PRIKLADNAYa_MEKhANIKA_ch1
.pdf21
Рис.3.S
а)
wwwРис.mitht. зА.ru/e-library
22
ПО.l0ЖНЫХ гранях возникают противоположные по направлениlO си
.1Ы, то первые 1рlf УС.l0ВИЯ равновесия (суммы проекций всех сил на
оси x,y,z) УДОВ.1СТВОРЯЮТСЯ тождественно. Нетрудно убедиться, что
оставшиеся 1рИ уравнения ~fOментов сил относите:JЬНО осей x,y.;z. да
ют:
't.y='tys; 't,y='tyx; 'tu='t.. • |
(3.1 ) |
эти зависимости выражают закон парности касате.1ЬНЫХ иа nряжений: на двух взаимно перпендикулярных гранях касательные
напряжения равны по ~fО..1)':JЮ и направ.'1ены либо к общему ребру,
.1Ибо от ребра. Закон ларности позво:JЯет уменьшить число неизвест
ны:\: напряжений от девяти до шести.
Напряженное состояние в точке прi:дставляет собой тензор, опреде:IЯСМЫЙ шестью компонентами)
|
ox'txy'txz |
|
Тн= |
'tyx Оу 'tyz |
(3.2 ) |
|
'tzx'tzy 6z |
|
|
|
|
Тензор напряжеНIIЙ не зависит от ориентации осей х, у, z. Ее
.1И выбрать новую систему координат, значения компонентов тензора
изменятся, однако сам тензор останется тем же.
3.7.Дефор.Jtuцuя твердого те/lа. Норма.lьные напряжения вызыва
ют деформации уд,lинения (укорочения), в результате точки тела
смещаются. Рассмо1рИМ действие напряжения ~(рис.з.б,а) на беско
нечно М'\.lЫЙ Э.'lемент (см. рис. З.5,б). Обозначим (рис.З.б,б): dx, dx' - длинi' элемента до и после деформации тела; А',В' - положения точек А, В вследствие деформации;
U, v - леремещения точки А ПО направлениям координатных осей х, у в результате деформации.
www.mitht.ru/e-library
23
Полагая, что u =u(x,y), V = у(х,у), можем ~исать, что пере-
мещенне ТОЧКИ В по оси х равно (u + du). |
. |
|
|
||||
Удлинение элемента отдействияfх равно (dx' - о). Относи |
|||||||
тельное удлинение в направлении оси х определяется величиной |
|
||||||
|
|
L!!:' _ dx'- dx |
|
|
|
|
|
|
|
сх- |
dx |
|
|
|
|
или (см.рис. З.6,б) |
|
|
|
|
|
|
|
б |
- |
dx+u+du-u-dx |
du |
|
|
||
Х |
- |
|
dx |
|
= dx· |
|
(3.3) |
При u = u(x,y) следует записать: |
ov |
|
|
|
|||
~ |
|
Ои. |
|
|
|
|
|
с,,= |
ах) Су= |
(Jy |
|
|
|
||
Если u = u(x,y,z), ТО имеем: |
|
ОУ. С. . dW |
|
|
|||
с |
|
'Оо. с |
' |
|
|||
с,,= |
С)х' |
f;.;..y= |
'3у ) Сг- аж |
(З.4) |
|||
где u, У, W - перемещения ТОЧЮf по осям х, у, z. |
|
|
|||||
ех, Еу, |
еz uрактеризyюr линейные деформации, выража |
||||||
IOТCЯ в npoцеитах.
Касательные напряжения вызывают .угловую деформацию (деформацию сдвнга). Рассмотрим действне на бесконечио малый
элемент (см.рис.3.S,б) напряжений 'tху='t)'S='t(рис.З.6,в).
УЧИТЫвая, что нас иtrrepeCyюr деформации элемекra, а не его
перемещсния как твердого тела, будем C'iИтать одну из граней
(нижнюю) условно иеподвижноЙ. В результате элемент примет форму
параллелограмма.
Мерой деформации ЯВJlJlется изменение npямого угла 'У1.у=у,
'1 - относительный сдвиг.
Если закрепить другую грань (вертикальную), ТО l'и 'Уху бу
дyr такими же.
www.mitht.ru/e-library
Можно доказать, что угловые деформации в коордииатных
плоскостях:
уШ~.У ~~y ~ш
~ t IJX O!JZ= а;-т ~ ; vzx= IJX +"'8i(JZ.l=
в любой точке тела'имеют место три лииейных н три угловых компонента деформации, которые определяют деформированное со
стояние 8 точке.
3.8. YpaBnenU/l связи. В расчетах принимают модель идеально упру гого тела. ПОДIЧИняющеrocя закону Гука, согласно которому дефор
мацни npoпорциональнl) напряжениям. В случае действия нормаль
ных напряжениЙ (см.рис. 3.6,а,б) |
|
8= f |
(3.6 ) |
3десь:е-относнтельное удлинение (продольная деформация),~
(см.п. 3.7 и формулу 3.3); Е - модуль Юнга, МПа.
