МК8,9,13

-II-

4) Расчет коэффициента жес'J'ICОС'1'И k, (ЖI:IСТИОСТИ rrpужины).

По определению коэффициент жесткости rrpужины численно равен величине внеDlНей деформирующей СИ.IJЫ, необходимоЯ для ТОГО, чтобы сжать или расТЯЦУТЬ пружину Н8 единицу длины. ПОЭТОЧУ величину коэф­

фициента	k, можно	получить,	если разделить величицу		BHelГ: lеЯ силы
(вес р	груэа) на	вызванное	этоЯ силоА расТlIЖение	t	пру.ины,

J.х

1,

,1

C:====~v-:=====7/--' р ( Н)

с1р

Рис. 4. График зависимости .-;t, от Р

По графику (см. рис.4) коэфf>ициент жесткости можно определить

как котангенс угла наклона:

Задание 2. Опытное определение периода 1r колебаниЯ пружинного

маятника.

1) Подвесьте к ни.не~ концу эакрепленноn на стоЯке пружины ГРУЗЫ-диски общеЯ массоЯ 0,25 кг и при помощи установочных ВИНТО8

установите стоЯку так, чтобы груэы не касались шкалы. Поднимите гру­

ЗЫ на 2-3 см вверх и отцустите; Т.е. система прИВОДИТСЯ в колеба­

тельное движение. При этом необходимо следить за тем, чтобы колеба­

ния были вертикальными, Т.е. без раскачивания пруж.,нного маятника из стороны в стороцу. СЛеАУет таКЖf избегать колебаниЯ с БОЛЪdоА

8I.IПЛИТУДОА.

Ifаблюдая колебанИR пру_ииного маятника, ИЗМ"'РЪ'l'е ~tДОJl:1lмтеJlЬ­ ность 50 (. jЛНblх колебаниЯ CJJeDYццим образОI.l: в HOUelfl' ПРОХОlIЩени~

ГJ::}'эом кра«него вер:него (нижнего) положения щ.'о.,знесмте сJfОЯО "НОА"

И ВКЛUfите сеиУtЩОNер; nrи сп дующем ПГОХОJIIДении того же полоJltеЮ4l,

http://www.mitht.ru/e-library

-12 -

-слово "один" и Т.д. до 50; в этот момент выключите секундомер.

Результат замера Занесите в табл.2. Продолжительность 50 полных ко­

лебаниЯ груза данноЯ массы измерьте трижды, а затем рассчитаЯте

среднюю продолжительность t.,. 5О!:Iполных колебаниЯ. Период 7;" KO.1le-

баниЯ груза данноЯ массы равен

'т' = h .

'011 5()

2) Повторите измерения для грузов с массами 3ОО.г, 350 г,

400 г. 450 г, ьоо Г.

З) Для выяснения влияния массы маятника на период колебания

по данным столбцов для m. и 1;" (та6л.2) построяте график зависи­

мости периоДА 1;" от массы rr\ маятника, откJlвдыаяя значения масс

по оси абсцисс, а значения периода по оси ординar.

4)ВЫчисление периода колебаниЯ npужинного маятника. По фоpt.tYле

Т~ 2л (f.

8WЧислите перио,lllll т."ч колебаниЯ nwжинного маятника для указан­

ннх 8 табл.2 масс гwзов. При ВЫЧислении периода колебаниЯ какоЯ

.ибо массы маятника 8 Э'1'.У фоp.tVлу СJl~еТ		подcrавить cOOТBeтCТBYro­
lIIее значение MaC(Ji и величицv КОЭф!,щиеН'l'а		rc.	аесткости. оnpeде­
ленцу., в	звдании I см. Т8б•• I) • ПОJ&!ченнне значения периодоР. ,.".,,,
ванесите	f табл.2.
На гpa~1t зависимости периода 7;", от IIQCC" маятника нане­
c",re такае ПОJI,}'Ченнне данные эависимости		Т"Ч	от масс.. МЦТ­

ника. ОБJ.ясните расХОJЩение мeq дцvмя кривWNИ.

