Методика решения задач по электростатике

Dn2

- 43 -

sin

D1 sin

0,65,

(10)

т. е.

β = 40°.

D2

D2

Аналогично найдем направление и величину

напряженности электрического поля в парафине

E2

E

E2 E2

n1

E2 .

(11)

2

n2

2

2

1

Так как в воздухе En1 E1 sin ,

E 1 E1 cos ,

получаем

E

E

sin2

cos2

1,3 В/м.

(12)

2

1

2

Вектор E2 образует с границей диэлектрика угол γ:

sin

En2

E1 sin

0,65,

(13)

E2

E2

т. е.

γ = 40°,

γ = β.

Таким образом, векторы электрического смещения и напряженности электрического поля при переходе через границу диэлектрика меняют свое направление, оставаясь по-прежнему параллельными друг другу.

Вектор поляризации в парафине определим из выражения

D2 = ε0E2 + P2

Так как векторы D2 и E2 сонаправлены, вектор P2 направлен параллельно им, а его модуль равен

P D	2		0	E	2	1,2 10 11	Кл/м2.	(14)
2

Задача 2. Две концентрические металлические сферы с радиусами R1 и R2, где R2>R1, имеют соответственно

- 44 -

заряды -q1 и +q2. Пространство между сферами заполнено диэлектриком, диэлектрическая проницаемость которого ε. Определить величину связанных зарядов на поверхности диэлектрика и потенциал электрического поля в точке А, находящейся на расстоянии rА от центра сфер (rА< R1).

Решение.

Рис. 2.3.

Электрическое поле создается двумя заряженными металлическими сферами, т.е. свободными зарядами -q1 и +q2, и связанными зарядами +q′1 и -q′2, образованными на поверхности диэлектрика. По принципу суперпозиции запишем

E E1 E2 E1 E2 .	(1)
Для определения величины	связанных зарядов

найдем напряженность электрического поля в диэлектрике. По теореме Гаусса она равна

	E(r)	q1	.	(2)
		4 0r2

www.mitht.ru/e-library

	σ′1	и σ′2	- 45 -
Пусть			- поверхностные		плотности
связанных зарядов		соответственно q′1 и q′2. Так как
поверхностная		плотность		связанных	зарядов
пропорциональна		нормальной		составляющей		к
поверхности	диэлектрика		напряженности электрического

поля, а в данной системе заряженных тел силовые линии нормальны ко всем поверхностям, то

1 0E(R1) ( 1) 0E(R1)								( 1)q
												1	,		(3)
									4 R		2
								1
2 0 E(R2 ) ( 1) 0E(R2 )									( 1)q1					.	(4)
Отсюда получаем									4 R22
						( 1)q1
q1 1 4 R12										,					(5)
				2			( 1)q1
	q2		2 4 R2								.				(6)

Потенциал электрического поля в точке А найдем в результате алгебраического сложения потенциалов полей, созданных всеми заряженными сферическими поверхностями. А именно:

A 1 2 1 2 .

(7)

С учетом того, что для равномерно заряженной сферы радиуса R в любой точке внутри и на поверхности сферы потенциал электрического поля (в вакууме) равен

- 46 -

				q1													q2				q1
		A							q1				q2
																					4
				4		R			4	R			4	R	2		4	R				0	R
				0			1			0	1		0					0	2				1
	( 1)q1							q2
							4 0 R2
	4 0 R2

(8)

Задача 3. Стеклянный (ε = 7) толстостенный полый шар равномерно заряжен по объему с объемной плотностью заряда ρ. Внутренний радиус шара R1, наружный R2. Найти распределение потенциала в стекле. Определить потенциал внутренней и наружной поверхностей шара, потенциал электрического поля в центре шара.

Решение.

По теореме Гаусса найдем напряженность электрического поля в произвольной точке А, находящейся внутри диэлектрика на расстоянии r от центра шара.

