Методика решения задач по электростатике

- 63 -

зависимость силы, действующей на диэлектрик со стороны поля, от расстояния x.

l

		d

x

Рис. 3.3.

Решение:

Энергия конденсатора в случае, когда диэлектрик втянут на расстояние x внутрь конденсатора, равна

W	CU2		Q2
	1			,	(1)
1	2		2C1

где C1 – электроемкость конденсатора.

При частичном вдоль пластин заполнении конденсатора диэлектриком конденсатор можно рассматривать как систему параллельно соединенных конденсаторов с суммарной емкостью

C	0 xS		0 l x S				0S	1 1	x		. (2)
1	dl		dl				d
									l
Заряд конденсатора равен
			Q	0S		U .			(3)
				d

- 64 -

При изменении расстояния x на dx энергия изменится и станет равной

W	C U2		Q2
	2			,	(4)
2	2		2C2

где изменившаяся электроемкость

C			0S	1 1	x dx		. (5)
	2
			d		l

Работа силы F при изменении x на dx равна убыли энергии поля

F dx W1 W2 .

(6)

Подставляя (1) – (5) в (6), получаем силу

F	0SU2		1			.	(7)
	2dl			x 2
			1 1
				l

Задача 4. Определить энергию взаимодействия точечных зарядов, расположенных в вершинах квадрата со стороной a в системе, показанной на рис.

+ q

+ q

+ q

+ q

Рис. 3.4.

www.mitht.ru/e-library

- 65 -

Решение:

Энергия взаимодействия зарядов равна сумме

			4
			W		1	qi i ,	(1)
			qj		2 i 1
		3
	где i			- потенциал поля, созданного всеми
		j i	4 0rj

зарядами, кроме i-го, в точке расположения i-го заряда. Используя формулу (1), находим искомую энергию:

1			2q					q					4
																2		2
W 4		q															q		.	(2)
			4		a								4
2				0				0						0	a
						4			2a

Задача 5. Два небольших металлических шарика радиусами R1 и R2 находятся в вакууме на расстоянии r R1, 2 и имеют некоторый определенный суммарный заряд. При каком отношении q1 / q2 зарядов на шариках электрическая энергия системы будет минимальной?

Какова при этом разность потенциалов между шариками?

Решение:

Электрическая энергия системы равна сумме собственных энергий шариков W1 и W2 и энергии их взаимодействия W12 :

			1						1		~			~
W W W		W		q q						q			q		,
			2						2
1	2	12		1	1	2	2			1		2	2	1

(1)

			q1,2						- 66 -
где									- потенциалы шариков на их
	1,2		4	0	R
						1,2			q1,2
поверхности, ~										- потенциалы полей шариков
					1,2				4 0r

на расстоянии r от центра.

Обозначив суммарный заряд шариков через q, представим заряд q2 = q – q1 и подставим в (1).

Рассмотрим энергию как функцию заряда q1 :

W	1 q2					q q 2		q q q
				1		1		1	1	. (2)
	4					2R2		r
		0		2R1

Энергия будет минимальна при выполнении условия:W / q1 0. С учетом того, что r R1, 2 находим:

q q	R1		, q		q	R2		,	(3)
	R R					R R
1		2		2			2
	1					1

откуда отношение зарядов равно

q1		R1	.	(4)
q2
		R2

Легко убедиться в том, что вторая производная

2W		1		1		0,
q2				R
		R			2
1		1

т.е. энергия, действительно, принимает минимальное значение.

Задача 6. Сферическая оболочка заряжена равномерно с поверхностной плотностью . Воспользовавшись законом

www.mitht.ru/e-library

- 67 -

сохранения энергии, найти модуль электрической силы на единицу поверхности оболочки.

Решение:

Напряженность поля у оболочки равна

E		.	(1)
	0

При увеличении радиуса оболочки на dr электрические силы совершат работу

dA F 4 r2dr,

(2)

где F – электрическая сила, приложенная к единице площади оболочки.

Согласно закону сохранения энергии, работа (2) равна энергии электрического поля, заключенной в слое толщиной dr:

dW 0E2 4 r2dr. (3)

2

Приравнивая dA и dW, получаем искомую силу:

F 2 .

2 0

Задача 7. Конденсатор емкости C1 , заряженный до разности потенциалов U, подключили параллельно к концам системы из двух последовательно соединенных незаряженных конденсаторов, емкости которых C2 и C3 . Какой заряд протечет при этом по соединительным проводам?

Решение:

Начальный заряд первого конденсатора равен

q1 C1U .

(1)

- 68 -

После подключения батареи двух незаряженных конденсаторов заряд первого конденсатора перераспределится между конденсаторами так, чтобы напряжения на первом конденсаторе и батарее из двух последовательно соединенных конденсаторов были одинаковы:

q~	q	2	q ,	(2)
1			1

			q~				q	2
			1						,		(3)
		C1
						Cб
где емкость батареи					C2C3
C	б									,	(4)
					C2		C3

q~1 и q2 - заряды первого конденсатора и батареи после подключения.

