МК8,9,13

- 21 -

ft [(ы/ -.121.)1. + 'I~Jl.l'lI.]:()

2 (w,l -Л1)(-IЛ} + P.l1fl-=O

Иначе.

~'J. :: f ~2 - ! jJ 2 '	(17)

Подставив ПОllYченное выражение резонансноЯ часТO'I'Ы Л"J'М8С'1'О Л

В формулу (15) • получим для IoIIlКСИN8JIЬНОЯ (резонансноЯ) аIl1JlИ'l'УДЫ

колебаниЯ ФОРМУЛУ:

а	=	F.()	_~2	1
'rJ.		ljMt 1*,1		( 8)

Если СОПt:ОТИВJlение сt:еды отсутствует (~ - о ). '1'0максиМ8J!Ь­

ная амплитуда вынУжденных КОlебаниЯ ПОJlУЧИТСII при +J. -w., '1'.8.

В том сJIYЧ&е. когда частота ВЫНУжд8llщеЯ силы равна частоте	собствен­
ных колебаниЯ маятника ( Л/ ""о = 1). в этом С.1lYчее aam.lитуда 1IЫНY8-
денных колебаниЯ становится бесконечно БО.lьmoА. При Н&.IИЧНИ	~оnpотив­

ления (	) > о	) резонансная аммитуда иRКОГАа не АОС1'иrtte'l' бес­
конечно	БолыIяя	веJlИЧИНЫ. и ее BnOJlHe KOHaq:eTH08 .начен"е no.tY188T-
СII при	частотах	.J?I'J' < "'о . На рис. 5 покаэана аа8J1СJlIЮСТЬ 8lllJJl1I!'1-

ды 8blЦy.IДeнныx колебаниЯ от СООТН088НJlЯ часТОТ.

а	I
	,
	I	~=O.

{Лj'~

Рис. б.Зависимость aмnЛИ'1'УАЫ ~eнныx КОJlебаниl 0'1' часТоtН

ВblНYЖ.Ц8IIщеЯ силы

http://www.mitht.ru/e-library

- 22 -

При .). о ~езона.нс имеет место при Л / wo = 1. и амплитуда беско­

нечно 8еJlИJ(8. При "s > о амплитуда колебаниЯ возрастает нв та. рез­

КО. иweвт вполне опrвделенное значение. rезонанс имеет место при

лlw. < " • с уве.lичением затухания резонансная ампJ(итуда уменыа&е1'СII

( кривая становится более пологоЯ). а положение ее максимуwа все

БО.lве сдвигается 8nево 0'1' единицы.

З. Описание установки

Нвnенив механического резонанса в данноЯ работе изучается на

смонтированноЯ на стене установке. основнаЯ частью кото~оЯ являются

два маятника - вибратор 8 и резонатор Р

(рис.б).

Рис. б. Схема экспериментальноЯ установки

TJllкepA N8JI'I'ник-зи6ратор 8 выпnнвнH из стали и обладает боль­

.... запаса.. энергии. Он представляет собоЯ металлический стержень

с массивным диском ~ внизу. стержень закреплен с помощью подmипник&

на оси качаниЯ O~.

Маятник-резонате. Р выполнен з виде пегкого аарика. висящего на

КlT•• '1'.8ПО. CBoeww устройству он пгибл~ается к математическому маяТ­

Ю!К)'. Нитъ подвеса р!эонатора nrO'j~,,","T чегез отвегстие е оси 0-0 8и6-

http://www.mitht.ru/e-library

- 23 -

ратора и зак~епляется на ползунке П. который wожет пе~емещаться

вдоль ве~тикальной шкалы Ш2. закрепленноЯ на стене. ВоздеЯствие вибратора 8 на резонатор Р осуществляется через вилку)( • жестко

соединеннУЮ со стеркнем вибратора. Через прорезь в вилке К пропу­

щена нить подвеса реэонато~з. Следовательно. дл~на подвеса резонато­

ра е равна расстоянию от щ:орези вилки до центра шаFика l'

эту длину можно изменять. перемещая ползунок П по шкале Ш2. Ползунок

П пе~емещается в новое положение после ослабления находящегося на нем

справа винта А. а затем снова зак~епляется этим винтом на шкале. ОТ­

счет по шкале ~ проводится по горизонтальной проволоке. протянутой

через п~орезь ползунка.

