9. Векторная алгебра.

1. Понятие геометрического вектора и связанные с ним понятия (длина вектора; нулевой и единичный вектора; коллинеарные и компланарные вектора; равные и противоположные вектора; угол между векторами). Операции сложения геометрических векторов (правило треугольника и параллелограмма) и умножения вектора на число.

2. Линейные комбинации векторов. Определение линейной зависимости (независимости) векторов. Геометрический смысл линейной зависимости системы, состоящей из 2-х или 3-х векторов. Необходимое и достаточное условие линейной зависимости системы векторов (формулировка теоремы).

3. Определения базисов геометрических векторов на прямой, на плоскости, в пространстве. Теорема о разложении векторов прямой, плоскости, пространства по соответствующему базису. Координаты вектора в базисе. Координатная форма представления вектора.

4. Линейные операции над векторами, заданными в координатной форме. Ортонормированный базис и декартова прямоугольная система координат. Радиус-вектор точки и координаты точки. Нахождение координат вектора по координатам точек, задающих начало и конец этого вектора (определения, примеры).

5. Скалярное произведение векторов и его свойства. Выражение длины вектора и угла между векторами через скалярное произведение. Ортонормированный базис. Скалярное произведение векторов, длина вектора, угол между векторами в ортонормированном базисе (определения, формулы, примеры).

6. Проекция вектора на заданное направление. Ортогональная составляющая вектора в заданном направлении. Направляющие косинусы вектора и их свойства (определения, примеры).

7. Определение правой и левой тройки векторов. Векторное произведение векторов и его свойства. Геометрический смысл модуля векторного произведения. Выражение векторного произведения через координаты векторов-сомножителей (определения, формулы, примеры).

8. Смешанное произведение 3-х векторов и его свойства. Геометрический смысл модуля и знака смешанного произведения. Выражение смешанного произведения через координаты векторов-сомножителей (определения, формулы, примеры).

9. Собственные числа и собственные вектора матрицы (определения, примеры нахождения для матрицы 2-го порядка).

Примечание. На экзамене будут предоставлены примеры для ответов на следующие вопросы:

V,5; VI,9; VI,10; VIII,3; VIII,7; VIII,94; IX,9.

Иллюстративные примеры для ответов на другие вопросы студенты подбирают самостоятельно.