- •Численное решение линейных алгебраических систем (слау)
- •Прямые методы решения слау.
- •Формулы Крамера
- •Метод Гаусса.
- •Системы с диагональным преобладанием.
- •Системы с трехдиагональной матрицей. Метод прогонки.
- •Обусловленность слау.
- •Норма матрицы.
- •Корректность решения слау.
- •Число обусловленности матрицы.
- •Оценка числа обусловленности.
- •Итерационные методы.
- •Построение итерационных последовательностей.
- •Проблема сходимости итерационного процесса.
- •Достаточные условия сходимости итерационного процесса.
- •Метод простой итерации.
- •Неявные итерационные методы. Метод Зейделя.
- •Метод верхней релаксации
Достаточные условия сходимости итерационного процесса.
В этом разделе мы рассмотрим стационарный итерационный процесс , когда матрица и итерационный параметрне зависят от индекса, и докажем следующую теорему о достаточных условиях его сходимости.
Теорема Самарского
Пусть - самосопряженная положительно определенная матрица:
, ,
- положительно определенная матрица, - положительное число:
, .
Тогда при любом выборе нулевого приближения итерационный процесс, который определяется рекуррентной формулой, сходится к решению исходной системы .
Прежде, чем переходить к доказательству теоремы, обсудим более подробно главное ее требование – положительную определенность матрицы . Это требование можно переписать в виде:
,,.
т. е. оно, в частности, предполагает, что матрица является положительно определенной. Кроме того, неравенство определяет интервал, в котором может изменяться параметр:
.
После этих замечаний перейдем к доказательству теоремы. Выразим из соотношения через:
и подставим в рекуррентную формулу для итерационной последовательности . В результате получим:
.
Отличие итерационной формулы от заключается в том, что она является однородной.
Матрица - положительно определенная. Следовательно она невырожденная и имеет обратную. С ее помощью рекуррентное соотношение можно разрешить относительно:
,
где
, так что.
Умножая обе части равенства слева на матрицу , получим еще одно рекуррентное соотношение
.
Рассмотрим последовательность положительных функционалов:
.
Составим аналогичное выражение для и преобразуем его с помощью рекуррентных формул и :
Из самосопряженности матрицы и формулы следует
В результате формула принимает вид:
Таким образом, последовательность функционалов с учетом условия образует монотонно невозрастающую последовательность, ограниченную снизу нулем
.
Поэтому она сходится. Далее, согласно лемме 3
,
где - строго положительная константа. В результате, согласно и будем иметь
Из этого неравенства и сходимости последовательности функционалов следует, чтопри. В свою очередь, так что
Теорема доказана.
Метод простой итерации.
Такое название получил метод, при котором в качестве матрицы выбирается единичная матрица:, а итерационный параметрпредполагается независящим от номера итерации. Иными словами, метод простой итерации – это явный стационарный метод, когда очередная итерациявычисляется по рекуррентной формуле
Будем считать, что матрица удовлетворяет условию теоремы Самарского,, тогда формула , определяющая границу интервала сходимости по итерационному параметру, принимает вид
.
Пусть - ортонормированный базис собственных векторов оператора, соответствующего матрице. В силу положительной определенности все его собственные значения положительны. Будем считать их занумерованными в порядке убывания:
Разложим вектор по базису собственных векторов
,
тогда
,
и
.
В результате из формулы следует, что метод простой итерации сходится при любом , принадлежащем интервалу
.
Дальнейшее исследование метода простой итерации построим на конкретном анализе рекуррентной формулы . Введем матрицу оператора перехода
,
и перепишем формулу в виде
.
При этом погрешность будет удовлетворять аналогичному рекуррентному соотношению, только однородному
.
Докажем две леммы, которые позволяют более полно исследовать условия сходимости метода простой итерации.
Лемма 1
Пусть оператор, который порождает матрица , имеет собственный вектор с собственным значением , тогда оператор перехода, который порождается матрицей, также имеет собственный вектор , но с собственным значением
.
Доказательство элементарно. Оно проводится прямой проверкой
При самосопряженной матрице матрицатакже является самосопряженной . Следовательно, ее норма определяется наибольшим по модулю собственным значением:
.
