1.8 Степень статической неопределимости. Методика ее определения.

Статически неопределимые системы характеризуются степенью статической неопределимости, которая равна числу «лишних» связей и может быть вычислена как разность между числом неизвестных сил и чис лом независимых уравнений равновесия. По числу единиц этой разности системы бывают 1,2,3….n раз статически неопределимыми.

Для расчетов составляется силовая схема заданной системы, на которой указываются все известные и неизвестные силовые факторы.

При составлении силовой схемы в случае определения внутренних силовых факторов применяется метод сечений, согласно которому каждое звено системы разделяется на две части в произвольном сечении, затем отбрасываются части, примыкающие к опорным элементам, а их действие на оставшиеся части заменяется продольными силами. После этого на схеме показываются все заданные внешние силы и реакции опор.

Затем по этой схеме устанавливается возможное число независимых уравнений равновесия. Степень статической неопределимости подсчитывается, как разность между числом неизвестных сил и числом независимых уравнений равновесия.

2 Решения задач по методу сечений

2.1 Решение задачи №1. Растяжение-сжатие. Статически определимая система.

Дано:

Р₁=-150кн;

Р₃=130кн;

Р₅=60кн;

Р₆=80кн;

а=0,5м

F₁=16см²

F₂=24 см²

F₃=22 см²

Е=2*10⁵МПа;

[]=160МПа;

Решение:

Находим значение продольных сил на участках элементов конструкции.

N₁=-p₁=-150кн

N₂=-р₁+р₃=-150+130=-20кн

N₃= -р₁+р₃+р₅=-20+60=40кн

N₄= -р₁+р₃+р₅+р₆=40+80=120кн

Находим нормальные напряжения. Строим эпюру нормальных напряжений.

_N₁/F₁=-150/16=-9,375кн/см²

₂=N₂/F₂=-20/24=-0,833кн/см²

₃=N₃/F₃=40/22=1,818кн/см²

₄=N₄/F₃=120/22=5,454кн/см²

Выполняем проверку условия прочности:

-9,37516 – выполнено.

Находим полное удлинение стержня. Строим эпюру продольного перемещения.

Расчет предельной деформации начинаем выполнять от заделки стержня АА, которое остается неподвижным.

Δl_A-A=0см

Δl_В-В= Δl_A-A+(N₄*a)/(E*F)₃=0+(120*0,5)/(2*10⁵*22)=0,0013см

Δl_C-C= Δl_В-В+(N₃*a)/(E*F)₃=0,0013+(40*0,5)/( 2*10⁵*22)=0,0018см

Δl_D-D= Δl_C-C+(N₂*2a)/(E*F)₂=0,0018+(-20*0,5)/( 2*10⁵*24)=0,0014см

Δl_E-E= Δl_D-D+(N₁*2a)/(E*F)₁=0,0014+(-150*0,5)/( 2*10⁵*16)=-0,00328см

Вывод: Свободный край стержня сместился на -0,00328см.

2.2 Решение задачи №2. Растяжение-сжатие. Статически неопределимая система.

Дано:

Р₁=100кн;

Р₂=150кн;

Р₅=60кн;

Р₆=80кн;

а=1м

F₁=10см²

F₂=15 см²

F₃=20 см²

Е=2*10⁴МПа;

[]=160МПа;

Решение:

∑z=z_B-p₁+p₃+p₅+p₆₊z_A=0

z_A+z_B=p₁-p₃-p₅-p₆ (1)

В данном случае присутствуют 2 неизвестные величины, для их определения недостает одного уравнения. Система является один раз статически неопределимой. Для определения неизвестных, необходимо дополнительно составить уравнение совместности деформаций. Для этого выбираем основную систему. Основной - называется статически определимая система, которая получается из заданной путем отбрасывания лишних связей. Для этого отбросим связь В. Для того, чтобы основная система деформировалась точно так же, как заданная необходимо потребовать, чтобы сечение ВВ оставалось на месте, т.е. Δ_В-В=0 (2). Это и есть необходимое уравнение совместимость деформации. В общем случае:

Δ_В-В=0 (2)

Δ_В-В= Δ_В-В(z_B)+ Δ_В-В(p₁)+ Δ_В-В(p₃)+ Δ_В-В(p₅)+ Δ_В-В(p₆)=0

Δ_В-В(p₆)=-p₆*a/E*F₃

Δ_В-В(p₅)=(p₅*2a/E*F₃)

Δ_В-В(p₃)=(p₃*2a/E*F₂)+( 2a/E*F₃)

Δ_В-В(p₁)= (p₁*a/E*F₁)+( p₁*2a/E*F₂)+(p₁*2a/E*F₃)

Δ_В-В(z_B)=(z_B*2a/E*F₁)+ (z_B*2a/E*F₂)+ (z_B*2a/E*F₃)