Рис. 2.4.

	q	, а точка А находится внутри всех заряженных					qi
	4 0R
		ФE EndS E 4 r2					i
							0
сфер, можем написать					S			.	(1)
					4	(r3 R3 )
			0		3	1

www.mitht.ru/e-library

				- 47 -
E		(r	R3		).	(2)
			1
	3 0		r2

С учетом связи напряженности электрического поля и потенциала получим распределение потенциала в шаре

Edr		(r	R3				r2		R3
			1	)dr		(			1	) C. (3)
	3 0		2		3 0
			r			2			r

Постоянную интегрирования найдем из условия непрерывности потенциала и того обстоятельства, что потенциал на внешней поверхности шара определяется только свободным зарядом шара

q V						4	(R3				R3 ) .											(4)
					3			2					1
										(R3			R3 )
(R	)			q											.							(5)
											2		1
											3 0R2
2		4 0 R2
Подставим (4), (5) в формулу (3), тогда
			(R3					R3 )									R2			R3		(6)
(R2 )					2			1								(	2			1	) C.
					3 0R2									3 0
Получаем															2					R2
	C			(R3					R3)				(R3		2R3 )					.		(7)
					2			1					2		1
						3 0 R2								6 0 R2

Подставляя С в (3), находим распределение потенциала в

диэлектрике (стекле):
	r2								R3						(R3 R3 )				(R3	2R3 )
(r)			(							1		)			2	1			2	1	. (8)
	3 0 2									r					3 0R2				6 0R2
Полагая		r R2 ,										получаем				потенциал наружной
поверхности шара:
(R2 )							R	2					R3	) C		(R3		R3 )		,
					(			2					1			2		1
							2						R2			3 0R2
		3 0

что совпадает с (5).														- 48 -
Полагая				r R1,							получаем						потенциал внутренней
поверхности шара:
(R )								R2				R		3	) C			R2
							(	1				1						1
1				3 0			2					R1						2 0
	(R3 R3 )						(R3				2R3 )									(9)
	2		1				2							1
	3 0R2							6 0R2
(R )		(R3 R3 )											(R3			2R3 3R2R				)	.
			2				1							2		1	1 2
1				3 0R2												6 0R2

В силу непрерывности потенциала таким же будет и

потенциал в центре шара:
(0) (R )	(R3	R3 )		(R3	2R3	3R2R	)	. (10)
	2	1		2	1	1 2
1	3 0R2				6 0R2

Задача 4. Металлический шар радиуса R имеет заряд Q. Точечный заряд q находится на расстоянии d от центра шара. Каков потенциал шара?

Рис. 2.5.

www.mitht.ru/e-library

- 49 -

Решение

В металлическом проводнике заряды могут располагаться только на поверхности проводника. Если бы заряда q не было, заряд Q был бы равномерно распределен по поверхности. При наличии заряда q заряд Q попрежнему располагается на поверхности шара, но уже не распределен равномерно (см. рисунок).

Потенциал точки О равен

	q		i	Qi	,	(1)
	4 0d			4 0R

где Qi - малые части заряда Q, расположенные на поверхности шара.

Но Qi Q , т.к. шар - изолированный проводник.

i

Тогда	q Q
		.	(2)

4 0d 4 0R

Таков потенциал точки О, и таков же потенциал любой точки шара, поскольку в металлическом проводнике в равновесии φ=const и электрическое поле отсутствует.

Задача 5. Точечный заряд q находится внутри незаряженного проводящего слоя, имеющего форму полого шара, на расстоянии r от центра О. Внутренний радиус слоя R1, внешний радиус R2. Найти потенциал в точке О.

Решение.

В результате электростатической индукции на внутренней поверхности шара появляются, например, отрицательные заряды Qi , а на наружной –

положительные Qi (см. рис.).

- 50 -

Рис. 2.6.

