МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ
Перечислим некоторые наиболее употребительные методы решения задач нелинейной оптимизации (нелинейного программирования):
1. Оптимизация нелинейной функции с
ограничениями на неотрицательность значений переменных (наиболее широко используемыми моделями данного класса являются модели квадратичного программирования, в которых целевая функция является квадратичной функцией переменных ).
2. Модели выпуклого программирования; в моделях данного класса целевая функция является вогнутой (или выпуклой), а функцииограничения являются выпуклыми функциями. При данных условиях локальный максимум (или минимум) функции является также глобальным. При решении таких задач используется метод множителей Лагранжа, а также теорема КунаТаккера.
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ
3. Сепарабельное программирование. В
задачах данного класса целевая функция и функцииограничения могут быть представлены в виде сумм отдельных компонент. Данные задачи могут быть сведены к задачам линейного программирования.
4. Дробнонелинейное программирование. В этих задачах производится максимизация (минимизация) целевой функции вида . Если функции линейны (задача дробнолинейного программирования), то задача сводится к линейной.
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ
5. Невыпуклое программирование. Задачи данного типа принадлежат к наименее изученным и наиболее сложным задачам нелинейной оптимизации. В данном случае целевая функция и (или) функции ограничения не выпуклы. Надежных методов решения таких задач в настоящее время не существует. Задача нелинейной оптимизации в общем случае состоит в отыскании такого вектора неизвестных
ЗАДАЧА О СМЕШИВАНИИ
Для получения конечного продукта при перегонке нефти и приготовлении угольных смесей часто возникает необходимость смешивания нескольких видов сырья на промежуточных стадиях процесса. Это бывает обычно обусловлено ограниченностью емкостей для хранения компонентов, а также необходимостью совместной транспортировки исходных продуктов. На рисунке представлена упрощенная схема процесса смешивания двух фракций.
ЗАДАЧА О СМЕШИВАНИИ
В этой системе сначала смешивается два потока
сырья: V1 c содержанием серы 3 % и V2 с содержанием серы 1 %. Полученная смесь смешивается в двух различных пропорциях с третьим потоком сырья F, имеющим 2 % серы; при этом получается 2 вида конечной смеси.
Первая смесь должна производиться в количестве не более 100 баррелей в час, причем содержание серы не должно превосходить 2,5 %; для второй смеси аналогичные показатели равны 200 баррелям в час и 1,5 %. Стоимость сырья для потоков 1, 2, 3 – равна 6, 16 и 10 долл. за 1 баррель соответственно. Продажная цена смесей составляет 9 и 10 долл. за 1 баррель соответственно. Требуется определить размеры потоков, максимизирующие доход.
ЗАДАЧА О СМЕШИВАНИИ
Пусть Pi – выход смеси iго вида (в баррелях в час);
∙ Fi – величина потока сырья третьего вида, используемого в смеси iго вида;
∙ Vi – величина потока промежуточной смеси, используемой в iой смеси;
∙ – содержание серы в промежуточной смеси.
ЗАДАЧА О СМЕШИВАНИИ
Условие баланса для потоков:
Условие баланса по содержанию серы:
Кроме того, имеются ограничения на выход смеси:
ЗАДАЧА О СМЕШИВАНИИ
Содержание серы в промежуточной смеси определяется содержанием серы в ее компонентах, поэтому:
Целевая функция в данном случае линейная:
Задача оптимизации имеет вид:
максимизировать 
при ограничениях:...
ЗАДАЧА О СМЕШИВАНИИ
ограничениях
ЗАДАЧА О СМЕШИВАНИИ
Единственными нелинейностями задачи являются члены вида 
; ;в остальном она линейна.
Поэтому самым простым решением здесь является линеаризация модели с дальнейшим использованием метода линейного программирования. С этой целью задается некоторое значение из заданного диапазона, в результате задача становится линейной. Полученное решение задачи ЛП можно использовать для корректировки значения ; процесс решения задачи следует продолжать до получения удовлетворительного приближения.