математика

Министерство образования и науки Российской Федерации

ФГОУ ВПО Московский государственный университет

тонких химических технологий им. М. В. Ломоносова

кафедра высшей и прикладной математики

Солодова Е. Ф., Ремизова О. И.

ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.

Учебно-методическое пособие Москва, 2014

ÓÄÊ 512.8:516 ÁÁÊ Ñ42

Рецензенты:

к.ф.-м.н., доцент С. А. Степанянц (МГУ им. М. В. Ломоносова);

к.ф.-м.н., доцент Т. П. Краснослободцева (МИТХТ им. М. В. Ломоносова).

Солодова Е. Ф., Ремизова О. И.

Двойные интегралы. Криволинейные интегралы: Учебно-мето- дическое пособие. Москва: МИТХТ, 2014. 56 с.; рис. 33.

Пособие представляет собой конспекты 6 практических занятий по курсу математического анализа для студентов вечернего отделения МИТХТ им. М. В. Ломоносова. Включены следующие разделы:Двойные интегралы , Криволинейные интегралы . Каждое занятие посвящено отдельной теме. Конспекты занятий содержат краткое изложение соответствующей теории, типовые примеры и задачи для самостоятельного решения. Приведены образцы контрольных работ (с решениями).

Пособие предназначено для студентов вечернего и очно-заочно- го отделений.

Утверждено Библиотечно-издательской комиссией МИТХТ в ка- честве учебно-методического пособия.

c МИТХТ им. М. В. Ломоносова, 2014 г.

Оглавление

Двойной интеграл	5
Занятие 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	5
Основные понятия и определения . . . . . . . . . . . .	5
Основные свойства двойного интеграла . . . . . . . .	7
Вычисление двойного интеграла в декартовых коор-
динатах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	9
Занятие 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	14
Вычисление двойного интеграла в полярных коорди-
натах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	14
Занятие 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	21
Некоторые приложения двойных интегралов . . . . .	21
Контрольная работа по теме Двойной интеграл . . . . . .	27
Криволинейные интегралы	30
Занятие 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	30
Криволинейный интеграл I рода. Основные понятия .	30
Вычисление криволинейного интеграла I рода . . . .	32
Криволинейный интеграл II рода. Основные понятия	34
Некоторые свойства криволинейного интеграла II рода	36
Вычисление криволинейного интеграла II рода . . . .	36
Занятие 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	40
Формула Грина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	40
Условия независимости криволинейного интеграла II ро-
да от пути интегрирования . . . . . . . . . . . .	41
Занятие 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	45
Геометрические и механические приложения криво-
линейных интегралов . . . . . . . . . . . . . . .	45

3

Контрольная работа по теме Криволинейные интегралы	49
Ответы к занятиям	52
Литература	53

4

и составим

Двойной интеграл

Занятие 1

Основные понятия и определения

Пусть в замкнутой области D плоскости Oxy задана непрерывная функция z = f(x; y). Разобьем область D на n элементарных областей Di; i = 1; : : : ; n, площади которых обозначим через Si, а диаметры (наибольшее расстояние между точками области) че- рез di.

Ðèñ. 1.

В каждой области Di выберем произвольную точку Mi (xi; yi), умножим значение f (xi; yi) функции в этой точке на Si

5

сумму всех таких произведений:

f (x1; y1) S1 + f (x2; y2) S2 + : : : + f (xn; yn) Sn =

n

X

= f (xi; yi) Si: (1)

i=1

Эта сумма называется интегральной суммой функции f(x; y) в области D.

Рассмотрим предел интегральной суммы (1), когда n стремится к бесконечности таким образом, что max16i6n di ! 0. Если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области D

на части, ни от выбора точек в них, то он называется двойным интегралом от функции f(x; y) по области D и обозначается

ZZ

f(x; y) dxdy:

D

Таким образом, двойной интеграл определяется равенством

ZZ			n
	max!1di		0 i=1
D	16i6n	!	X		Si:	(2)
f(x; y) dxdy =	nlim	;	f (xi; yi)

В этом случае функция f(x; y) называется интегрируемой в области D; D область интегрирования ; x è y переменные интегрирования ; dxdy элемент площади.

Для всякой ли достаточно хорошей функции f(x; y) существует двойной интеграл? На этот вопрос отвечает следующая теорема

Теорема 1 (Достаточное условие интегрируемости функции). Если функция z = f(x; y) непрерывна в замкнутой области D,

то она интегрируема в этой области.

Замечания.

1.Далее будем рассматривать только функции, непрерывные в области интегрирования, хотя двойной интеграл может существовать не только для непрерывных функций.

6

2.Из определения двойного интеграла следует, что для интегрируемой в области D функции предел интегральных сумм

существует и не зависит от способа разбиения области. Таким образом, мы можем разбивать область D на площадки прямыми, параллельными координатным осям (см. рис. 2).

