V. Исследование функций и построение их графиков.

1. Необходимое условие возрастания (убывания) функции. Достаточное условие возрастания (убывания) функции (формулировки теорем; примеры).

2. Экстремумы функции. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума. Критические точки 1-го рода (определения; формулировки теорем; примеры).

3. Выпуклость (вогнутость) графика функции. Достаточное условие выпуклости (вогнутости) графика функции (определения; формулировка теоремы; примеры).

4. Точки перегиба графика функции (определение). Необходимое условие существования точки перегиба . Достаточное условие существования точки перегиба (формулировки теорем). Критические точки 2-ого рода (определение).

5. Асимптоты графика функции (определения). Уравнения вертикальных, наклонных, горизонтальных асимптот (вывод уравнений; примеры).

VI. Функции двух переменных.

1. Функции двух переменных. Основные определения: область определения, множество значений, график функции. Открытые и замкнутые, ограниченные и неограниченные области на плоскости (определения; примеры).

2. Предел в точке функции двух переменных (определение). Теоремы о пределах суммы, произведения, частного функций двух переменных (формулировки теорем).

3. Непрерывность в точке функции двух переменных (определение). Точки и линии разрыва (определения; примеры). Теоремы о свойствах функций, непрерывных в замкнутой ограниченной области (формулировки).

4. Частные производные и полный дифференциал функции двух переменных (определения; примеры).

5. Дифференцируемость функции двух переменных (определение). Необходимое и достаточное условия дифференцируемости функции двух переменных (формулировки теорем).

6. Дифференцирование сложной функции z=f(x,y) для случаев, когда: 1) x=x(u,v), y=y(u,v); 2) x=x(u), y=y(u); 3) y=y(x) (формулы; примеры).

7. Формула для производной функции y=y(x), заданной неявно уравнением F(x,y)=0 (вывод формулы; примеры).

8. Частные производные и дифференциалы второго порядка функции двух переменных. Теорема о равенстве смешанных частных производных второго порядка (определения; формулировка теоремы; примеры).

9. Экстремум функции двух переменных. Необходимое условие экстремума дифференцируемой функции. Достаточное условие экстремума дифференцируемой функции (определения; формулировки теорем; примеры).

10. Метод наименьших квадратов для обработки результатов эксперимента (случай линейной аппроксимирующей функции). (Описание метода, пример).

VII. Комплексные числа.

1. Определение комплексного числа. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная форма записи комплексного числа. Модуль и аргумент комплексного числа (определения, примеры).

2. Операции сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел (определения, примеры).

3. Возведение комплексных чисел в целую положительную степень. Извлечение корней из комплексных чисел. Решение квадратных уравнений в комплексной области (определения, примеры).

VIII.Матрицы, определители, системы линейных уравнений.

1.Матрицы и их типы. Операции над матрицами (сложение матриц, умножение матрицы на число, транспонирование матрицы, умножение матриц). (Определения, примеры).

2.Определители квадратных матриц 2-го и 3-го порядков, миноры и алгебраические дополнения (определения, примеры). Свойства определителей (перечислить свойства). Метод вычисления определителя, основанный на приведении его к верхнетреугольному виду (описание метода, примеры).

3. Обратная матрица (определение). Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы и алгоритм ее нахождения (формулировка теоремы, описание алгоритма, пример для матрицы 3-го порядка).

4. Ранг матрицы (определение, примеры). Элементарные преобразования матриц (определение). Матрицы ступенчатого вида (определение, примеры). Теорема о ранге матрицы и ее применение для нахождения ранга матрицы (формулировка теоремы, пример нахождения ранга матрицы).

5. Системы линейных алгебраических уравнений; стандартная форма и матричная форма записи системы линейных уравнений (определения). Совместные (несовместные) системы уравнений (определения). Необходимое и достаточное условие совместности системы уравнений (формулировка теоремы). Определенные (неопределенные) системы уравнений (определения). Необходимое и достаточное условие определенности системы уравнений (формулировка теоремы).

6. Однородные системы уравнений (определение). Необходимое и достаточное условие существования ненулевого решения у однородной системы уравнений (рассмотреть общий случай и частный случай, когда число уравнений равно числу неизвестных; формулировки теорем).

7. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера (описание метода, пример решения системы трех уравнений с тремя неизвестными этим методом).

8. Матричный метод решения системы линейных алгебраических уравнений (описание метода, вывод соответствующей формулы для решения, пример решения системы двух уравнений с двумя неизвестными этим методом). Линейные матричные уравнения (определение, примеры); вывод формул, дающих их решения.

9. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса (описание метода, примеры).