Решая совместно уравнения (1)-(4), находим заряд q~1 и

заряд q, протекший по проводам:

~				C1 C2				C3
q q																	,	(5)
						C C					C			C
1	1 C C			2						3					3
	1					1						2
q q q~									U							.		(6)
						1				1			1
1	1
									C2				C3
						C1

Задача 8. Проводящий шар A радиуса R1 = 10 см зарядили до потенциала 1 = 2700 В и отключили от источника тока. После этого шар A соединили проволокой, емкостью которой можно пренебречь, с незаряженным проводящим шаром B радиуса R2 = 5 см. Шары находятся в

www.mitht.ru/e-library

- 69 -

воздухе. Определить: а) начальный заряд шара A; б) заряды и потенциалы шаров после соединения; в) энергию обоих шаров после соединения; г) энергию, выделившуюся при соединении.

Решение:

Емкости шаров A и B:

C1 4 0 R1,C2 4 0 R2 ,	(1)
где = 1.
Начальный заряд шара A равен:
q1 C1 1 4 0 R1 1 .	(2)

После соединения шаров происходит перераспределение заряда на шарах A и B так, чтобы потенциал шаров был одинаков:

q1 q2		q2	,	(3)
C1
		C2

где q2 – заряд шара B после соединения. Подставляя (1) в (3), получим

	q1 q2		R1	,	(4)
	q2		R2

откуда

R

q q 2 . (4.1)

2 1 R1 R2

Потенциал шаров после соединения равен

	q2					q1R2							R1			. (5)
					R R			C				R R
	C	2							2		1
					1		2					1	2
Начальная энергия шара A равна
	W					C 2	2				R 2 .
						1 1										(6)
			1		2				0		1	1

- 70 -

Энергия шаров после соединения

W	q		2	2 R2
	1		0	1 1	.	(7)
	2
			R1 R2

Энергия, выделившаяся при соединении, равна разности энергий (6) и (7):

	2			R1
W W1 W 2	0 R1 1		R	R			. (8)
		1			2
			1

Подставляя числовые данные в равенства (1)-(8),

получаем:q1 = 3 10-8 Кл; q2 = 10-8 Кл; q~1 q1 q2 = 2 10-8 Кл; = 2 10-3 В; W = 3 10-5 Дж; W1 = 1 10-5 Дж.

Задача 9. Найти емкость сферического конденсатора с радиусами обкладок R1 и R2 R1 , который заполнен изотропным диэлектриком с проницаемостью, изменяющейся по закону = a/r, где a – постоянная, r – расстояние от центра конденсатора.

Решение:

Напряженность поля в диэлектрике на расстоянии r от центра конденсатора

E	q		q	.	(1)
	4 0 r2
			4 0ar

Учитывая, что E d /dr, найдем разность потенциалов между обкладками конденсатора, проинтегрировав (1) по r:

	R2	q		R2
	1 2 Edr					. (2)
		4 0a	ln	R1
	R1

Окончательно, для емкости получим

www.mitht.ru/e-library

		- 71 -
C	q		4 0a				.	(3)
					R2
			ln
					R
					1

Задача 10. Найти емкость системы одинаковых конденсаторов между точками A и B.

C3

A

B

C1 C2

Рис. 3.5.

Решение:

Левые и правые обкладки первого и третьего конденсаторов соединены проводниками. Поэтому, первый и третий конденсаторы соединены параллельно между собой. При этом правая обкладка второго конденсатора соединяется проводником с левой обкладкой первого, и левая обкладка второго конденсатора соединяется с правой обкладкой третьего. Следовательно, второй конденсатор также параллельно соединен к первому и третьему.

Емкость системы параллельно соединенных конденсаторов равна сумме емкостей каждого из конденсаторов:

C C1 C2 C3 .

Задача 11. Найти емкость системы из двух одинаковых металлических шариков радиуса a, расстояние между центрами которых b, причем b a. Система находится в однородном диэлектрике с проницаемостью .

- 72 -

Решение:

Шарики находятся на большом расстоянии друг от друга. Следовательно, можно считать, что заряды распределяются по поверхности шариков почти равномерно. Пусть для определенности первый шарик заряжен положительно. Тогда второй шарик будет иметь отрицательный заряд.

Потенциал первого шарика равен

					q						q	.			(1)
				4 0a
	1									4 0b
Второй шарик имеет потенциал
					q						q		.		(2)
	2				4 0a						4 0b
Емкость системы шариков
C					q					2 0 ab
														.	(3)
					2
		1									b a
При b a емкость равна
	C 2 0 a.														(4)

Задача 12. Точечный заряд q = 3,0 мкКл находится в центре шарового слоя из однородного изотропного диэлектрика с проницаемостью = 3,0. Внутренний радиус слоя a = 250 мм, внешний b = 500 мм. Найти электростатическую энергию, заключенную в диэлектрическом слое.