Укрепленная на стене с ПОМОЩЬЮ болтов 1 дУгообразная шкала ШI

С:IУЖИТ для отсчета величины ампЛИТУДЫ колобаний резонаТt""Jа (в условНЫх

делениях шкалы). Шкала ШI установлена междУ вертикальными плоскостя-

ми ~влебаниЯ вибратора и резонатора и параллельна им. На одном из бол­

тов 1 (справа) установлен упор У со специальноЯ канавкоЙ (желобком).

расположенноЯ в плоскости колебаниЯ вибратора. До зтоЯ канавки отво­ ДЛТ маятник-вибратор во всех опытах во избежание перекоса плоскости

его колебаний.

Маятник-вибратор /3 • выведенный из положения равновесия. колеб­ летСя с собственной частотоЯ J? • которая OДHOB~eмeHHO является

частотоЯ вынуждающеЯ силы для связанного С вибратором через вилку Л

резонатора Р • Пе~иод То и собственнУЮ частоту ~ колебаний резо­

натора можно плавно менять путем изменения длины е его подвеса.

перемещая ползунок П по шкале Ш2. При приближении частоты ~ соб­

ственных колебаний резонато~а к частоте n. собственных колебаний вибрато~а по шкале ШI наблюдается возрастание амплитуды колебаний

резонатора.

При отсутствии трения в установке (т.е. при )s = О) резкое воз­ растание ампЛИТУДЫ колебаниЯ резонатора наблодалось бы точно при

значениии lrIq-л. ( Т.е. при n / W o = 1). Но иэ-еа нanичия сопротив­

ления ( р > О) амплитуда КОJJебаниЯ	резонатора возрастает не так рез­
ко, резонансная кривая оказывается	более поаогоЯ (рис.5), а макси-
мум амплитуды наблюдается при wo	> Л	(т.е. при I2/ИJO < -( ).

Из-за трения в подшипнике на оси качаний 0-0 маятника-вибратора

его колебания также будУТ затухающими. Это обстоятельство ПРИ80ДИТ к тому. что величина достигнутоЯ максимальноЯ амплитуды резонатора

с течением времени уменьшается.

http://www.mitht.ru/e-library

- 24 -

4. Приборы и принадлежности

Установка, секундомер.

5. Выполнение работы

1) Отклоните маятник-вибратор В до упора У так, чтобы стержень

маятника вошел в канавку шайбы упо}:а. Or"Устите маятник, 5 раз измерь­ те секундомером продолжительность 20 его полнЫх колебаний, наЦците

среднюю продолжительность ~O полнЫх колебаний и по неА FассчитаАте

среднее значение периода	T~. колсБШIИЙ ви6rатоrа с точностью дО O.OI(
Данные запишите в таблицу 1.
2) Считая, что при }:езонанее без затухания (		"" О)	период
вибратора должен быть равен периодУ Торезонатора		(т. к. Л" ldo ),
рассчитайте по формуле для периода математического маятника
7:	~ гХ '7/§
9·	'1
ориентировочно }:езонансную длину ti маятника резонатора с			точностью
до 1 см.

3) Пользуясь схемой линейных размеров установки, которая находит­ ся на стене рядом, установите перемещением ползунка n по шкале Ш2

наЦценную длину ft резонатора и заК}:епите ползунок в зтом положении.

