PRIKLADNAYa_MEKhANIKA_ch1

Рис. 2.$	Рис. 2.&
	т-.(-п

Рис. 2.7

Рис. 2.8

-

F m

Рис. 2.9

Рис. 2.10

www.mitht.ru/e-library

12

2.7 Приведение IlроиЗ80.---1ЫIОй плоской- cucml!-'tbl сил к центру. ДаНЗ(РlIс.2.13) Сlfсте~1а СИ.'} (F1,Fz,...,Fn). Каждую силу переносим парап-

.lС.1ЬНО ~~fOЙ сеОс в центр О, добаВ;UIЯ пары си"					с моментами:		(2.3)
ml= mo{F--1	mz=	-z),	а	=	m o(F--a
),		mo{F	..., т		)	•

с.l0ЖIШ все CII.1bI и пары си., СОГ.1асно (2.1) и (2.2). Тогда, учlпыая

(2.3), ПО.1УЧИ~f (рис.2.14) :

_ 1& _ n. __

ГД~--l1Jt.o		Ro= ~ Fc. ;	nJCО=?- 1r1() (Fj,J,
	-	':f	'1It{
~,		Г.lавныЙ вектор и гдавный момент системы сил.

2.8'уС:106UЯраВ1l0весuя nроизвОllЬНОЙ плоской системы сил.

ТС.l0 находится в ра~новесии, если:R;= o;/lt.= о

ПРОСКТIlРУЯ B~h"ТOPHve равенство~= О на оси координат

(,рис.2.l4) и .\"lИтывая (2.4), имеем:

It	1&	1& _	•
:EF1y=О; 1:F(z= О; 1:mo(F,) = о
i'=f	'='	,.,

(2.4)

(2.5)

д.1Я равновесия произво.1ЬНОЙ n';1ОСКОЙ системы си,'1 необхо­

;lIШО и ДОСТЗТОЧНО,чтобы 3..1гсбраическая сумма проскций сил на оси

J,оор;щнат 11 CY~{~la их ~{OMeHТOB относительно любой точки на плос­

кости бы.1И равны ну.1Ю. Уравнения (2.5) - базовая форма условий

Р:Шl!овеСIIЯ (ВОЗ~fОЖНЫ две другие фоРМЫ),они позвоJUlЮТ определить

Р(;3КЦlIIf связи. -

2.9. Mo.~tellm си:,,,, оmllосиmелыlo оси. ДиСК (рис.2.lS) может вра-

щаться, ОТНОСИТС,1ЬНО ОСИ Z ТO;IbKO под действием СИЛЫ Fz. Момент

СIIЛЫFотносите.1ЬНО ОСИ z (рис.2.l6.) равен моменту проекции ЭТОЙ

СИ.1Ы на ПЛОСКОСТЬ, перпендикуJUlРНУЮ оси, относительно точки пере­

сечения оси с плоскостью-

m.(F) = mo(FI)') =,±Fl)'h,

www.mitht.ru/e-library

13

а)

;:; R;

(

mll

д)

r)

Рас. 2. f{

hc.2.12

www.mitht.ru/e-library

где h - n"1ечо силы Fsy. Момент принимают положительным, есЛи С

конца оси ви.:vНо стремдение CIL'JbI повернуть тело против хода часо­

вой стре,1КИ. Момент равен НУ.'I--Ю, еели сила параллельна оси (Fxy= О)

или пересекаст ОСЬ (Ь=О). СИ.1Ы F1,F, (см.рис.2.15).

2.10.Ус.10вия равllовесия nроизво.'lЬНОЙ nfJОС'!1РQнственной систе­

мы сид. Простра~снная система сиd.,F1,••• ,F:) приводится J(

главному вектору Roи гдавному моменту/tJ(о(РИС. 2.17), причем

__ It _

JtJC. 0= L mo(F,).

'=1

Равновесие возможно, ееди

-Ro =О; JtJC--0= О.

Просктируя BCI.'ТOpHbIe равенства на оси координат и исполь­

ЗVЯ заВИСШfOсти между проскциями~на оси координат и моментами
...	~	...- 'ч,l	___

си.'J ОТНОСИТС.1ЬНО осей ms(ri), mr(F )				и mz(F ), получаем шесть уравне-
			1		1
НIIЙ равновесия:
	n			_	_
~ F11 =О; L F1r =О;		~ F1r =О;	L m,.(F1)=O;		L mr<F1)=O;	L mz(F1)=O.
'-=(	,аl	ё.,	is,		1..(	'.(

3. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ МЕХАНИКИ ДЕФОРМИ­ РУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

3.1. Модель ..tamepua.'lOS. Модель материалов (CM.n.l и рис.l.2) пред­ стаВ.1ЯСТ собой СПЛОШНУЮ (без пустот) OДHOPOДН)'l<? ~ ( свойства

во всех точках одинаковы). это позволяет примеИJIТЬ методы матема­

тического анализа.

