Задачи для самостоятельного решения

1. Найти интервалы возрастания, убывания функции и экстремумы

а) ;б) ;в) .

2. Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функции:

а) ;б) ;в) .

3. Найти асимптоты графика функции:

а) ;б) ;в) .

Ответы

1. а) Функция возрастает при, убывает при;— точка минимума.

б) Функция возрастает при, убывает при;— точка минимума;— точка разрыва.

в) Функция возрастает при, убывает при;— точка максимума,— точка минимума.

2) а) График функции выпуклый при, вогнутый при;— точка перегиба.

б) График функции выпуклый при, вогнутый при;— точки перегиба.

в) График функции выпуклый при, вогнутый при;— точка перегиба.

3) а) ; б); в).

Занятие №12

Общая схема исследования функций и построения их графиков

Исследование функций и построение их графиков следует проводить по следующему плану:

1. Найти область определения функции; указать точки разрыва;

2. Определить чётность (нечётность), периодичность функции;

3. Найти интервалы возрастания (убывания) функции и её экстремумы;

4. Найти интервалы выпуклости (вогнутости) и точки перегиба графика функции;

5. Найти асимптоты графика функции;

6. Найти точки пересечения графика с осями координат;

7. Построить график по результатам этого исследования.

Примеры

1. Исследовать функцию и построить её график.

1) Область определения функции: ;— точка разрыва 2-го рода;

2) функция не является ни чётной, ни нечётной (так как не выполняются равенства для всехиз области определения функции); функция не является периодической;

3) найдём .

Имеем: при;при. Получаем следующее распределение знаков, по которому мы определяем, на каких интервалах функциявозрастает, а на каких — убывает:

x				0
y'	—	0	+	∞	—
y		Точка минимума		Точка разрыва

Так как знак при переходе через точкуизменяется с «—» на «+», то в этой точке у функции минимум, причём;

4. Найдём . Очевидно, чтопри. Поэтому точек перегиба нет, а график функции вогнутый всюду;

x		0
y'’	+	∞	+
y		Точка раз-рыва

5) Найдём асимптоты графика. Прямая — вертикальная асимптота, так как— точка разрыва 2-го рода. Ищем наклонные асимптоты вида. Имеем:

; . Поэтому— наклонная асимптота при.

6) Найдём точки пересечения графика с осями координат. Для этого в общем случае надо взять и найти соответствующее значение. Затем взятьи найти соответствующее значение. В данном случае получаем только одну такую точку:.

7) Построить график функции по результатам этого исследования. Для этого сначала строим асимптоты (если они есть), и указываем опорные точки: экстремумы, точки перегиба, точки пересечения с осями координат.

1

Рис. 2

Замечание. График функции асимптоту не пересекает, так как уравнение не имеет решений.

2. Исследовать функцию и построить её график.

• 1) Область определения функции: ;— точки разрыва.2-го рода;

2. Функция нечётная, т.е. ; функция не является периодической.

3. Найдём . Имеем:при;при. Получаем следующее распределение знаков, по которому мы определяем, на каких интервалах функциявозрастает, а на каких — убывает.

x						0				3
y'	—	0	+	∞	+	0	+	∞	+	0	—
y		Т.мин.		Точка разр.		0		Т. разр.		Т. макс.

Так как знак при переходе аргументачерез точкименяется, то в этих точках — экстремумы, причём,.

4. Найдём . Очевидно, чтопри;при. Получаем следующую расстановку знаков, по которой мы определяем, на каких интервалах график функциивыпуклый, а на каких — вогнутый.

x				0
y'’	+	∞	—	0	+	∞	—
y		Т.раз-рыва.		Т. пере-гиба		Т.раз-рыва

5) Найдём асимпоты графика. Прямые — вертикальные асимптоты, так как— точки разрыва 2-го рода. Ищем наклонные асимптоты вида. Имеем:

; . Поэтому— наклонная асимптота при.

6) Найдём точки пересечения графика с осями координат. В данном случае получаем только одну такую точку .

7) Построим график по результатам этого исследования:

-3 3

Рис. 3