4) Отклоните тяжелый маятник (вибратор) ОТ положения равновесия до упора и, отпустив его, наблюдайте по шкале Ш1 за величинами от­ клонениЯ (слева и справа от положения равновесия) начинающего раска­ чиваться }:езонатора. Заметьте наибольшие значения левоЯ и правоЯ ам­ плитуд, наl\Ците их среднее значение в условных делениях шкалы ШI ~

данные эмиааите 8 таб.JJ.2.

Следует отметить, что значения левой и правоЯ амплитуды могут

быть разными, если нуль шкалы ШI не точно соответствует положению раа­

новесия реэонarора.

5) УмеНЫDИВ ДЛЮ\У резонатора на 1..2 см перемещением ползунка n вниз по lII1Cале ПIl, снова определите наибольшее значение амплигуды ко­

лебаниЯ реэонarора (см.п.4) и эмнпите ПОJ\Yченные дан....е в та6л.2.

б) ПРОДОJlIJВ.nте перEtllщюь ПОJlЭУНОК в том же направлении по шкале 12 " через Kuдыe 2 см опреде.nяnте наибольшее значение амплитуды 1<0- JlебаниЯ резонатора (см. п.4), записырэ" Р"1J1ИМН В таб~.

На 'учасТJte, где 8NJ1Jlifтуда колебаниЯ резонатора сущрстnенно умень-

8'fCII,увеличьте перемещение ПОJlзунка МеЖДУ двумя rIoслf3дова.тельныии

Jl8118р8НИIDIМ дО 5 см.

http://www.mitht.ru/e-library

-2S -

7)Снова установите длину резонатора f, и 8ыполните иэмерения

амплИТУД колебаниЯ резонатора, леремещая ползунок П 8ВОРХ по .кале

с интервалом 2-5 см (см. л.б) для лол)'чения симметричноЯ КРИ80А. 8)С точностью до 0,01 с найдите по ФОРt.IYле

7:.~Ji 71j

11.= '1

значения периодов колебаний резонатора для соответствующих Д.IIИН J:'

Изанесите в та6л.2.

9)Рассчитайте величины отношениЯ 7;: /7'f,jJ. с точностью до 0,001.

Сл~ет ломнить, что ~.- зто определенныЯ опытным цутем париод

колебаний вибратора, значение которого ~aнo взять из табл.!.

УЧИI'ывая, Что

То.. Л

T~, ,= "'о;

З8l1ИОИl'е раССЧИl'знные данные в табл. 2.

10) Постройте в !\ужном маcorrабе на МИ.IJIИмerровоЯ бумarе 1'880-

н&НснуЮ кривую

ОТКJl8ДНвая по оси абсцисс отношения

J2 /ld'oi

, а по оси оминат 8eJ1If-

чины соответствующих максимальных

амплитуд

а;

8 условиwx деJlениях

шкanbl ШI. Рекомендуемый масштаб:

Л/.,.•• о ,001

соответствует 1 ...

по оси абсцисс;

IJ~', равная одно86'

YC.ll08H086'деJletlИD lIII(алы, соответ-

ствует 1 см по оси ОРАинмо. Значения по оси абсцисс OTKJl8ДblBaR're

не от n/~= О, а то.ко 8 npeAeJl&x

ОПЫТНЫХ данных, Т.е. OT(o/U-J";,,

11.0 (Л4.)_

ТаБJlИца 1.

J опыта

ПРОДОDитеJlЬНОСТЬ

t

Среднее энаЧ8JD18 пеРИОД'

2ОпOJlНЫX КОJlебаниR

7'41*. t "4о

1

-

-

2

-

3

-

4

-

5

ср.

http://www.mitht.ru/e-library

- 26 -

					Таблица 2.
"	опыта Положение	Длина	Максималь- пеgиод 1<0-		Лlцr",
	поJlЗУнка	реЗОН8-	ная ампли- ле ани!!
	на ~кале	TOf8	туда резорезонатора
	IU	f; СМ)	натора а,:	71.. (t)

1

2

3

4

5

б

7

8

9

...10

б. Контрольные еопросы

1) Напишите дифlJeренциальное уравнение гармонических колебаний и

его решение.