Так как всюду в проводнике напряженность электрического поля в равновесии равна 0 , то будет равным 0 и поток вектора напряженности ФЕ через любую замкнутую поверхность , проходящую в проводнике и окружающую полость (например, одна из таких поверхностей показана пунктиром на рис.). Тогда по теореме Гаусса

q Qi

0 ФЕ			i	.	(1)
			0
Значит, Qi q .
i
Поскольку проводник не заряжен, то
Qi Qi 0.					(2)
i	i
Значит, Qi	q .
i

www.mitht.ru/e-library

- 51 -

Тогда потенциал в точке О равен

q

Q

Q

q 1 1

1

i

i

4 0R1

4 0R2

.

4 0r

i

i

4

0 r R1

R2

(3)

Отметим, что таким образом потенциал в полости можно найти только в точке О, так как только от этой точки все индуцированные заряды находятся на одинаковом расстоянии и их распределение (не известное нам) не играет роли.

Задача 6. Два полых металлических шара расположены концентрически один в другом. Малому шару сообщили заряд 3q, большому q. Какие заряды находятся на наружной и на внутренней поверхности малого и большого шара?

Решение.

Рассмотрим замкнутую сферическую поверхность 1, проходящую внутри малого шара (см. рис.).

Так как всюду в проводнике напряженность электрического поля в равновесии равна 0, то поток вектора напряженности Ф1Е через поверхность 1 равен 0, тогда по теореме Гаусса

0 Ф		qмал.внутр.	,	(1)
1Е		0

где qмал.внутр. - заряд на внутренней поверхности малого шара.

Значит, qмал.внутр. =0.

(Примечание. Известно, что в состоянии равновесия избыточных зарядов внутри проводника быть не может. Избыточный заряд распределяется только по поверхности проводника.)

- 52 -

Тогда qмал.нар. 3q , т.е. весь заряд малого шара распределен на его наружной поверхности.

Рис. 2.7.

Рассмотрим теперь замкнутую сферическую поверхность 2, проходящую внутри большого шара (см. рис.). Опять же напряженность электрического поля в проводнике в равновесии равна 0, тогда поток вектора напряженности Ф2Е через поверхность 2 равен 0 и по теореме Гаусса

0 Ф				qбол.внутр. 3q		,	(2)
		Е
	2				0
где qбол.внутр.	- заряд на внутренней поверхности большого
шара. Значит, qбол.внутр. =-3q.
Но qбол.внутр.	qбол.нар.				q по условию (здесь qбол.нар. - заряд

на наружной поверхности большого шара). Тогда

qбол.нар. q ( 3q) 4q .

www.mitht.ru/e-library

- 53 -

Задача 7. Четыре большие металлические пластины расположены на малом расстоянии d друг от друга. Крайние пластины соединены проводником, а на внутренние пластины подана разность потенциалов . Найти: а) напряженность электрического поля между пластинами; б) суммарный заряд, приходящийся на единицу площади каждой пластины.

- 54 -

E12 E23 E34 d 0.

(4)

Разность потенциалов между второй и третьей

пластинами равна :
E23d .	(5)

Решая совместно (1)-(5), найдем напряженности полей между пластинами и поверхностные плотности заряда на каждой пластине:

1

2

3

4

Рис. 2.8.

Решение:

Плотности зарядов пластин равны 1, 2 , 2 , 1 .

Напряженности полей между пластинами

E				1			,			(1)
12						0
E23	1 2								,	(2)
			0
E		34			1			.		(3)
						0

Разность потенциалов между крайними пластинами равна нулю, т.к. они соединены проводником:

E					; E			E								.			(6)
				d
	23				12						34				2d
										;					3			;	(7)
						2d
			1						0			2			2d 0
		3		2; 4 1 .															(8)

Задача 8. Небольшой шарик висит над горизонтальной безграничной проводящей плоскостью на изолирующей упругой нити жесткости k. После того как шарик зарядили, он опустился на x см, и его расстояние до проводящей плоскости стало равным l. Найти заряд шарика.

Решение:

Используем метод зеркальных изображений, заменив систему: шарик + проводящая плоскость на два противоположно заряженных шарика, находящихся на расстоянии 2l друг от друга.