Δ_В-В=(p₆*a/E*F₃)+ (p₅*2a/E*F₃)+(p₃*2a/E*F₂)+ (p₃*2a/E*F₃)+( p₁*a/E*F₁)+(p₁*2a/E*F₂)+( p₁*2a/E*F₃)+ (z_B*2a/E*F₁)+ (z_B*2a/E*F₂)+ (z_B*2a/E*F₃)

z_B((2a/E*F₁)+ (2a/E*F₂)+ (2a/E*F₃))= (p₁*a/E*F₁)- (p₃*2a/E*F₂)-(p₁*2a/E*F₃)- (p₃*2a/E*F₂)-( p₃*2a/E*F₃)+ (p₅*2a/E*F₃)+(p₆*a/E*F₃)

z_B0,0007481=0,009429

z_B=12,6 кн (из этого следует, что направление выбрано верно)

z_А=р₁-р₃-р₅-р₆=100-150-60-80=-126,428 (из этого следует, что направление

выбрано не верно)

Находим продольные силы.

N₁= z_B=12,6 кн

N₂= z_B- р₁=12,6-150=-137,4 кн

N₃= z_B- р₁+р₃=-137,4+130=-7,4 кн

N₄= z_B- р₁+р₃+ р₅=-7,4+60=52,6 кн

N₅= z_B- р₂+р₃+ р₄-+р₆=52,6+80=132,6 кн

Находим нормальные напряжения.

₁=N₁/F₁=12,6/16=0,78кн/см²

₂=N₂/F₁=-137,4/16=-8,58кн/см²

₃=N₃/F₂=-7,4/24=-0,3кн/см²

₄=N₄/F₃=52,6/22=2,39кн/см²

₅=N₄/F₃=132,6/22=6,02кн/см²

Проверка условия прочности:

_max≤[]

_max=6,02<16=>условие выполняется

Для проверки правильности решения задачи определим перемещение стержня.

Δ_A-A=0см

Δ_C-C= Δ_А-А+(N₅*a) /(E*F)₃=0+(132,6*50)/(2*10⁴*20)=0,01507 см

Δ_D-D= Δ_C-C+(N₄*a)/(E*F)₃=0,01507 +(52,6*50)/( 2*10⁴*20)=0,02105 см

Δ_E-E= Δ_D-D+(N₃*2a)/(E*F)₂=0,02105 +(-7,4*50)/( 2*10⁴*15)=0,01951 см

Δ_F-F= Δ_E-E+(N₂*a)/(E*F)₁=0,01951 +(-137,4*50)/( 2*10⁵*15)=-0,00196 см

Δ_G-G= Δ_F-F+(N₁*a)/(E*F)₁=-0,00196+(12,6*50)/( 2*10⁵*15)=0,00001 см

Δ=0,00001/-0,00196*100=0,5%

Так как 0,000015, задача решена верно.

2.3 Решение задачи №3. Геометрические характеристики поперечных плоских сечений.

Дано:

k₁=6

k₂=8

b₂=b/5

b₃=b/6

b₄=b/8

h₂=h/8

h₃=h/4

h₄=h/10

h₅=h/5

Решение:

Определим положение главных центральных осей.

1 пункт. Любая ось симметрии является главной центральной осью ось У – главная центральная ось.

2 пункт. Определим положение центра тяжести.

y_c1=0,8a

y_c2=2a

y_c3=5,1a

y_c4=8,9a

y_c5=10,4a

y_c= a

3 пункт. Определим осевые моменты инерции.

b₁= y_c1- y_c=0,8a-5,011a=-4,211a

b₂= y_c2- y_c=2a-5,011a=-3,011a

b₃= y_c3- y_c=5,1a-5,011a=0,089a

b₄= y_c4- y_c=8,9a-5,011a=3,889a

b₅= y_c5- y_c=10,4a-5,011a=5,389a

Y_x= Y_x⁽¹⁾+ Y_x⁽²⁾+ Y_x⁽³⁾=[(6a*(1,6a)³/12)+(-4,211a)²*9,6a²]+[(4,5a*(0,8a)³/12)+(-3,011a)²*3,6a²]+[(1,6a*5,4a³/12)+0,089а²*8,64а²]+[(4a*2a³/12)+3,889a²*8a²]+[(3,6a*a³/12)+53,89a²*3,6a²]=3117,9951a⁴

Момент инерции относительно оси у.

Y_y=[1,6a*6a³/12]+[0,8a*4,5a³/12]+[5,4*1,6a³/12]+[2a*4a³/12]+[a*3,6a³/12]=51,272a⁴

4 пункт. Определяем моменты сопротивления поперечного сечения.

