Задание на выполнение курсовой работы.

1. расчет, выполненный в математическом пакете Matlab (R2009b) (файл-функция для описания подынтегральной функции, график функции, решение в символьном и численном виде, вычисление с помощью циклов: четные и не четные варианты).

2. Вычисление интеграла в электронных таблицах MS Excel (вид подынтегральной функции, график функции, провести серию расчетов при n = 20, 30: методом левых и правых прямоугольников; методом трапеций и методом Симпсона).

3. Создание приложения для нахождения решения интегрального уравнения в среде Delphi (вид подынтегральной функции, график на заданном интервале, для каждого численного метода задать пользовательскую подпрограмму с передачей параметров). Итоговые результаты отобразить на форме в виде таблицы и в файле. Предусмотреть изменение точности значения (Е = 0,001).

4. вид уравнения

Теория вычисления интеграла. Описание используемых численных методов.

Многие инженерные задачи, задачи физики, геометрии и многих других технических областях, приводят к необходимости вычислять определенный интеграл вида,

где f(x) – подынтегральная функция, непрерывная на отрезке [a ; b].

Если интеграл от данной функции не может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница,

или если функция f(x) задана графически или таблицей, то для вычисления определенного интеграла применяют приближенные формулы. Для приближенного вычисления интеграла существует много численных методов, таких как:

1. Метод прямоугольников (правых и левых);

2. Трапеций;

3. Симпсона и др.

1. Метод прямоугольников (правых и левых)

Необходимость вычисления значений определенных интегралов при моделировании возникает достаточно часто.

Формула Ньютона-Лейбница

(1)

имеет ограниченное применение:

во-первых, не позволяет вычислить интегралы от таблично заданной подынтегральной функции f(x);

во-вторых, не всякая подынтегральная функция имеет первообразную F(x).

Численные методы интегрирования универсальны: позволяют вычислить значение определенного интеграла непосредственно по значениям подынтегральной функции f(x), независимо от способа ее задания или вида аналитического выражения.

Геометрический смысл определенного интеграла – площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью OX, кривой f(x), и прямыми x = a и x = b (Рис.1.).

Численные методы интегрирования основаны на различных способах оценки этой площади, поэтому полученные формулы численного интегрирования называются квадратурными (формулами вычисления площади).

Рассмотрим получение и применение простейших формул.

Отрезок [a, b] делят на n необязательно равных частей – элементарных отрезков. Принято такое деление отрезка называть сеткой, а точки x_о, x₁,…, x_n – узлами сетки.

Рис.1. Геометрический смысл определённого интеграла

Если сетка равномерная, то

(1)

– шаг сетки, при интегрировании – шаг интегрирования, а координата i-го узла вычисляется по формуле:

, (2)

Полная площадь криволинейной трапеции состоит из n элементарных криволинейных трапеций – элементарных площадей:

(3)

1. Метод правых треугольников

б) Метод левых прямоугольников