Ðèñ. 2.

Ïðè ýòîì Si = xi yi, равенство (2) можно записать в виде

ZZ							n
	max!1xi				!		0; i=1
D	16i6n						X	xi	yi:
f(x; y) dxdy =			nlim	;			f (xi; yi)
	max y			i		!	0
	1	6	i n
			6

Основные свойства двойного интеграла

Процесс построения интеграла в области D дословно повторя-

ет процедуру определения интеграла функции одной переменной на отрезке. Аналогичны и свойства интегралов и их доказательства. Сформулируем основные свойства двойного интеграла, считая подынтегральные функции интегрируемыми.

RRRR

1.c f(x; y) dxdy = c f(x; y) dxdy; c const:

D D

RR	RR	RR
2.	(f1(x; y) f2(x; y)) dxdy =	f1(x; y) dxdy f2(x; y) dxdy:
D	D	D

3.Если область D разбить линией на две области D1 è D2 такие, ÷òî D1[D2 = D, а пересечение D1 è D2 состоит лишь из линии,

7

их разделяющей (см. рис. 3), то

ZZ	f(x; y) dxdy = ZZ	f(x; y) dxdy + ZZ f(x; y) dxdy:
D	D1	D2

Ðèñ. 3.

4. Если в области D имеет место неравенство f(x; y) > 0, то

RR		удовлетворяют неравенству				, òî è
è	f(x; y) dxdy		> 0. Если в области D		функции f(x; y) и
D				f(x; y) > g(x; y)
g(x; y)		ZZ
			f(x; y) dxdy > ZZ g(x; y) dxdy:

DD

5.Если функция f(x; y) непрерывна в замкнутой области D, площадь которой S, то

ZZ

mS 6 f(x; y) dxdy 6 MS;

D

где m и M соответственно наименьшее и наибольшее значе- ния подынтегральной функции f в области D.

6. Если функция f(x; y) непрерывна в замкнутой области D, площадь которой S, то в этой области существует такая точка

RR

(x0; y0), ÷òî f(x; y) dxdy = f(x0; y0) S. Величину

D

1

ZZ

f(x0; y0) = S f(x; y) dxdy

D

называют средним значением функции f(x; y) в области D.

8

Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

Пусть область D представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную прямыми x = a и x = b и кривыми y = '1(x) è y = '2(x), причем функции '1(x) è '2(x) непрерывны и таковы, что '1(x) 6 '2(x) äëÿ âñåõ x 2 [a; b] (ñì. ðèñ. 4).

Ðèñ. 4.

Такая область называется правильной в направлении оси Oy; любая прямая, параллельная оси Oy, пересекает границу области не более, чем в двух точах.

Теорема 2 Если функция z = f(x; y) непрерывна в области D, правильной в направлении оси Oy, òî

2 3

b'2(x)

ZZ	f(x; y) dxdy = Z	Z	f(x; y) dy	7	dx:	(3)
D	a	6'1(x)
		4		5

Интеграл, стоящий в правой части формулы (3), называется повторным интегралом и обычно записывается в виде

b'2(x)

ZZ

I = dx

f(x; y) dy:

a'1(x)

	'2(x)
Ïðè ýòîì	R	f(x; y) dy называется внутренним интегралом .

'1(x)

Для вычисления повторного интеграла сначала берем внутренний интеграл, считая x постоянным, затем берем внешний интеграл,

9

т. е. результат первого интегрирования интегрируем по x в пределах от a до b.

Если же область D ограничена прямыми y = c и y = d (c < d),

кривыми x = 1(y) è x = 2(y), причем				1(y) 6 2(y) äëÿ âñåõ
y 2 [c; d], т. е. область D правильная в направлении оси					Ox, òî
справедлива аналогичная формула для двойного интеграла
	d		2(y)
ZZ	f(x; y) dxdy = Zc	dy	Z	f(x; y) dx:	(4)
D			1(y)

Замечания.

1.Если область D правильная, т. е. правильная как в направлении оси Oy, так и в направлении оси Ox, то двойной интеграл можно вычислять как по формуле (3), так и по формуле (4).

2.Если область D не является правильной ни в направлении оси Oy, ни в направлении оси Ox, то для сведения двойного инте-

грала к повторным, ее следует разбить на части, правильные в направлении оси Ox или оси Oy.

3.Полезно помнить, что внешние пределы в повторном интеграле всегда постоянны, а внутренние, как правило, переменные.

Задача 1. Вычислить интеграл RR x + y3 dxdy, где D часть

D

единичного круга, лежащая в I координатной четверти. Решение: Область D является правильной как в направлении оси

Oy, так и в направлении оси Ox.

Ðèñ. 5.

10