2)Нanишите дифференциальное уравнение затухающих колебаниЯ и его

решение

3)Напишите дифференциальное уравнение вынужценных колебаниЯ

Иего решение.

4)Какими параметрами системы определяются амплитуда и частота

вынужденнЫх колебаниЯ?

5) В чем заключается явление механического резона.·~а и при каком

условии его можно наблюдать?

б) ПочемУ уменьшается со временем величина максимальноЯ амплитудЫ резонатора (при заданноЯ длине маятника)?

7) Какими параметрами системы определяется продолжительность ус­

тановлениЯ вынужденных колебаниЯ? Могут ли ВынУжденные колебания

так и не установиться?

.

е) Можно ли по опытноЯ резонансноЯ RРИВОЯ качественно определить.

велико ли затухание в колеблющеЯся системе?

БИблиографичеСRИЯ список

1. Савельев И.В."к"t'С общеЯ ФИэики".-Т.I.- М.: Наука. 1987 .-432с••

(с. 181-197. c.204-2I5).

2. Сивухин Д.В. "Общий КУ{'С фИ:-jl\... ".- Т.1.- М.: Наука, 19?9. - 519 с.,

( с. ::'04-209).

http://www.mitht.ru/e-library

- 27 -

Лабораторная работа MK-lЗ

Определение МОдУля сдвига с помощью крутильного маятника

1. Цель rаботы

Экспериментальное опrеn,еление I<,ОдУЛJl сдвига материма ПРО80.l0-

ки с помощью деформации кгучения

2. Теоретические ОСНОВЫ работы

д е Фор М а Ц и е й называется изменение формы твердого тела под действием внешних сил.

В случае упрУГих деформаций, когда тело 80ССТ8На8л~вает пеРВО­ начальную ФОРмУ после прекращения действия дефорыирую~й СИЛЫ, вели­

чина деформации > ..1 Х в соответств"и с законом Гука, УСТ8Новлt'Н­

ным в 1660 ГОдУ, прямо пропорциональна деформирующей силе ~ •

4k= - Kf, (1)

где К - постоянная величина для данноЯ деформации данного твердого

тела.

Различают несколько видов npостейOl11Х дефорt.taЦИЙ: сжатие, ресТJI­ жение, сдвиг, КFучение, изгиб. Вид деформации зависит от xapalC'1'epa

действия деформирую~й силы.

РаССМОТР1М деформвцию сдвига, возникающую под действием деформи­

рующеll силы t't" касательно!! • по~рхнос'l'И АВ деформируемого тела, сечение АВСД которого преДСТ8влено на рис.l •

			.д•
			I
			I
		I	h
		I
		/	,

В В,

I

I

I

/

ff I

~

'1

Рис. 1 Деформация сдвига

http://www.mitht.ru/e-library

- 28 -

Эта сила приводит к паралnеnьном,у смещению споев тела относи­

тельно друг друга в нап~авлении действия силы (сечение А,В,С Д на рис. 1).

Величина ВВ, определяет абсолютныЙ сдвиг слоя АВ относительно

слоя СД. Величина о~еделяемая отношением абсолютного сдвига ВВ, к

расстоянию h междУ слоями АВ и СД, называется о т н о с и т е л Ь­

н ы N С Д В И Г О м.		~ ~_ tl3lt}
	BJs t			(2)
где tt>	r;c -		h - '1J '1('•
	- угол сдвига.
При малых	значениях \.у'		'i1В
			т== у	(3)

т.е. угол сдвига характеризует относительный сдвиг и, если деФоr­

мация п~оисходит в п~еделах ущ:угости, в соот ветствии с законом

Гука можно записать	~
tV== n	St'	(4)