Рассматриваются изотропные материалы, обладающие одина­

ковыми свойствами в различных направлениях.

www.mitht.ru/e-library

{S

у

\

/

~m",

Pвc.2..IS

PJlс,2.(7

I

I

www.mitht.ru/e-library

16

в зависимости от внешних воздействий материал проявляет

С.1сдующие свойства.

1. Упругость - способность восстанавливать форму после снятия

вllСШНIlХ нагрузок.

2. П.7Qстичносmь - способность на1<аnливать остаточные дефор­

.нации.

З. Хрупкость -

фор.\/ацuях.

./. Твердость -

свойство разрушаться при малых остаточных де­

способность сопротивляться внедрению в поверх­

ность инородных тел.

5. ПО:lзучссть - свойство увеличивать со временем деформации при nосmОЯU11О1i uагруз"е.

3.2. Моде:lи фор.чы. Реа,.1ЬНое те.'lО имеет Сдожную форму. Приме­

няют моде:JИ.

1.Брус - тело, длина "оторого намного nреllышает остальные раз­

.\,еры (рис. 3.1,а).

01 02 - ОСЬ бруса, соединяет центры тяжести поперечных се­

чений (пеРПСНДИКУ,1ЯРНЫХ оси бруса). .по характеру нагруженИJI бру­ са (растяжение, изгиб, 1I.1'учение) различают: стержень, балку. вал

(рис.3.1,б).

2. ОБО.10чка - тело, ll.Меющее малую толщину по сравнению с габа­

рumllЬШU раз.\4ера.Лtu (рuс.3.1,в).

З. Массив - те.то, размеры которого соизмеримы (наnр'шер, шарик

110()ШUnlluка, станина, рuс.З.1,г).

3.3. Модели l1агружеllиR. В зависимocm от размеров noверхнОС1'Н контакта при взаимодействии тел различают (рис.З.2): 1. сосредoro­ чснные CILlbl (поверхность контакта мала по сравнению с размерами

ТС.'l), P,H~ 2. распределенные силы (Koнтaкr - по линии или поверхно­

сти), q - интенсивность. Н/м, р - давление, Н/м2 • Встречаются также

www.mitht.ru/e-library

17

· Е

~

1~

~

6)

о I~ ()

В)

r)

P!tс.э. f

Ркс.3.2

www.mitht.ru/e-library

18

объе!>fные СIf.1Ы (СИ;IЫ тяжести, инерционные силы). По харЗICТeру ИЗ~fенения во вре~fСНИ нагрузки J<.lассифицируют:

1. Статичсская нагрузка(!\fе;:щенно возрастаст or нуля ДО ко­

нечного значения и остастся постоянной в процессе работы детали);

2. Дина!>fическая нагрузка (ударная, инерционная);

3.ПСРС\fенная во вре~fени нагрузка (нагрузка в периоды за­

пуска и ТОР\1Ожения \fаШJlНЫ И.,И ЦНК.1IИЧССкая нагрузка, меняющаяс.

по периодичееКО\IУ закону).

Моде.1И нагружения учитывают также темпера1)'Рные пом

(нераВНО\IСРНЫЙ нагрев и ох.1аждение).

3.4. IJнуmРСllllие )'сu.1UЯ. ftJсmод сеченuЙ. Под действием виешиих

СИ.1 в \fатсри3.,с ТС.lа возникают внутренние усилия (СИ,lЫ взаимодей­

СТВIIЯ между частица~fН тс.'щ). Еели внутренние усилия превышают

СИ.'Ы сцеП.1ения, наС1)'паст разрушение. Рассмотрим брус (рис.3.3,а) в

состоянии равновесия под действием npoизвольной системы сил

rr.:P;:...,P;:). Внутренние УСIIЛИЯ определяют методом сечений, кото­

рый зак.:lючается в С.lс~'Юще'f.

1. РазрезаС\f (MbIC;tCHHO) брус на две части сечением В, где требуется найти внуrpенние усилия (см.рис.3.3,а).

2. Отбрасываем одну из частей (например, левую)~ ocтaвтur

Д.1Я рассмотрения правую (рис.3.3,б).

3. 3а\fеЮlе!>f действис отброшенной части на остаВШУЮС.

BНYТPCHНJNJf усилиями.

Внуrpенние уси.1ИЯ (как и внешние, ем.П. 2.10) можно привес­

ти к центрутяжести С сечения, заменив главным векторомit и глав­

ным MO!>fCНТO!>f'м: системы (см. рие.3.3,б).

4. Составляем уравнения равновесия статики для оставшеЙс. части бруса, из ~I?!:!.X определяем внутренние усилия.

