3. Метод касательных (метод Ньютона).

Метод касательных, связанный с именем Ньютона, является одним из наиболее эффективных численных методов решения уравнений. Идея метода очень проста. Предположим, что функция , имеющая кореньна отрезке, дифференцируема на этом отрезке и ее производнаяне обращается на нем в ноль. Возьмем произвольную точкуи запишем уравнение касательной к графику функциив этой точке

.

График функции и ее касательной близки около точки касания, поэтому естественно ожидать, что точкапересечения касательной с осьюбудет расположена недалеко от корня(см. рис. 2). Для определения точкиимеем уравнение

,

согласно которому

.

Повторим проделанную процедуру: напишем уравнение касательной к графику функции в точкеи найдем для нее точку пересеченияс осью(см. рис. 2):

.

Продолжая этот процесс, получим последовательность , определенную с помощью рекуррентной формулы

.

При ее исследовании, как и при исследовании последовательности метода итераций, встают два вопроса:

1. Можно ли процесс вычисления чисел по рекуррентной формуле продолжать неограниченно, т. е. будут ли эти числа принадлежать отрезку?

2. Если процесс бесконечен, то как ведет себя последовательность при?

При анализе этих вопросов предположим, что корень является внутренней точкой отрезка, а функциядважды непрерывно дифференцируема на данном отрезке, причем ее производные удовлетворяют неравенствам

,,.

Следует обратить внимание на то, что в неравенствах величина дает оценку модуля первой производнойснизу, а величинаоценку модуля второй производнойсверху.

Теорема о сходимости метода касательных.

Если функция удовлетворяет сформулированным условиям, то найдется такое:, что при любом выборе начального приближенияна отрезкесуществует бесконечная итерационная последовательность и эта последовательность сходится к корню.

В силу предположения о дифференцируемости функции и неравенстве нулю ее производной, уравнение эквивалентно на отрезкеуравнению

, где,

так что корень исходного уравнения является одновременно корнем уравнения . Исследуем возможность отыскания этого корня с помощью метода итераций.

Вычислим и оценим производную функции :

,

.

Теперь воспользуемся непрерывностью функции и ее равенством нулю в точке. Возьмем. Для данногоможно указать такое:, что для всехвыполняется неравенство

.

Учитывая это, получим окончательную оценку производной

,.

В соответствии с результатами предыдущего параграфа, неравенство означает, что уравнение можно решать методом итераций: при любом выборе нулевого приближения на отрезке существует бесконечная последовательность , сходящаяся к корню. Нам остается только заметить, что итерационной последовательностью для уравнения является последовательность метода касательных.

Требование близости нулевого приближения к искомому корню является существенным для метода касательных. На рис. 3 изображен график той же функции, что и на рис. 2, однаковыбрано дальше от корня, чем в первом случае. В результате после первого шага получается точка, которая не принадлежит исходному отрезкуи процесс построения рекуррентной последовательности обрывается. Таким образом, для правильного выбора нулевого приближения нужно еще до начала расчетов знать область локализации искомого корня. В случае необходимости ее можно уточнить с помощью нескольких шагов по методу вилки. Затруднения, связанные с предварительным исследованием уравнения, вполне окупаются высокой скоростью сходимости метода касательных.

Задача 3.

Найти приближенное значение корня уравнения методом касательных.

Рекуррентная формула метода касательных принимает в данном случае вид

.

Выберем, как и для метода итераций, в качестве нулевого приближения и подсчитаем следующие приближения. Результаты вычислений приведены в таблице 3. Мы видим, что, начиная с номера, последовательность убывает, приближаясь к корнюсверху. После четвертого шага процесс «останавливается»: пятая итерация дает тот же результат. Причина этого явления заключается в следующем. Расчеты ведутся с 12 десятичными знаками. Когда погрешность оказывается меньше, становится невозможно уловить разницу междуи, лежащую за пределами ошибки округления.

Таблица 3.

Приведенный пример показывает очень высокую скорость сходимости метода Ньютона. После двух шагов мы достигли точности . Это лучше результатов, которые мы имели в методе вилки на девятом шаге, в методе итераций – на девятнадцатом. После четырех шагов погрешность в определении корня составила.

Задача 4.

Рассмотреть вычисление как задачу решения уравнения

в области . Написать для вычисления корня уравненияитерационную последовательность по методу касательных. Вычислить с ее помощью.

Рекуррентная формула метода касательных для уравнения принимает вид

.

Она определяет монотонно убывающую последовательность, сходящуюся к сверху.

Перейдем ко второй части задания. Напомним, что . Выбирая, сделаем несколько итераций по формуле :

Третья итерация определяет с погрешностью.Расчет по формуле много проще вычисленияпо школьному алгоритму последовательного определения десятичных знаков.