	--					Р: m S ,В				'х I с.						Ж, 11		t	-АР R
	т,К1'
																			: .-;-, м
	O,QS
	и,~и
	0,15
	0,20
	0,25
	0,30
	0.35
	~9~~0 __..
	0,45		_.		--
	0,50								.
						http://www.mitht.ru/e-library

- Н-

																													Таблица 2
																													-
			Масса				Время					50 колебаниfi, t													ttrJ		"Т... )		'Т',....
				груза						tJ.			t:1.						t э						С		с		С	-
			.п, ,Кх'
	0,25																										--		----
	0,30
	-			-
				0,35
		0,40														I
														--I			-----
																														-
		0,45																					i
																							i
			-0,50
																							;

б. Контрольные ВОЩ:Осы

1)Какое движение называется колебатеiьным ?

2)Условия, необходимые для возникновения свободных колебаний.

3)Какие колебания называются гармонм~ескими? Напишите уравне­

ние гармонических колебанИА.

4)Какое дифференциальное уравнение описывает движение тела

при гармоничес~ колебаниях?

5)Что такое циклическая частота гармонических колебания?

От каких naraмeTpoB она зави::ит?

б) Справедлив ли закон сохранения механическоЯ энергии при гармонических колебаниях?

7)Под ДеАствием каких сил nPОИСХОдll'l' колеОаЮfJl ПрУJIIИННОГО

маятника?

8)Как по~ить фор~лу периода колебаниЯ nPYJIIИННОГО маятНИК8~

Библиографический список

1.Савельев И.В. КУрс o(iцeA фиэичи.-Т. I.-M.: Н~иа.

I~~.- 432 с. (с. !&-ItБ, 191-199.)

2.Сивухин д. В. Общи" fO'рс физики - Т. 1. - ".: НЕО'ка.

1~. - 519 с. (с. ЗD4-208).

http://www.mitht.ru/e-library

- 14 -

Лабо~arорная работа МК-9

Изучение мех&tlИческого ~еэонанса

I. Цель работы

Изучение 8Ынwaдeнныx механических колебаниЯ и лост~оение

рesонаксноЯ КРИIIОА.

2. Теорвrические основы работы

в работе иэучaюrся ВЫt6'''IЦенные колебания матеммического

~aлrника. которые он совершает под деЯствием периодически меняо­ щеЯСЯ по величине внешнеА силы.

.. а т е м а т и \( е с к и м м а я т н и к о N называется не­ боль_ое тело массы h1 , подвешенное на невесомоА и нерастяжимоЯ

нити, такоА длинноЯ, что размерами тела по сравнению с длиноЯ ни­

ти f можно пренебречъ (рис.I).

О

m'

Рис. 1. МатематическиЯ маятник в изолированноЯ системе

,

~АУчи выведенным из положения устойЧивого равновесия (00 на рис. I)

на малыА УГОJl ,(" (,(. ~ 5 О) ,маятник cOBepqaeт около положения

РUНОВ8СИЯ так называемые свободные колебания под деЯствием квази­

уnwго А сиJIЫ

( I)

http://www.mitht.ru/e-library

-15 -

св о б о Д н ы м и • и~и с о б с т в е н ~Ы м и, называются коле­

бания, происход~ие в изолированноЯ системе. предоставленноА CUIO!:l

себе после вывода ее тем или иным способом из положения равновесия.

