Внешние массовые силы.

На массу жидкости объемом dV действуют внешние массовые силы: – в терминах ОБС это Источники и Стоки силы (как субстанции). Так как P_x - сумма проекций единичных массовых сил на ось x, получаем выражение массовый силы, приложенной по оси x к массе жидкости в объеме dV в виде

( внешний импульс).

Подставляя выражения сил в ОБС, получаем

или

Рассуждая аналогичным образом относительно осей y и z получим еще два уравнения

Последние три уравнения образуют систему уравнений Эйлера.

Умножим первое уравнение на dx, два других уравнения , соответственно, на dy и dz. Получим, после сложения левых и правых частей уравнений

Так как давление есть функция только координат, то сумма, стоящая слева, – есть полный дифференциал давления. Тогда, основное уравнение гидростатики в дифференциальном виде выглядит следующим образом:

Физический смысл этого уравнения: равенство сил давления и внешних массовых сил.

Основное уравнение гидростатики позволяет решить первую из поставленных задач, а именно, определить закон распределения давления внутри покоящейся жидкости.

Для вывода уравнения поверхности уровня возьмем за исходное основное уравнение гидростатики в дифференциальном виде.

Согласно определения поверхности уровня р=const; но ρ≠0 (плотность является постоянной величиной – вывод справедлив для несжимаемой жидкости). Отсюда следует, что

уравнение поверхности уровня. Это уравнение позволяет решить вторую задачу гидростатики – задачу определения формы поверхности уровня для покоящейся жидкости..

Закон распределения давления внутри покоящейся жидкости на примере абсолютного покоя(Закон Паскаля). Уравнение поверхности уровня, уравнение свободной поверхности.

Исходным уравнением для определения закона распределения давления внутри покоящейся жидкости является основное уравнение гидростатики в дифференциальном виде

Пусть среди массовых сил, действующих на жидкость, присутствует только сила тяжести. Сила тяжести, действующая на частицу жидкости в окрестностях произвольно выбранной точки в объеме жидкости

,

где m - масса этой частицы жидкости.

Проекция силы тяжести на ось x равна нулю

.

Проекция силы тяжести на ось y также равна нулю Проекция силы тяжести на ось z равна .

Следовательно, суммы проекций единичных массовых сил на соответствующие оси будут равны . Подставляя эти значения сумм в основное уравнение гидростатики, получим . Проинтегрируем полученное дифференциальное уравнение в пределах, соответственно, от p₀ ( давление на свободной поверхности уровня) до p (давление в произвольно взятой точке), и от z₀ до z . В результате получили основное уравнение гидростатики в интегральной форме, так называемый закон Паскаля

Согласно закона Паскаля, давление внутри покоящейся жидкости в произвольно взятой точке есть сумма внешнего давления и давления, создаваемое столбом жидкости над этой точкой (гидростатического давления).

Для определения формы поверхностей уровня воспользуемся уравнением поверхности уровня в дифференциальном виде_{. Подставляя в это уравнение значения сумм проекций единичных массовых сил, получим}

. Интегрируя полученное дифференциальное уравнение, найдем, что уравнением поверхностей уровня в случае абсолютного покоя жидкости является – уравнение семейства горизонтальных плоскостей. Таких плоскостей бесконечное множество. Для каждой поверхности уровня будет свое значение константы. Физический смысл константы – это координата по оси z любой точки поверхности уровня. Следовательно, уравнением свободной поверхности является

.

Закон Паскаля демонстрирует возможность измерения давления в метрах жидкостного столба. Это выражение лежит в основе измерения давления пьезометрами, манометрами и вакууметрами (см. следующий рисунок)

Правая трубка – пьезометр, измеряющий избыточное давление в метрах столба рабочей жидкости плотностью ; в самом деле, применяя закон Паскаля для определения давления жидкости в точке присоединения пьезометра, получим, откуда

Левая трубка- U – образная трубка – манометр, измеряющий избыточное давление (в данном примере – в пространстве над жидкостью) в метрах столба манометрической жидкости плотностью. В самом деле, применяя закон Паскаля для левого колена U – образной трубки на глубине соответствующей уровню манометрической жидкости правого колена этой трубки, получим , откуда

При , что фиксируется отрицательным знаком правой части последнего выражения, а это значит, что уровень жидкости в левом колене будет ниже, чем в правом; такая U – образная трубка, показывает разряжение в аппарате по сравнению с атмосферным давлением и называется вакууметром.