Сила упругости, действующая на шарик со стороны нити, уравновесится силой кулоновского притяжения шарика отрицательно заряженным шариком:

kx	q2
	4 0 2l 2 ,	(1)

www.mitht.ru/e-library

- 55 -

откуда найдем заряд шарика:

q 4l 0kx. (2)

Задача 9. Тонкое проволочное кольцо радиуса R имеет заряд q. Кольцо расположено параллельно безграничной проводящей плоскости на расстоянии l от последней.

Найти напряженность и потенциал электрического поля в центре кольца.

Решение:

Согласно методу зеркальных изображений электрическое поле не изменится, если рассмотреть систему двух противоположно заряженных колец, находящихся на расстоянии 2l друг от друга.

Потенциал поля в центре кольца равен:

	q		1			1
								. (1)
	4 0 R					R2 4l2

Напряженность поля в центре кольца найдем, продифференцировав потенциал (1) по l:

E				q			.	(2)
					R2	3/2
		l	2
16				1
					4l2
0

Задача 10. Точечный диполь с электрическим моментом p находится на расстоянии aот бесконечной проводящей плоскости. Найти модуль вектора силы, действующей на диполь, если вектор p перпендикулярен плоскости.

Решение:

Согласно методу «зеркальных изображений» заменим диполь и проводящую плоскость на два диполя, находящихся на расстоянии r = 2a друг от друга.

- 56 -

Сила, действующая на диполь, находящийся в электрическом поле с напряженностью E, равна

	dE
F p		,	(1)

dl

где напряженность поля от другого диполя

	E	p				p
				1 3cos2			, (2)
		4 0r3				2 0r3

где мы положили = 0.

Вычислим производную от напряженности по r, совпадающую в нашем случае с производной по направлению диполя:

dE		dE		3p	.	(3)
dl dr				2 0r4

Модуль вектора силы, действующей на диполь, равен

F	3p2		3p2	.	(4)
	2 0r4
			32 0a4

Задачи для самостоятельного решения

1.Найти силу притяжения заряда q к бесконечной проводящей плоскости, находящейся на расстоянии h от этого заряда.

	Ответ: F	q2	.
		16 0h2

2.Точечный заряд q находится на расстоянии h от бесконечной проводящей плоскости. Найти напряженность поля в точке А, указанной на рисунке. Найти поверхностную плотность σ заряда на плоскости в этой точке.

www.mitht.ru/e-library

При параллельном соединении конденсаторов электроемкость батареи:

R1

- 57 -

Рис. 2.9.

Ответ:	Е		2qh	,				0Е		2qh
		h2	r2 32						h2	r2 32

(Примечание: связь поверхностной плотности заряда проводника с напряженностью поля вблизи его поверхности можно доказать, используя теорему Гаусса).

3.Два одинаковых маленьких шарика подвесили на нитях равной длины, закрепленных в одной точке. Шарикам сообщили одинаковые одноименные заряды. После этого шарики погрузили в жидкий диэлектрик, плотность которого 1 . Плотность шариков 2 . Найти диэлектрическую проницаемость среды, если угол расхождения нитей в воздухе равен , а в жидкости .

- 58 -

4.Тонкое кольцо радиуса R, равномерно заряженное зарядом Q, и проводящая сфера расположены так, что центр сферы находится на оси кольца на расстоянии l от плоскости кольца. Определить потенциал сферы.

Q

Ответ: .

4 0 l2 R2

§ 3. Электроемкость. Энергия электрического поля

Электроемкость проводника

C dq . dU

Заряд конденсатора электроемкостью C при напряженности U :

q CU .

Электроемкости плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов:

C

0 S

;

C

2 0 l

;

C

4 0 R1R2

.

d

R2

R R

ln

2

1

		sin2				tg									C Ci ;
Ответ:				2				2						.	при последовательном соединении
			1				2								1
										tg
	1	2		sin				2				2			C				.
																	1
																	Ci

www.mitht.ru/e-library

- 59 -

Энергия заряженного конденсатора

W CU2 q2 .