Силы. величина которых. независимо от их природы. прямо пропорцио­ нuьна величине смещения системы от положения равновесия. '1&3I1B8I)TC/l

к в а з и у пру г и м и. В случае матвматичв8КОГО М8Лтника такоЯ

сило;; яВnЯ8ТСЯ состаМЯЮЩ&ll силы ТlIJКести	1ftI I'/n .,{,	•
Колебания маятника описываются вторым законом Ньютона

		т ~~~		,,- f				(2)
Знак "МИнУс" указывает на то. что сила							/	направлена против по"о­
жительного направления смещения					~	тела от		положвния равновесия.
Т.к. для малых углов		J'in,L::=.L			,то
		1:: М? r/n.L				<::; Inl.t
			х ={.!
Подставим значения		Х	и I	в формулу (2):
			tn It"'~t 1.	:::	- tnl ё~
или, сокращая на ht		,	ПОлУчим
			"'.%	+.i- х ,. О				(3)
			"(1.		t
Поскольку	физические	величины		I	и	!	заведомо положительны.
обозначим	91е· w/		(положительная				величина). TorAIl уравнение
( З) примет	вид
								(4)

Уравнение. (4) явлР.ется диJфeренциllЛЬНЫМ уравнение.. двюкения мате­

матического маятника при отсутствии СИЛ сопротивления при малом угле

отклонения ~ • Решениями этоГО уравнения являются гармонические cWнкции

( 5)

где .% - СМEIЦение T8J1a		лt из	поЛr 1l'eНИЯ равНОllесия:		а	- ...с"-
МllЛьное СМElЦение тела ( емплиrуда колебаниЯ) :					~ t	~ 14	, -
- ~& КОЛебания;	'0 -	начальная фаза. 38'1"1'1111\&110'1':~.КJlоненМII м
скорости .. еJlа в момент врЕМени			t .. о:	ыо -осруrО8М Ч8C'l'O'r8			соб-

СТ8енных колебаний маятних&

http://www.mitht.ru/e-library

ПериодичесУ.ое КОАебание • описываемое функциеЯ синуса или КОСИнУса.

называется г а р м О н и ч е с к м м к О 3 е б а т е л ь н ы м

Д в и • е н м е м (или га~моническим КОJjебанием). CneдOBaTenbHO. свободные коnебания матемаТИЧеского маятника ~дYT гармоническими.

Соотношения (5) дат закон смещения маяТника от полоаения рав­

ИО88СИЯ. т.е.		8еличИнУ смещения Х	Tena или угол откnонения маятни-
ка	.1. 110 ~	8 Jll)боя момент времени	t .

Колебания происходят периодически. т. е. процесс повторяется через пе­

риод собственных колебания Т. Так как функции СИl\Yс и КОСIЩYС имеют

период	ех. то	~ 7'. l r	. Отсюда по~чим фоpt(V~ для пери-
ода Т	колебания мe:rематического маRJ'ника
		,.,. ~ 1.5 -	гх ff	(6)
		М	1-
		О
в реальных условиях на J(олеБЛIЩVIIСЯ сист.,				всегда AenCTsyI)T СИJlbl

СОnPОТИ8.11ения (рис. 2). что npиводит К nocTeneнH08o\V умеНЬ8енИII ампли­

ТУДЫ колебаниЯ а и с течением времени к n03H08o\V npекр.ценИII ко­

зебан..".

l.",.

Рис. 2. llarематичеСКиА Mam'H.8 peaJlЬtIIX УСJJ08ИЯХ

(при Н&lDNИИ си....

СОnPОТИВ.DенИII)

ТаиИ. ICОJlебания H88Ы1UJ'1'CII э а '1' у Х а 11 ЩИ" и. Закон y<Sывa­ ""Я емПD'1')'ды _ОJl8бания еа8ИсИТ 0'1'характера сйJJ соnpотимения. Наи­

бо.ll" nPOC'l'lDlИ распространеННlOl IIмяетСII CJl;yЧаЙ. когда сила соnpо­

ТИ'.енИII nponорционuьна СкороC'l'И . lГ двJlJtения колеБJIЩеАся систе...:

l' =-'llГs-t S

J~. ttt

http://www.mitht.ru/e-library

-и-

где ~ - коэффициент сопротивлеНИR. ввличи~а KOTO~OГO зависит от

свойств среды. формы и размеров КОJlеблющеЙСR системы.