Зависимость (3.6) выrажает закон Гука при однородном рас
тяженни. В случае действия касательных напряжений (см. рис. 3.6,в) закон Гука имеет вид:
(3.7 )
где: 'У- относительный сдвиг (см.п. 3.7), рад;
G - модуль сдвнга, МПа. '
Е и G - упругие константы изотропного материала, характеризу ют его жесткость. Кроме них, имeercя третья ynpyraя константа.
Огносительная попе',tJCЧНая деформация при однородном рас
тяжении равна (см.рис. 3.6,6) |
d' |
~I |
/э 8) |
|
I С!' |
= |
'у |
-иу |
|
с := GJI |
ау' |
\'''. |
||
где dy, dy' - размеры бесконечно малого элемента до и после дефор
мации (dy' < dy). Уcraиовпена взаиМОСJ.ЯЗЬ межцу е и 8"
www.,м.=mithtI ~'.ru/e-1 -)library (3.9)
25
а) |
0') |
|
Рнс.·.э.S" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.-- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
ek' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6'з: |
|
PJf |
|
~ |
|||
|
|
|
|
|
--.... |
l' |
f-- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А' |
|
р{ |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
А |
е, |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d.1; |
|
|
u+du |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~....'t' |
|
|
|
|
|
д) |
|
|
|
|
||||
|
|
|
- 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t/t"I 'ZJIsrt" |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8) www.mitht.ru/e-library
Рис. .3.в
26
f' - коэффициент Пуассона, для раз;tИЧНЫХ материалов 0...0,5. |
|
Константы Е, С, r- связаны между собой |
|
G = E~(2 (1+1"')4 . |
(Э.fО) |
д'1Я стали: Е ~2,1*)O МПа; G ~8*)O МПа;pt ~ 0,25 ...0,3.
Итак, изотропное упругое тело описывается тремя упругими
констаита.\ш, две из которых ЯВ,1ЯЮТСЯ независимыми величинами.
Расчет напряжеННО~pt'1WРОQaНIlОГО состояния является одним из
важных этапов решения задачи о прочностной надежности объектов.
3.9ОС1l0811ые nри1lциnы •.,ехОllики дефор.4fируемого т8ердого mела.
1.Приllциn с)'nерnозиции или независимости действия сил (справед.1ИВ д.1Я упругих систем).
НапряЖсННо-дефОРМИ{)ОЕ:4,НноQ состояние (ИДе) системы, на
которую действует НССКО.1ЬКО сил, определяется JCaK сумма иде от
каждой из си;, (рис.3.7).
2. ПриllЦUn Сеll-Венона. Вда..1И от места npиложения на грузки иде не зависит от способа приложения нагрузки (рис.3.8).
3. ПриllЦUn 1I0чолыIы.~ роз.."ерО8. При состав.'1ении уравне ннй равновесия статики обычно не учитывают изменения размеров
конструкции ВС,1едствие деформаций ее Э.1еМСНТО8 (например, пере мсщснием точки В бруса АВ вследствие удлинения каната ве можно
пренебрсчь, рис.3.9).
4. МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КОНСТРTh'"ЦИОВ
Hыx МАТЕРИАЛОВ
4.1. Диогрtu..,.,о деформиРО80ltиR. Oclt08HbJe механические XIIраке
ристики материалов.Для npактических расчетов необходимо знать
предельные значения напряжений и упругие константы материалов. е этой целью проводятся испытания, основным И3 которых является
испытание на растяжение.
www.mitht.ru/e-library
27
Испытание проводят на разрывной машине. Стандартный об разец (обычно цилиндрический) подвергаюг действию растягиваю
щих сип Р (рис.4.l),.4- начальная расчетная длина образца, d - его
диаметр. Машина обеспечивает статическое нагружение образца и снабжена устройством, вычерчивающим график зависимости Р = Р(
4 i ),4 i - удлинение образца.
Типичная диаграмма растяжения показана на рис.4.1,б. Она
может быть разделена на четыре основные зоны:
ОА - зона упругости (соблюдается закон Гука - удлинение npoпорционально силе; после снятия нагрузки образец восстанавли-
8ает свои размеры);
ВС - зона общей текучести, участок ВС - площадка теку'1ести (наблюдается рост деформации при почти постоянной нагрузке - ма
териал течет);
СД - зона упрочнения (удлинение образца сопровождается возрастанием нагрузки, но более медленным, чем в·зоне упругоСти; зависнмость Р =Р( 4 i ) ~ нелинейиа; на образце намечается шейка -
место будущего разрыва образца; в точке Д нагрузка достигает наи
оольшего значения - р. ); ДК - зона местной текучecni (у.zytинение
образЦа СОПРОВОЖдается уменьшением нагрузки вследствие сужения шейки; точка К соответствует разрушению образца).
Предполагаем, что при растяжении в образце возникает одно
родное напряженное состояние (напряжения ПOCТOJfнны как по сече
нию, taJ( и по д..1ине).