Решение:

Электростатическая энергия равна

www.mitht.ru/e-library

	- 73 -
	b
W dV 4 r2dr , (1)
V	a

где объемная плотность энергии

		0 E2	,		(2)
	2
напряженность поля в диэлектрике
E		q		.	(3)
	4 0 r2

Подставляя (3), (2) в (1) и интегрируя по r, находим

W	q2	1			1
							= 27 мДж.
					b
	8 0 a

Задача 13. Найти энергию, накопленную в цилиндрическом двухслойном конденсаторе на длине l. Диэлектрическая проницаемость равна 1 при r1 r a,

2 при a r r2, 1 при r r1 и r r2 .

Решение:

Будем считать, что длина конденсатора гораздо больше радиусов его обкладок. Тогда понятно, что вектор напряженности поля конденсатора направлен перпендикулярно боковой поверхности цилиндра.

Пусть на внутренней обкладке конденсатора на длине l находится заряд Q. Применяя теорему Гаусса и учитывая, что поток вектора напряженности через основания цилиндра равен нулю, находим для радиальной составляющей напряженности поля выражение:

	Q									- 74 -
								,		r r a
	2 l
							r			1
			0			1
	Q								, a r r2
Er											(1)
	2 l 0 2r
0,								r		r
							2
Энергию получим, вычислив интеграл:
	1
W							EDdV ,				(2)
	2

где элемент объема в цилиндрических координатах dV 2 rdrdl .

Подставив (1) в (2), находим энергию

				1								a				Q					2				1 1
W										dl																											2 rdr
																																		2
				2																					0 1 r
												r1			2 l
									r2								2
		1			dl								Q								1				1								2 rdr
																																						(3)
																													2
		2										2 l									0 2 r
									a1
		Q			2						1						a					1									r2
		4						l						ln r													ln				a
						0							1											2												.
																	1

www.mitht.ru/e-library

- 75 -

Задачи для самостоятельного решения

1.Два конденсатора одинаковой емкости зарядили до напряжений U1 = 100 В и U2 = 200 В соответственно, а затем одноименно заряженные обкладки конденсаторов соединили попарно. Какое установится напряжение между обкладками?

Ответ: U U1 U2 = 150 В.

2

2.Проводящий шар, находящийся в воздухе, наэлектризован так, что поверхностная плотность заряда равна . На расстоянии l от поверхности шара потенциал поля равен . Какова емкость шара?

	2	2			4 l
Ответ:C		0	1	1		.
					0

3.Найти емкость сферического конденсатора с

радиусами обкладок R1 и R2 R1 , который заполнен изотропным диэлектриком с проницаемостью, изменяющейся по закону = a/r2, где a – постоянная, r – расстояние от центра конденсатора.

Ответ:C 4 0a .

R2 R1

4.Два длинных прямых провода с одинаковым

радиусом сечения a расположены в воздухе параллельно друг другу. Расстояние между их осями равно b. Найти взаимную емкость проводов на единицу их длины при условии b a.

- 76 -

Ответ:C 0 .

b ln a

5. Пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью , как показано на рис. Площадь пластин конденсатора S. Определить емкость конденсатора.

l1

d			а)

l

б)

				d1
	l

Рис. 3.6.

www.mitht.ru/e-library

				- 77 -
Ответ: а) C			0S	1 1		l1		,
			d			l
б) C		0 S
	d1	d d1

6.Четыре одинаковых точечных заряда q находятся в вершинах тетраэдра с ребром a. Найти энергию взаимодействия зарядов этой системы

q

q q

q

Рис. 3.7.

Ответ: W 3q2 .

2 0a

- 78 -

ЛИТЕРАТУРА

1.Иродов И.Е. Задачи по общей физике. М.: Наука, 1979. 368 с. с илл.

2.Буховцев Б.В., Кривченков В.Д., Мякишев Г.Я., Сараева И.М. Сборник задач по элементарной физике. М.: Наука, 1974. 416 с. с илл.

3.Стрелков С.П., Сивухин Д.В., Хайкин С.Э., Эльцин И.А., Яковлев И.А. Сборник задач по общему курсу физики. Электричество и магнетизм. М.: Наука, 1977. 272 с. с илл.

ОГЛАВЛЕНИЕ

§1. Электростатическое поле в вакууме……………3

Контрольные вопросы……………………………5

Задачи с решениями…………………………….…6

Задачи для самостоятельного решения………..36

§2. Диэлектрики и проводники в электрическом поле………………………………………………….40

Задачи с решениями………………………………40

Задачи для самостоятельного решения………...56

§3. Электроемкость. Энергия электрического поля..58 Задачи с решениями………………………………59

Задачи для самостоятельного решения………...75

ЛИТЕРАТУРА……………………………………………78

www.mitht.ru/e-library