знак ....инУс.. означает. что		fc(Юf>О И скорость	V-	движения иweIOт rrpo-
'1'ивоположные энаки. Уравнение колебаний груза				Лl. • подее_много
н8 длинной нити е	. при	малЫх УГЛ8J( ot..	в данном СлУчае примет

слвдУЮЩИЙ вид:

(7)

Разделив обе части уравнеНИR (7) иа hl и обоэначив

1 s	v.1.	и	l
t	о		iii-:~
ПОлУчим:

(8)

Уrавнение (8) являеТСR дифференциалЬНЫМ Уравнением движеНИR математи· ческого маятника в присутствии сил сопротивлеНИR. Т,в, дифференци­

альным уравнением затухающих КОJlебаниЯ. Решениями эТОГО уравнения явл~тся функции

(9)

где IJр - амплитуда колебаниЯ в начальныЯ момеНТ времени (-о;

.,82 t'hл: - коэфluщивнт затухания. характеризующий 8еJlИЧИн,у убывания

аNIJЛИТУДЫ за одну секундУ; ы' -круговая частота затух8ЮЩМХ lCoJle-

баниЯ. Величина &( определяется иэ соотноmеНИR

(10)

ГД" ~ -КРJo'rовая Ч8стота собственных колеt1аниЯ систе... при оп),т-

ствии сил сопротивления.

ИЗ ФОР"G'лы (9) видно. что при Н8Лиtmи СИJl сОПРОТ"....':.nell, I1fОПОГ­

ЦИОН8JlЬНЫх скорости движения системы. амnпиту"а ::!\\"yx-IIIIX 1tОJl~8-

нчЯ эависит от времени" уБЫI!а8Т n(J ЭI""I1OН"!.ШИIUЪНО~	законУ
а! ~ ар е ~t	f 11 )

http://www.mitht.ru/e-library

- Т8 -

График затухающих колебаний лредставлен на рис.з.

Z

t

Рис. з. График затухающих колебаниЯ

Периодом Т затухающих колебаний условно называют промежуток вре­

мени МеЖДУ последовательными прох~ениЯNИ системы через положение

равновесия или между Д'3умя соседними максимумами (рис.З) одного н ,i.- равления. Он определяется по формуле

7':	zf ~	.!..5- ~
	w	7ы;/ _.11
Как видно из рассмотренного выше,			при достаточно большом промежут­
кв времени t колебаниЯ		системы	амплитуда затухающих колебаний
Уlo'.JНыоаетсл до нуля (	t2t	-о при	t - <00 ), И колебания npекра-

щаются. Следовательно,в реальных условиях свободные колебания сис­

темы с течением времени всегда щ:екращаются, если убывание энергии

системы, затрачиваемоЯ на преодоление сил сопротивления, не воспол­

няется извне тем или иным способом.

Рассмотрим случаЯ t когда на ко.аеБJIllщynся систему действует внеш­

няя сила, периодически меН~Щ&IIся по величине. Такие колебания на­

зываются в ы н у 11 Д е н н ы 11 и,	а	внешняя сила - в ы н у ж Д а"
Ю IЦ е 11. Характер колебаниЯ систе.... в эТОII случае будет уЖе опре­
деляться характером вынуждающей силы. Цусть на			математическиЯ маят­
ник, КОJJеБJIllщиАся с затуханием, в	npоцессе его		ко.nебаниЯ действует
8 горизонтальном направлении сила	F	,измеН~Щ8JIСЯ по гармони­

qeCK08I\Y закону, Н&Щ>имер

F· Fc (01 ЛС

http://www.mitht.ru/e-library

- 19 -

где Fo - амплитуда вынуждающей силы,					12 - ее частота.
тогда у-равнение движения тела			117.	, подвешенного на нити,			при малЫх
углах отклонения ~имет вид
	tt'~	= -f	+ /to"j'. + F
	tn J:ll
	tn ~ "" -Inl! - 1: 1: + ~ (о/лt						(12)
Разделив обе	части павнения		(12)	на	fn	и обозначив
ile -= ы{/,	~ = 2~	J: = FYm			•	ЛОnУЧJ1м:
	"Z,x	tfz			: ;; COs .n t
	~t2	+- l.J it + ы/z					(13)