Если воспользоваться методом сечений (рнс.4.2,а), то очевид но, что в любом поперечном сечении n - n образца возникает нор
мальная сипа N =Р. Сила N является равнодействующей внyrpенних сил в сечении. для однородного образца внyrpeнние сипы распреде
лены по сечению равномерно. Тогда нормальное напряжение для всех точек сечения будет одним и тем же:
www.mitht.ru/e-library
|
2.8 |
б=-1(: , |
(4.1 ) |
где F - площадь поперечногосечения образца, F =1td'1./4.
для получения механнческих характеристик материала ис
КJIЮчают влияние размеров образца. Диаграмму растяженИJI пере
страиваютв координатах r5 = PIF,E= All е• .Зависимость назы
вается диаграммой деформированИJI (рис.4.3), она подобна исходной.
Основные мt.ланические характеристнки маТериала - следую
щие. d
f!) f1Ц - предел ПРОПОРЦИОН8JlЬНОСТН, наибольшее иanpJlЖение,
до которого сООлюдаЮСJl закон гужа (Е=С/Е).
6'т - предел текучecm, напряжение, при котором происходит
рост деформаций без заметного увеличения нагрузки. -
<?8 -временное сопporивленне (предел прочиости), orношение
мaJ(симальной сипы, которую выдерживает образец, к иачальной
площади его поперечного сечения.
Ь-orноснтельное (остаточное) удлинение при разрыве,
0'=(et - ep>I~~,4-длина обр~а после разрыва (см.рис.4.l,а н
рис.4.3). _
Если ["> 10 % (при(/d=S), материал называютпластичным,
при б< 3 % -хрупким.
уГOJJ наклона диаграммы деформирования в зоне упругости
(см.рис.4.3) характеризует жесткость материала: tg 0.= Е.
Если образец разгрузигь на участке ОА, то разгрузка пойдет по той же линии (см.рнс.4.3). Ecnи образец разгрузигь на участке сд. например, в точке N, то лИННR разгрузkИ NL будет параллельна ли
нии ОА. Полная деформациЯ образца в точке N :
е =r 8у + ёtJC!h. , С.У м Е. Р&ln. -
- упругая и остаточная (n.пacтичecкая) деформaцНR. При повториом
иагружеиии образца лИIIШI нагрузки совпадает с линией разгрузки, и
чacrъ диarpаммы (левее точки N) "('; ПОВТОРJЮrCя. Следовaтonъио, по-
www.mitht.ru/e-library
29 |
|
,А ,Р. _ ,А |
IР. |
А11.,-4 nt+JJ? Jп
Рис. Э.7
~ |
р |
|
р |
j |
Р |
|
|
||||||
|
|
|
||||
I; |
It. |
|
||||
~l
р |
р, |
|
р |
$ ру |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||
|
|
|
---_.~- к |
|
|
|
|
р., |
|
|
- |
|
'R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
||||
|
OL------~ |
|||||
wwwРис.mitht, ~.1.ru/e-library
30
зышается предел пропорционмьности и уменьшается пластичность
материма. Это явление называют наклепом. Оно широко использует
СЯ в технике.
Для многих пластичных материалов (меди, среднеуглероди стой стали) на диаграмме деформирования отсутствует выраженная
площадка текучести (рис.4.4), тогда вводится понятие yc,,'IOBHOГO пре
делатекучести 60.2, ПI-.i котором ЕОСТ= 0.2 %.
для хрупких материалов (например, чугуна) диаграмма де
формирования при растяжении не имеет П:lOщадки текучести и зоны
упрочнения (рис.4.5). Р;lзрушение образца происходит при малых
остаточных деформациях.
По-разному Beдyr себя пластичные и хрупкие материалы и при испытании на сжатие. Короткий цилиндрический образец (рисА.б,а) устанавливают между параллельиыми плитами и подвер гают действию сжимающих сил Р, образец сжимается в диск.
Диаграмма деформирования при сжатии пластичного мате
риала. например, малоуглеродистой стали (рис.4.6,б) до прсде:Jа те
К}'Чести подобна диаграмме при растяжении (см.рис.4.3), пределы
теk")'Чести одинаковы (б 1р= ~ те). Однако дальше кривая идет круто
вверх из-за увеличения площади сечения образца, и предел прочности
найти не удается.
В случае хрупкого материала диаграмма деформирования при
сжатии аналогична диаграмме при растяжении (см.рис.4.5), но пре
дел прочности при сжатии ~ вс выше предела прочности при рас
тяжениибар, например, для чугуна Овс =(3....5) бвр' Свойства мате
риалов существенным обр.!зом зависят от температуры (обычно ис
пытания проводят при tO =200с). для малоуглеродиcroй стали до tO =
200....3000С наблюдается повышение ({ви снижение ()~ при tO > зооОс
б.. падает,О растет. Л'i'ированные стали и цветные сплавы при по
вышении температуры обнаруживают:снижение t5 вр И Отр;рост О
www.mitht.ru/e-library