- •Скворцова м.И., Мудракова о.А.
- •Оглавление
- •Занятие 13. Функции двух переменных: основные определения. Частные производные и дифференциал функции двух переменных.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Занятие 14. Производные сложной и неявно заданной функции Производные сложных функций двух переменных
- •Производная неявно заданной функции
- •2) Существуют и.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Занятие 15. Экстремумы функции двух переменных. Элементы теории поля
- •Элементы теории поля
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Занятие 16. Контрольная работа №3 по теме «Дифференциальное исчисление функций двух переменных». Вариант-образец.
- •Занятие 17. Метод наименьших квадратов для обработки результатов эксперимента
- •Перечень вариантов для самостоятельной работы по теме «Метод наименьших квадратов»
- •Список литературы
- •Скворцова Мария Ивановна Мудракова Ольга Александровна
Задачи для самостоятельного решения
Найти область определения функции .
|
|
Задана функция . Найти:
1) ; 2) ; 3) .
Найти ,идля функции.
|
|
Найти ,,для функции:
1) ;
2) ; 3).
Найти ,,,для функции:
1);2).
Занятие 14. Производные сложной и неявно заданной функции Производные сложных функций двух переменных
10. Пусть,,– дифференцируемые функции. Тогда частные производные сложной функциивычисляются так:
(1)
При этом в правые части формул (1) в выражения для z’x , z’yследует подставитьx=x(u,v), y=y(u,v). В результате z’x , z’y будут зависетьтолько от u и v.
Пусть ,,, т.е.
.
Найдем . Для этого сначала найдем следующие шесть частных производных:
Тогда, используя формулу (1) и выражая ичерези, получим:
;
.
20. Пусть,,– дифференцируемые функции. Тогда производная сложной функцииz(u)=z(x(u),y(u))вычисляется по формуле:
(2)
При этом в правую часть формулы (2) в полученные выражения для z’x,z’yследует подставить x=x(u), y=y(v). В результатеdz/duбудет зависетьтолько от u .
Пусть ,,, т.е.
.
Найдем . Имеем:
,,,.
Используя формулу (2) и выражая ичерези, получим:
30. Пусть,– дифференцируемые функции. Тогда производная сложной функциивычисляется по формуле:
(3)
При этом в правую часть формулы (3) в полученные выражения для z’x,z’yследует подставить y=y(x). В результатеz/dxбудет зависетьтолько от x .
Пусть ,, т.е..
Найдем . Имеем:
,,.
Используя формулу (3) и выражая через, получим:
.
Замечания.
1) Формула (2) является частным случаем формулы (1).
2) Формула (3) является частным случаем формулы (2).
3) Формула (3) называется формулой полной производной.
4) Производные сложных функций в случаях 10-30могут быть найдены непосредственно, без использования формул (1)-(3). Однако получаемые при этом выражения могут быть слишком громоздки.
Производная неявно заданной функции
Определение. Функция называется неявно заданной, если она задана с помощью уравнения, не разрешенного относительно «».
ТЕОРЕМА.
Пусть функция задана неявно при помощи уравнения. Предположим, что:
1) , т.е.;
2) Существуют и.
Тогда:
.
Замечание.
Рассмотрим функцию двух переменных , заданную неявно уравнением:
.
Тогда при определенных условиях в некоторой точке :
,.
Рассмотрим функцию , заданную неявно уравнением:.
Здесь . Найдемв некоторой точке. Вычислим,:
,.
Тогда:
.
Рассмотрим функцию , заданную неявно уравнением:.
Здесь . Найдемив некоторой точке. Вычислим,,.
,,.
Поэтому:
,.
Задачи для самостоятельного решения
,,. Найти;
,,. Найти;
,,. Найти;
,. Найти;
,. Найти;
,. Найти;
,,. Найти,;
,,. Найти,;
,,. Найти;
,,. Найти;
,,. Найти;
,. Найти;
,,. Найти,;
,,. Найти,;
,,. Найти,;
,,. Найти,.
В задачах 17) – 22) найти производную неявно заданной функции.
;
;
;
;
;
.
В задачах 23) – 25) найти ,неявно заданной функции.
;
;
.