Уравнение (13) является дифференциальным уравнением вынуждеННЫх ко­

лебаний математического маятника при наличии сил сопротивления • ма­

лом угле ~ • Решением у~авнения (13) является выражение. лрвд­

ставnяющее cy~ собственных затухающих колебаний маятника и коле­

баний под действием вынуждающей силы:

х-= ~e-Jtcor(blt~f) +/lC".s(.Iltff't)					(14)
	Ы = r",' _.1' ,
где Ы -кругрвая частота собственных		затухающих		ICолебаниЯ;
ИО -	собственная частота колебаний.		ао ,	if' -	соответственно
начальные	амплитуда и фвза затухающих	колебаниЯ;		fl	-!фуговая

частота вынуждающей сипы; а - aмnлитуда устанОВИВllИхеll 8blIfYIfДeH­

ных колебаний. ~ - сдвиг фвзы, Т.е. разность фаз lIIeJrДY 8blНYЦ8ID­ щей сиnоЯ и колеБJ1ЮЩИNCII маятником.

Устан08лению вынужденных колебаний npеД88СТ8Ует постепенное

раскачивание системы ВЫН.УЖд8IDщеЯ силой. На 8тоI стадии .назЫ888МОЯ процессом установления (~ис.4),эамет~ роль играет первое слаг~мое

ВЫР8llеНИII (14). Но с течение.. времени,	блаroдаРII .....	II'I'e.е~ •
роль первого cnaraeмoro уменыll88сII и,	если 8pe1lll	ко.tебаниА велико,

эТим сnагаемым можно пренебречь.

http://www.mitht.ru/e-library

- 20 -

-tг - - - - -

t

-- -

Рис. 4. График вынужденных колебаний

Таким образом. установивmиеся вынужденные колебания описываотся

8'l'OPЫМ слАгав.....	выражения	(14)
	.:l' = а	&О] (./и ~ 1/, )
АмплитудУ tl.	вынуценных	колебаний определяют по формуле
		Fo	(15)
	lt .. l7L У(WoZ _122)2 + 'I,!lлJ I

а ее.lИЧМНУ ~I • представляюЩ,Ую собой отставание по фазе вынужден­

ного КОJJебания от вын.yждюJleйй силы. можно определить из 8ыpженияя

(16)

Таким образом. вьщуж,ценные колебания ПI~едставляют соб,.r.t гармонические

КО.lебания с частотоА.раеноЯ частоте 12 ВЫН,)'ЖД8ЮщеЯ СИJJЫ. из фор­

мулы (15) видно. чrо величина амплитуды зависит от соотн~ния меж­

ДУ частотами Собственных ыо и BblН,YJI,Ц8HНЫX	12 колебаний и от
коэффицмента затухания системы. Эта зависимость	приводит к TO~. что

при некотороЙ. определенноЯ для данной колеблющеАся системы. часТОТА

&МnIитуда КОJJебаний достигает максимУМ&. Это явление называется

р е 3	о н а н с о м.		а соответствующая частота колебаниЯ вынуж,ц~-
• А СИJJЫ - Р е		э о н 8 Н С Н О Я		ц а с т о т о Я	( Л r8З.).
	Джя опредеJJении reзонансноА			цасТОТ'" наЯдем максимум функции (15)
М.lи.	Ч'l'О то же	CatofO' ,	"",,нимум ВЫfАЖения. ('тотцего под		KOrH8M в зН8-

мeнaT~JJe этоМ функции.

http://www.mitht.ru/e-library