Лемма 2
Для того, чтобы метод простой итерации сходился к решению системы при любом выборе начального приближения, необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения оператора перехода были по модулю меньше единицы:
,
Достаточность. Условие означает, что норма матрицы, согласно , будет меньше единицы:. В результате получаем
, при.
Необходимость. Допустим, что среди собственных значенийнашлось хотя бы одно, которое не удовлетворяет условию леммы , т. е.
.
Выберем нулевой член итерационной последовательности в виде , гдерешение системы , тогда нулевой член последовательности погрешностей совпадет с собственным векторомоператора перехода:. В результате рекуррентная формула для следующих членов последовательности погрешностей примет вид:
,.
т. е. . Необходимость выполнения неравенства для всех собственных значенийдля сходимости метода простой итерации доказана.
Лемма 2 определяет программу дальнейшего исследования сходимости метода простой итерации: нужно установить диапазон изменения параметра при котором все собственные значения удовлетворяют неравенству . Это легко сделать. На рис. 1 приведены графики убывающих линейных функций. Все они выходят из одной точки,и идут вниз из-за отрицательных коэффициентов при, причем быстрее всех убывает функция. Когда она принимает значение, условие для нее перестает выполняться:
, при.
Найденное значение является границей интервала сходимости метода простой итерации
.
Это неравенство нам уже известно. Оно было получено ранее из теоремы Самарского как достаточное условие сходимости. Дополнительный анализ на основе леммы 2 позволяет уточнить результат. Теперь мы установили, что принадлежность итерационного параметра интервалу является необходимым и достаточным условием сходимости метода простой итерации.
Перейдем к исследованию скорости сходимости метода. Оценка погрешности показывает, что она убывает по закону геометрической прогрессии со знаменателем
.
Рассмотрим рис. 2, который поможет нам провести анализ этой формулы. Он аналогичен рис.1, только на нем приведены графики не функций , а их модулей. При малыхвсе собственные значенияположительны, причем наибольшим из них является, которое убывает с ростомс наименьшей скоростью. Однако с переходом через точкусобственное значение, меняя знак, становится отрицательным. В результате теперь его модуль с увеличениемне убывает, а растет и приприближается к предельному значению – к единице.
Найдем на отрезке точку, в которой убывающая функциясравнивается с возрастающей функцией. Она определяется уравнением
,
которое дает
.
В результате получаем:
Свое наименьшее значение норма матрицы достигает при:
.
Формула показывает, что для плохо обусловленной матрицы даже при оптимальном выборе итерационного параметра норма матрицыблизка к единице, так что сходимость метода простой итерации в этом случае оказывается медленной.
В заключение заметим, что формула , определяющая границу интервала сходимости , и формула для оптимального значения итерационного параметрапредставляют прежде всего теоретический интерес. Обычно при решении СЛАУ наибольшее и наименьшее характеристические числа матрицынеизвестны, так что подсчитать величиныизаранее невозможно. В результате итерационный параметрнередко приходится подбирать прямо в процессе вычислений методом проб и ошибок.
Задача 2.
Рассмотреть систему двух уравнений с двумя неизвестными
и построить для нее приближенное решение с помощью метода простой итерации.
Выпишем сразу решение системы
, ,
чтобы потом иметь возможность сравнивать его с членами итерационной последовательности.
Перейдем к решению системы методом простой итерации. Матрица системы имеет вид
.
Она самосопряженная и положительно определенная, поскольку
.
Составим характеристическое уравнение для матрицы и найдем его корни:
,
,
С их помощью можно определить границу интервала сходимости и оптимальное значение итерационного параметра:
,.
Для построения итерационной последовательности выберем какое-нибудь значение итерационного параметра на интервале сходимости, например, . В этом случае рекуррентная формула для членов итерационной последовательности принимает вид:
, где
Возьмем простейшее начальное приближение и выпишем несколько первых членов итерационной последовательности, подсчитывая для каждого из них невязку. В результате получим:
, , ,
, , ,
, , ,
, , .
Норма невязок, хотя и медленно, но убывает, что говорит о сходимости процесса. Это же видно из сравнения членов итерационной последовательности с решением системы . Медленная сходимость связана с плохой обусловленностью матрицы:
.