где VI - ПОСТОЯНН81! величина (коэффициент сдвига), зависящая только

от	материала дефоРloOfруемого тела; S - пnощарь			поверхности,
к	котороЯ приложена дефоРМИРУЮЩ81! сила сипа		1Г~
	Введем понятие Д е	фор м и р у ю Щ е	г о	у с и л и я
	~;::	~tё'		(5)

имодуля. с Д в и г а (величины обратноЯ коэффициенту

сдвига)	(
		(6)
Подставив (5) и (6)	в Форм,улу (4) получим	запись закона Гука
в виде	,
	tV= 7г Rc-	(7)
Рассмотрим теперь д е Ф о r м а Ц и ю		к ру ч е н и я( рис.2),

которую моино свести к деформации сдвига. Верхний конец стержня, яв­

./Iяющегося цилинДром радиуса R. и дnиной ~ зак~еплен неподвижно.

НижниЯ конец стеpsня под действием момента силы М, закrучивающего

стеркень, повернется на некотогыА угол	ч7	• На этот же угол повер-
нется отрезок ОА и ~ :\мет пол01ltеfUlе ОА I	•	По &Налогии с деформаци­

еА сдвига деформация ~учения определяется величиноЙ угла зак~учива-

ния единицы ДJlИНЫ стержня. т.е. от ')шением	<р /	•
.	/6

http://www.mitht.ru/e-library

- 29 -

	ПоскольКУ деформация pacCN&TpIBaeTCJI в предеА&Х упругает,И, ТО
использУЯ закон г~a,			имеем
			-1- ::: с М		(8)
где С	- постоянная для данного сте~НJI.
	Смещение нижнего торца сте~ня относительно закрепленного
верхнего можно		рассмотреть с позиции деформации сдвига.
Угол ~		определяет		сдвиг элемента поверхности	Ols. включаю-
щего	в себя точку А		при	повороте на УГОJl lP при деФОrмации кручеНИJl

ИспольэУJl фор~лу (б) ,получаем (см.рис.2)

	t,)_l.!1.:;		l{J~	•
где ~	Т-	k	k	точки А
	- расстояние	от оси	стеrжня ДО

ДлЯ деформации сдвига имеем

~:: ; Р'(-

Рис.2. Деформация кручения t{Jt

откуда	p~ =N\t' = N Т
	(9)
Момент СИJlЫ	dМS' приложенныЯ к элементу поверхности 01.$. равен
	.(
	(10)

http://www.mitht.ru/e-library

- 30 -

Введя полярные коо~динаты ~ и OL (см.~ис.3)

()	р.>	~
			R
	(Pt"'	fl,
Рис. 3. К rасчету	момента силы	01 M, пrиложенного к
элементу	пове-рхности .cI.s		s
рассчитаем элемент пове~хности АА,В,В ., Js
cls ::: d't· Z • /).
и, подставив значение	0/s в Фоrмулу (10), получим:

си1s= f?c.			,Jd?·c!,J, = !fP- z3J;J,l. .
Просуммиrовав все моменты сил					oIr1s ,		пг~нные к элементам
КОJlЬца ра,циуса	'-,найдем момент					силы	01 r1 , деЙствующий	на
все кольцо I		jr.ti:f		~	3 I	I = 21;Iv'f Z301f-
01 Н ~		'J.ro f.,			с{l	tТp(.	/.,	( 1I)
Чтобы определить момент. действующий на все нижнее основание
проинтегрируем уравнение (11)					по ~
(~ ~	Rr.N<;		fRzзolе=					(12)
		l		<>
Сравнивая выведенное значение момента силы с фогмулой (8),
		2			I			(13)
	~#"-'-y
		«/'1			R

Анализируя формулу (12), видим, что для закгучивания сте~~я на

угол ЧJ	"&,пО приложить момент,	щ:ямо	пгопорциональн",й R
и обратно	пrопорциональныЯ длине	~	сте~ня.

http://www.mitht.ru/e-library