W_x= (6*8²)/6=64

W_y=(1,6a*6a²/6)+( 0,8a*4,5a²/6)+( 5,4*1,6a²/6)+( 2a*4a²/6)+( a*3,6a²/6)=22,097a³

2.4 Решение задачи №4. Кручение прямых стержней.

Дано:

m₁=-4 кн*м

m₃=5 кн*м

m₇=2 кн*м

m₈=-6 кн*м

d₁=90 мм

d₂=70 мм

d₃=80 мм

d₄=90 мм

a=320 мм

Решение:

Ступенчатый стальной брус круглого поперечного сечения жестко заделан одним концом и нагружен.

1. Эпюру крутящих моментов строим начиная от свободного края.

М_кр⁽¹⁾=m₁=-4 кн*м

М_кр⁽²⁾=m₁+m₃=-4+5=1 кн*м

М_кр⁽³⁾=m₁+m₃+m₇=1+2=3 кн*м

М_кр⁽⁴⁾=m₁+m₃-m₇-m₈=3-6=-3 кн*м

2)Для нахождения опасного сечения строим эпюру максимальных касательных напряжений.

τmax⁽¹⁾=Мкр⁽¹⁾/(π*d₁³/16)=-4*10³*10³*16/π*90³=-27,959 Н/мм²

τmax⁽²⁾=Мкр⁽²⁾/(π*d₂³/16)=1*10³*10³*16/π*70³=14,85 Н/мм²

τmax⁽³⁾=Мкр⁽²⁾/(π*d₃³/16)=1*10³*10³*16/π*80³=9,952 Н/мм²

τmax⁽⁴⁾=Мкр⁽³⁾/(π*d₄⁴/16)=3*10³*10³*16/π*90³=20,969 Н/мм²

τmax⁽⁵⁾=Мкр⁽⁴⁾/(π*d₄³/16)=-3*10³*10³*16/π*90³=-20,969 Н/мм²

max τmax=20,969<60

2. Эпюру углов поворота строим начиная от края с заделкой. В пределах каждого из участков эпюра линейна только для граничных сечений участков

φ_A=0

φ_B=φ_A+(Мкр⁽⁴⁾*а)/G*(π*d₄⁴/32)=0+(-3*10⁶*320)/0,8*10⁵*(π*90⁴/32)=

-1,86*10^-3 радиан

φ_С=φ_В+(Мкр⁽³⁾*а)/G*(π*d₄⁴/32)=-1,86+(3*10⁶*320)/0,8*10⁵*(π*90⁴/32)

=0,003*10^-3 радиан

φ_D=φ_C+(Мкр⁽²⁾*2а)/G*(π*d₃⁴/32)=3,72+(1*10⁶*640)/0,8*10⁵*(π*80⁴/32)

=1,993*10^-3 радиан

φ_E=φ_D+(Мкр⁽²⁾*2а)/G*(π*d₂⁴/32)=5,71+(1*10⁶*640)/0,8*10⁵*(π*70⁴/32)

=2,332*10^-3 радиан

Φ_F=φ_E+(Мкр⁽¹⁾*2а)/G*(π*d₁⁴/32)=9,105+(-4*10⁶*640)/0,8*10⁵*(π*90⁴/32)

=-2,638*10^-3 радиан

2.5 Решение задачи №5 .Изгиб прямых стержней.

Дано:

р₁=25 кн;

р₂=-30 кн

g₁=10 кн/м;

g₂=15 кн/м

m=14 кн*м;

l=1,2 м

[σ]=160 МПа

[τ]=90 МПа

Е=2*10⁵ МПа

Решение:

Определяем опорные реакции:

∑_momA=y_B*6l-p₂*5l-(q₁*l)*4,5l+m+(q₁*l)*1,5l-p₁*l=0

y_B=(p₂*5l+(q₂*l)*4,5l-m-(q₁*l)*1,5l+p₁*l)/6l=(30*5-15*1,2*4,5*1,2-14-15*1,2*1,5*1,2+25*1,2)/7,2=37,72

Знак «+» означает что направление выбрано верно

∑_momВ=-y_A*6l+p₁*5l-(q₁*l)*4,5l+m+(q₂*l)*1,5l+p₂*l=0

y_A=(p₁*5l+(q₁*l)*4,5l+m+(q₂*l)*1,5l+p₂*l)/6l=(25*5-10*1,2*4,5*1,2+14+15*1,2*1,5*1,2+30*1,2)/7,2=23,28

Знак «+» означает что направление выбрано верно

Рассмотрим 1 участок:

0≤z₁≤ l

Q_y=y_A=23,28 кн

M_x=y_A*z₁

z₁=0=>M_x=0

z₁=l=>M_x=y_A*l=23,28*1,2=27,93кн*м

Рассмотрим 2 участок:

