­рых производная функции /(х) равна нулю. Однако функция /'(х) = 3-2^z+2 In 2 —7 имеет только один корень. Этим доказа­но, что данное уравнение (9) имеет только два корня: х = -2 и х = 1.

Ответ: х\ = -2, х₂ = 1.

}

)

Задачи

Доказать что следующее уравнение не имеет решений

24. у/Г=^ + у/х — 1 = 1.

25. у/2 - х = log₅(x - 2).

26. |х - 2| + |х² - 3| = 0.

27. |х⁴ + 1| + |х² + 4х - 5| = 1.

28. у/2х 4* 5 + v^x + 2 = 0. в. >/4 — х — v^x — 7 = 2.

29. tfx=4 - V-1-X = 0.

30. ^х 4- у/х + 5 = 2.

31. «*/х 4* - = ^^х — 1.

V х

32. 2^Z’⁺¹ = 1 - х⁸.

33. ^F+3 = 2.

34. sin х = х² + х + 1.

35. log₃x=l + ^L

36. у/х = —х² 4- 8х — 15.

37. \/l0T3Vx^r^⁼T + x⁴v^/5^ = 3.

38. у/Ъ - х 4- у/х - 4 = (х - 1)²(х - 8).

39. (х² 4- х 4- 1)(х² 4- 2х 4* 3) = 1.

40. log₅(x 4-1) 4- 2 logs(х - 1) = logs(l - х²) 4-1.

41. 21og₃(4 4- х²) = log₂(l - (х 4- З)²).

42. log₄ ^х⁴ 4* 1 4- jnfTf) ^{= l0&1}^² “ ^^{Х + 5}^‘

43. sin⁴ х - sin² Зх 4- sin х = 3.

44. (sin х 4- \/3 cosх) sin 4х = 2.

45. x³(log₂ х - 2*) 4- log₂ x(2^x - x> 4* 8^x(x - Iog₂ x) = 0.

46. y/x² - x - 2 = log₂(l - x⁴).

47. (x² 4- 2x 4- 2)(x² - x 4-1> = 1.

48. v/9^F - log₃(|x| - 3) = 0.

49. cos(sinx) = 1/2.

50. sin² x + sin² %/2x + (1 + x)² = 0.

11. (x + 8)(4 - x)(v^g + 2) = 1.

30. tfT^x + y/x^2 = (x - l)²(x - 6).

Решить уравнение

30. COSX = 1 + X⁸.

31. x2^r = 8.

32. log* сое² x = x⁴.

33. = |cost|.

36. log₆(x +1) = x.

30. log₂ x = 3 — x.

36. (i)’—+4.

37. log_1/3 x = x - 4.

38. 12* + 5^X = 13^z.

39. 3^х + 4^X = 7.

40. X^х = 27.

41. - 4- 2s/x = 3x(l - lnx). x

42. ^7^5=(* - 3)³+6.

43. 1о(5з(1 + x³) = 2x² - 3x.

44. sin -^= = x¹ - 2>/3x + 4.

2n/3

36. 3* - 1 - |3* - 1| = 21о_& |6 - x|.

51. V^T7-f VTT^rx = 6.

52. |x - 1| + |x - 3| = 2 - ^x - .

49 ^x — ^ I

x⁴ + 25 10⁺ ^

50. 4 sin 7ГХ = 4x² - 4x + 5.

И. 2-1*1 = J^(|x + l| + |x-l|).

11. xyj-x¹ + x = >/x — x² sin ^тг ^ ~ 3 ~ ^

12. sin⁴ x - cos⁴ x = -1 — x⁴.

13. sin³ x - sin^e x = 7 • (1 + sin¹⁰ x).

4

11. sin⁵ x + cos⁵ x = 1.

12. sinx cos 4x = 1.

13. 2 cos¹¹ 4x - sin¹³ 9x = 3.

14. (cos4x - cos2x)² = sin 3x + 5.

15. cos² 9x + 7 cos² x = cos 3x cos⁴ x.

16. xlog₂(x + 1) = log,_/3 x + 7.

17. (3 - 2y/2)^x + (3 + 2y/2)^x = 6*.

18. sin² 4x + cos² x = 2 sin 4x cos⁴ x.

19. log^ x 4- (x - 1) log₂ x = 6 - 2x.

20. ^x^2 + y/xTT = 3.

21. y/x + y/2 - x + Vx² — 3x = \/2.

184

■"■(•(Hr))-

53. 2 cos² —-— = log₅(5 + x) +

logs (5 + z)

9ir²

54. 4|z| + -т-p - | sin *| = 12тг - 1.

1*1

⁶⁸‘ ^log3v^wf - 2i - 2) = log_2+(/5(z² - 2z - 3).

11. 2-l*-^Jl log₂(4z - x²’- 2) = 1.

12. (4z — x² - 3) Iog₂(l + cos² jtz) = 1.

Доказать что следующее неравенство не имеет решений

11. у/х^е + х* + 1 < -1.

12. v/x + 2 - у/Г+4 > 2. '

13. > 0.

14. |z² — х^л + 5sinz| < —1.

15. |z — 1| + |2z + 3| < 0.

16. y/T^x + y/7=\ < 1.

17. |z²-1| + |z²-4z + 7|<1.

18. Vz²+z+l + . „ ¹ < 2.

yjx² + x + 1

11. y/x + 1 + yj y/x +14* 3 < y/2>/x + 1 + 2.

12. -т—I > 1 + yjx¹ - 2x + 3.

x² - 2x + 3

O-I ox²—4x-f 9 ^ ^

⁸¹"² 1 + |x — 3|’

82. yfx + v^x + 5 < 2,2.

55. У2х² — 4х + 3 + У х² — 4х + 5 < 3/2.

56. (х²+х + 4)(х² + 2х + 5)<1.

57. 2log](4 + х³) < log₂(l — (х + 5)²).

58. 1о&,(2 + tfx) + log₂(1 + х² + г⁴) < 0.

59. 2^ + 3^ + 4¹⁺^ < 5.

60. у/4^ + у/х^З <(х- 1)⁴(х - 5).

61. у/х + 3 + У9-х < у/3.

62. у/4 + х + У16-Х < 2.

63. у/х + у/3 - х + у/х¹ — 5х > у/3.

64. \у/2\х\ - l| log₂(2 - 2х^г) > 1.

65. з-!*-*1 log₂(4z - х² - 2) > 1.

66. 2^+ 3'/* + 4'/*+°.¹ < з.

Решить неравенство

67. х • 4^х > 4.

68. 5^х + 2^х > 7.

69. Ух^2 + 'УТ^х > Уз.

70. Ух=\ + Ух+ 14 > 3.

71. у/2-x-xⁱ < 2¹ + 1.

72. 1п(1 - х²) < х + 1/4.

73. cosх >1 —^г.

“ X²

74. In(1 + x) - x + > 0.

m

75. + x - 3 > y/2(x - 3)² + 2z - 2.

76. e* - 1 - ln(l+ x) > 0.

2

77. vTT^-l-! + ^- >0.

2 8

78. log₂ x < 3 - x.

79. xlog₃x < 18.

80. 2^ + 3^⁺¹ + 4^+² > 20.

81. (ar + 5)(3 - z)(s/F^4 + 2) < 0.

82. v'3^7 + v/x^l > (x - l)⁴(x - 7).

из. > ¹⁰

2x +1*

2 + log₃ x ^ G

¹¹⁴' x-1 ^< 2x- 1

115. $/x- Vx^\< 1.