Векторы &С, Мс(ем.рис.3.3,б) удобно разложить по осям J<OOP- динат (см.рис.3.~), выбрав ось!.!!о нормали к CC'iению, а оси х и у­ в его lL1OCKocm: .ас (N, Q.,Q),} ; Мс{ Мж, М)., Ма} •

www.mitht.ru/e-library

19

Следует отметить, что моменты М., Му, М•.1ежат в П.lОСКО­

стях, п~ендикулярных осям х, у, Z, по мо.:хрю рзвны проекциям

BeICТOpa м., на эти оси. Кроме того, ес:ш HOP!-fa.lb к сечению совпадает с осью бруса, то рассматривается поперечное сечение (с~сп. 3.2).

Итак, в общем С:I)'Чае нагружеНJlЯ бруса в его сечении возни­

кают шесть· компонентОв внутренних уси.1ИЙ (внутренних СИ.l0ВЫХ

факторов), которые могут быть найдены из соответствующих шести

уравнений равновесия статики. Они имеют с.lе.:хующие названия:

N - нормальная (продольная сила), вызывает растяжение уча­

стка бруса, если направ.lена от сечения, и сжатне, ес.1И - к сечению:

Q,. ,Q)'- поперечные СИ:IЫ, вызывают срез И.llf сдвиг одной части бруса относите..1ЬНО другой;

М,. ,М)' - изгибающие моменты, стремятся изогнусь брус отно­ сительно осей х и у;

Мж - крyrящий момент, стремиvся повернуть брус относи-

тельно оси Z.

Метод сечений ПОЗВО,lЯет найти наиболсс нагруженные сече­ ииябруса.

3.5. Наnряженuе. Напряжение - мера интенсивности распределения внутренних усилич 8 сечении. Рассмотрим отсеченную часть бруса

(см.рис.3.3). Выделим в окрестности некоторой--точки А сечения бру-

са элементарную площадку AF (рис.3.4,а), дR - элементарная внуг-

ренняя сила, действующая на эту П,10Щадку. Напряжение в точке А

равно	h _ iJ.	fJR
	,-VLflt	~F' •

АР-О

Размерность напряжения - [МПа], lМПа =1 НlMM2 . ВeICТOpРприня­

то раскладывать на две составляющltе (рис. 3 •~, о) :

www.mitht.ru/e-library

20

-- ....	-
Р=6+t,
где-б· .юрмм"оое иanрbreltlte (no ..-ормали к сечеиию);t кalCa1\mЬ-
-
I{OC наnpиженис.

Вектор t , в cВOl'O 'O-repeдь, может быть разложен на две со--

C'ta1'l.1ЯЮЩИС В n!JOCKocm CC'<rtии;r. Нормальное наприжение вызывает orpbIB И.1И сближенис частиц 'tCJta,~reльное - сдвиг частиц.

3.6. ПО/lllтuе о nаnряжеlllttJ.1fIl ~*'••• точке. Напряженне все­ rда ОПРСДС.'1ястся по ОТНОШСI{ИЮ k рассматриваемому сечению. еово.

КУПНОС1Ъ напряжений Д,.1Я M~ сечений, прохоДJIЩМХ 1fepe3

данную ТOtl~', образует наnpяжеимое 'СОСТОУ.ние в точке.

В теории упругocm доказывается, что ДЛЯ исследовано М­ пряженного состояния ;xocraТO'itf() знать напряженИJI в любых 1РСХ

взаимно перпендикулярных n~. Рассмотрим тело, нагруже..- НОС ПРОИ3ВО!JЬНОЙ систсмой 'C4IJ\(рис.З.5,а). Выделим в OICpeC'l'llOC'm ТО'lЮf А бесконечно ма...ыji 3йСмент в виде пр1lМОyroльноro nApа.ме­ !lипипсда. По его ~ дей<:1вуют следующие нanpJIЖemrt (рис.3.5.б) •

Выбираем Ю>Ср~tmre 'ОСИ паРaJJ1lельно ребрам naраме.·

пипсда. По.1НОС наnpЮl(емйе, "-Озникающсе 11 ОДНОЙ грани', pacкna.цн~

ваСТС1l J13 tPR ·co<:r.\II~йе: 'О.:ж;ну • по нормали к площадке и две - ts

П.'lОСI«>CТИ ссчcнror. Нс4>~ЬtЮe напряженне обозначено б с индек­

ООМ, COO'rВCТCТВ~1OIЦМM 'ос*м 1, у, Z, касательное напрюкеffие - буквой

'tс двумя И1iДс1ССа.\tП (ncpeый • coorвererвyeт оси, перпендикулярной П.'1ощaдtre, ,второй -~, tsдo.... t«YropOЙ направлен вектор): на Неви­

димых гранях 9ОЭ'н~ taI<Иe же напряжения. но nporнвоположно

наnpавлеНm.tе.

З.lОСЬ и e.~ часто символ вектора "->" • обозначе­

нии CЮI , ~an,~ w.-pymx &екторных параметров опускаем.

C~ ~ hplRJIOЖенн:ur к элементу. должна удовлетворять

~ yc~ 'm)fJМI'IЮ8eCWI (см. п. 2.10). ПОСКОЛЬКУ на nporнвo-

www.mitht.ru/e-library