0≤z₂≤ l

Q_y=y_A-p₁+q₁*z₂

z₂=0=>Q_y=-y_A-p₁=23,28-25=-1,72 кн

z₂=l=>Q_y=y_A-p₁+q₁*l=23,28-25+10*1,2=10,28кн

M_x=y_A(l+z₂)-p₁*z₂+q₁*z₂*(z₂/2)

z₂=0=>M_x=y_A*l=27,93 кн*м

z₂=l=>M_x=y_A*2l-p₁*l+q₁*l*0,5l=23,28*2*1,2+10*1,2*0,5*1,2=55,8-30+7,2=33 кн*м

Считаем экстремум для второго участка:

Q_y= y_A-p₁₊ q₁*z₂ =0

23,28-25+10* z₂ =0

-1,72+10* z₂ =0

10 z₂ =1,72

z₂ =0,172

z₂ =0,172=> M_x=y_A*l(+z₂)-p₁*z₂+q₁*z₂*(z₂/2)=23,28*(1,2+0,172)-25(0,172+10*0,172*0,172/2)=31,94-4,3+0,15=27,655

Рассмотрим 3 участок:

0≤z₃≤ l

Q_y=y_A-p₁+q₁*l=23,28-25+10*1,2=10,28 кн

M_x=y_A*(2l+z₃)-p₁(l+z₃)+(q₁*l)(1/2 l+z₃)

z₃=0=>M_x=y_A*2l-p₁*l+q₁l*0,5 l=23,28*2,4-25*1,2+12*0,6=33 кн*м

z₃=l=>M_x=y_A*3l-p₁*2l+q₁l*1,5 l=23,28*3,6-25*2,4+12*1,8=45,4кн*м

Рассмотрим 4 участок:

0≤z₄≤ l

Q_y=y_A-p₁+q₁*l=23,28-25+10*1,2=10,28 кн*м

M_x=y_A*(3l+z₄)-p₁(2l+z₄)-(q₁*l)(1,5 l+z₄)-m

z₄=0=> M_x=y_A*3l-p₁*2l-q₁*l*1,5l-m=23,28*3,6-25*2,4-12*1,8-14=83,8-60-21,6-14=31,4 кн*м

z₄=l=> M_x= y_A*4l-p₁*3l+q₁l*2,5l-m=23,28*4,8-25*3,6+12*3-14=111,7-90+36-14=43,7 кн*м

Рассмотрим 5 участок:

0≤z₅≤ l

Q_y=y_A-p₁+q_1* 1-q₂*z₅

z₅=0=>Q_y=y_A-p₁+q_1* 1=23.28-25+10*1,2=10,28 кн

z₅=l=>Q_y=y_A-p₁+q₁-q₂*l=23,28-25+10*1,2-18=-7,72 кн

M_x=y_A*(4l+z₅)-p₁(3l+z₅)+(q₁*l) (2,5 l+z₅)- m-q₂*z₅*(z₅/2)

z₅=0=> M_x=y_A*4l-p₁*3l+q₁*l*2,5l -m=23,28*4,8-25*3,6+12*3-14=43,7 кн*м

z₅=l=> M_x=y_A*5l-p₁*4l+q₁*l*3,5l –m-q₂*l(l/2)=23,28*6-25*4,8+50,4-14-18*0,6=38,2 кн*м

Считаем экстремум для 5 участка:

Q_y=y_A-p₁+q_1* 1-q₂*z₅ =0

23,28-25+12-15* z₅ =0

10,28-15* z₅ =0

15*z₅ =-10,28

z₅ =10,28/15

z₅ =0,6853

M_x=y_A*(4l+z₅)-p₁(3l+z₅)+(q₁*l)(2,5 l+z₅)- m-q₂*z₅*(z₅/2)= y_A *(4+0,6853)-25*(3+0,6853)+10-14-15*0,6853*(0,6853/2)=109,0737-92,1325+6,853-14-10,2795*0,3426=6,2725

Рассмотрим 6 участок:

0≤z₆≤ l

Q_y=y_A-p₁+q₁-q₂-p₂=23,28-25+10-15=-37,72 кн

M_x=y_A*(5l+z₆)-p₁(4l+z₆)+(q₁*l) (3,5 l+ z₆)- m-(q₂*l)*(1/2 l+z₆)-p₂*z₆

z₆=0=> M_x=y_A*5l-p₁*4l+q₁*l*3,5l –m-q₂*l *1/2 l -p₂=23,28*5*1,2-25*4*1,2+10*1,2*3,5*1,2-14-10*1,2*0,6*1,2-30=-96,47 кн*м

z₆=l=> M_x=y_A*6l-p₁*5l+q₁*l*4,5l –m- q₂*l *1,5 l-p_2* 1=23,28*6*1,2-25*5*1.2+10*1,2*4,5*1,2-14-15*1,2*1,5*1,2-30*1,2=167,62-150+64,8-4-32,4-36=0 кн*м