2 2C

Плотность энергии электрического поля

0		0 E2	,
	2

где E – напряженность поля.

Задачи с решениями

Задача 1.

В схеме, показанной на рисунке, емкости конденсаторов равны С1 = 1 мкФ, С2 = 2 мкФ, С3 = 3 мкФ, С4 = 4 мкФ.

Рис. 3.1.

Напряжение между точками А и В равно U = 100 В. Найти напряжение U4 на конденсаторе C4, если до подключения напряжения U конденсаторы были не заряжены.

Решение.

Рис. 3.2.

-60 -

1)Найдем общую электроемкость конденсаторов.

		Так как конденсаторы С3																												и С4 подключены
последовательно, то
											1								1					1		.							(1)
											C34 C3 C4
		Следовательно, C												34						C3C4							.
																				C3			C4
		При параллельном соединении имеем
			C234 C2						C34							C2 (C3 C4 ) C3C4															.		(2)
																							C3 C4										(3)
		1				1			1
	Cобщ					C1		C234
C		общ			C1C234									C1 (C2 (C3 C4 ) C3C4 )																				.
					C C				234				(C C									2	)(C		3			C	4	) C		C	4
			1											1																3

2) Найдем заряд на обкладках первого конденсатора.

U q1

Cобщ

(4)

q1 UCобщ UC1(C2 (C3 C4 ) C3C4 ) .

(C1 C2 )(C3 C4 ) C3C4

3) Найдем разность потенциалов между точками О и В.

www.mitht.ru/e-library

- 61 -

OB

U AO

U

q1

C1

U(1

C2 (C3

C4 ) C3C4

)

(5)

(C1 C2 )(C3 C4 ) C3C4

U

C1(C3

C4 )

(C1 C2 )(C3 C4 ) C3C4

С другой стороны,

OB

q3

q3

q3 (C3 C4 )

,

(6)

C3

C4

C3C4

где q3 - заряд на обкладках третьего и четвертого конденсаторов.

Приравнивая выражения, получаем

		q3							UC1C3C4											.			(7)
						(C C			)(C		3	C			) C		C	4
						1		2						4		3
4) Найдем напряжение на четвертом конденсаторе.
U	4		q3								UC1C3											9,09B.	(8)
							(C C			)(C				C		) C			C
			C	4									3								4
								1	2						4			3

Задача 2. Имеется плоский воздушный конденсатор, площадь каждой обкладки которого равна S. Какую работу необходимо совершить, чтобы медленно увеличить расстояние между обкладками от x1 до x2 , если при этом поддерживать неизменным:

а) заряд конденсатора, равный q;

б) напряжение на конденсаторе, равное U.

Решение:

а) Согласно закону сохранения энергии работа модулю изменения энергии электрического поля конденсатора.

- 62 -

Учитывая, что заряд поддерживается неизменным, запишем работу в следующем виде:

	q	2		1		1
A									,	(1)
	2					C
			C
				1			2

где электроемкость плоского воздушного конденсатора

C	0S	.	(2)
	x
Подставляя (2) в (1), находим работу

A	q2	x		x .	(3)
	2 0S
			2	1

б) При неизменном напряжении удобно использовать другое выражение для энергии поля, квадратичное по напряжению. Тогда для работы имеем выражение:

A	U2	C	C	.	(4)
2		1	2

Используя формулу (2), находим работу

A		SU2 x	2	x
	0			1		.	(5)
		2x1x2

Задача 3. Две прямоугольные пластины длины l и площади S расположены параллельно друг другу на расстоянии d. Пластины заряжены до разности потенциалов U. В пространство между пластинами втягивается диэлектрик с диэлектрической проницаемостью . Толщина диэлектрика равна d, его ширина равна ширине пластин, а длина больше l. Найти

www.mitht.ru/e-library