- •Численное интегрирование обыкновеных дифференциальных уравнений
- •Разностная аппроксимация производных.
- •Сеточные функции.
- •Разностные аппроксимации первой производной.
- •Разностная аппроксимация второй производной.
- •Численное решение задачи Коши.
- •Метод Эйлера.
- •Повышение точности разностного метода.
- •Метод Рунге-Кутта.
- •Метод Адамса.
- •Численное решение краевой задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка.
-
Численное интегрирование обыкновеных дифференциальных уравнений
Наиболее универсальными методами численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений являются разностные методы. Они основаны на замене производных в дифференциальном уравнении разностными отношениями. В результате исходное дифференциальное уравнение сводится к системе алгебраических уравнений, которые называются разностными. Решение этой системы дает приближенное решение исходной задачи.
Разностная аппроксимация производных.
Сеточные функции.
Пусть на отрезке задан набор точек
.
Будем называть его сеткой. Чтобы не усложнять изложения, условимся считать сетку равномерной:
, .
Пусть каждой точке сетки сопоставлено по определенному закону число. Совокупность этих чисел назовем сеточной функцией. Сеточные функции, определенные на сетке , образуют-мерное линейное пространство.
Чтобы иметь возможность сравнивать сеточные функции между собой, говорить об их близости, нужно ввести в этом пространстве норму. В этой главе мы будем пользоваться нормой , которая определяется следующим образом:
.
Это определение законно, поскольку удовлетворяет трем аксиомам нормы:
Норма неотрицательна
,
причем равенство нулю имеет место только для нулевого элемента.
Модуль числового множителя можно вынести за знак нормы
.
Неравенство треугольника
.
Справедливость последнего утверждения вытекает из свойства максимума:
.
Разностные аппроксимации первой производной.
Для сеточных функций нельзя ввести обычное понятие производной, включающее операцию предельного перехода при . Вместо производной здесь вводятся разностные отношения:
,;
,;
,.
Отношение называют правой разностной производной, отношение – левой разностной производной и отношение – центральной разностной производной.
Чтобы установить связь разностных отношений – с обычной производной, предположим, что на отрезке определена дифференцируемая функция, значения которой в точках сетки равны значениям рассматриваемой сеточной функции:. Вычислим первую производную функциив точкахи сопоставим с разностными отношениями – :
,;
,;
,.
Эти величины представляют собой погрешности аппроксимации производной с помощью разностных отношений – в точке .
Предположим, что функция дважды непрерывно дифференцируема на отрезкеи запишем для нее формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа
,
где какое-то неизвестное нам число между нулем и единицей. Подставляя разложение в формулу , получим
.
Аналогичное представление можно получить для величины
.
Формулы и не позволяют вычислить соответствующие погрешности, но дают возможность их оценить. Функция , по предположению, непрерывна на отрезке, и, следовательно, ограничена:
, .
В результате получаем
,.
Оценки являются равномерными, поскольку не зависят от индекса . Таким образом, левое и правое разностное отношение аппроксимируют производнуюс первым порядком точности относительно .
Для оценки предположим, что функциятри раза непрерывно дифференцируема на отрезкеи продолжим разложение еще на один член
Подставляя разложения в формулу , будем иметь
.
По предположению функция непрерывна и, следовательно, ограничена на отрезке:
, .
В результате из равенства получим оценку
.
Оценка , как и раньше , не зависит от индекса , она является равномерной. Таким образом, центральная разностная производная дает более хороший результат: она аппроксимирует производнуюсо вторым порядком точности относительно для функций, трижды непрерывно дифференцируемых на отрезке.
Задача 1.
Рассмотреть функцию на сетке
,,.
Вычислить в точке правую, левую и центральную разностные производные, найти погрешности аппроксимации производной , сравнить их с априорными оценками по формулам и .
В данном случае
,
;
,
;
,
.
Перейдем к априорной оценке погрешности. Вторая и третья производные рассматриваемой функции имеют вид
,.
Для них на отрезке справедливы оценки
,.
Так что неравенства и запишутся следующим образом
, , .
Они выполняются.