Урожай яровой пшеницы в зависимости от орошения, ц/га

Варианты	Повторности			Итого	Средние
	1	2	3
Без орошения Влагозарядковый Вегетационный Влагозарядковый + вегетационный	13,8 23,2 25,1 28,4	14,6 24,9 26,6 30,2	15,3 28,4 29,6 32,6	43,7 76,5 81,3 91,2	14,6 25,5 27,1 30,4
Итого	90,5	96,3	105,9	292,7	–
Средние	22,6	24,1	26,5	–	24,4

Средние урожаи по вариантам варьируют от 14,6 до 30,4 ц/га. Выдвинем гипотезу о том, что различия в средней урожайности по вариантам носят случайный характер ("нулевая гипотенуза"). С помощью дисперсионного анализа необходимо ответить на вопрос: справедлива ли выдвинутая гипотенуза или различия в урожайности по вариантам не могут быть результатами случайного варьирования выборочных средних. По условиям опыта вариация урожайности по каждому варианту обусловлена двумя причинами – плодородием почвы в блоках и случайностью. Поэтому варьирование по каждому варианту необходимо разделить на вариацию, связанную с блоками, и случайную вариацию. Тогда общий объем вариации урожайности будет равен:

W₀=W_вар+W_повт+W_ост,

где W₀ – общая вариация урожайности;

W_вар – вариация урожайности, обусловленная различием вариантов опыта;

W_повт –вариация обусловленная различиями плодородия почвы в блоках;

W_ост – случайная вариация.

W₀=;

W_вар=;

W_повт=;

W_ост= W₀-W_вар-W_повт,

где – варианты опыта;

–общая средняя;

–средняя по варианту;

–средняя по повторности.

1. Рассчитаем суммы квадратов отклонений

W₀=(13,8-24,4)²+(14,6-24,4)²+(15,3-24,4)²+(23,2-24,4)²+(24,9-24,4)²+(28,4-24,4)²+(25,1-24,4)²+(26,6-24,4)²+(29,6-24,4)²+(28,4-24,4)²+(30,2-24,4)²+(32,6-24,4)²=458,15

W_вар=(14,6-24,4)²·3+(25,5-24,4)²·3+(27,1-24,4)²·3+(30,4-24,4)²·3=421,62

W_повт=(22,6-24,4)²·4+(24,1-24,4)²·4+(26,5-24,4)²·4=30,96

W_ост=458,15-421,62-30,96=5,57

Установим число степеней свободы для каждой суммы квадратов отклонений:

W₀ ν ₀=N-1=12-1=11

W_вар ν ₁=m-1=4-1=3

W_повт ν ₂=n-1=3-1=2

W_ост ν ₃₌ν ₀- ν ₁- ν ₂= (N-1)-(m-1)-(n-1)=11-3-2=6

2. Рассчитаем необходимые для определения F – критерия дисперсии на одну степень свободы:

D_вар=

D_повт=

D_ост=

3. Вычислим фактическое значение F – критерия для дисперсии по вариантам:

F_фак=

Принимая вероятность суждения 0,95 по таблицам 5%-го уровня распределения F (приложение 1) найдем его критическое значение. Оно находится на пересечении столбца ν ₁=3 и строки ν ₂=6 и равно 4,76.

F_фак>F_0,05, следовательно, нулевая гипотеза отвергается, можем утверждать, что различие в урожайности проверяемых вариантов существенно.

Вычислив фактическое значение F – критерия для дисперсии с повторностями F_повт=15,48÷0,93=16,65 и сравнив его с критическим, найденным по таблице F_0,05=5,14 (приложение 1), делаем вывод о достоверности различий в урожайности по повторностями.

4. Результаты дисперсионного анализа можно дополнить оценкой достоверности разности между двумя средними. Для этого рассчитывают стандартную ошибку выборочных средних на основе остаточной дисперсии. Стандартная ошибка средней одинакова для всех групповых средних и рассчитывается по формуле:

Стандартная ошибка разности двух средних есть корень квадратный из суммы стандартных ошибок сравниваемых средних:

На основе стандартной ошибки разности двух средних вычисляется возможная предельная ошибка:

где t – критерий Стьюдента определяется по таблице (приложение 2) при заданном уровне вероятности и числе степеней свободы остаточной дисперсии.

Величина ε_Р является наименьшей существенной разностью (НСР). Она сопоставляется с разностью двух сравниваемых средних:

НСР=х₁-х₂

Если разность между средними по абсолютной величине окажется больше, чем возможная предельная ошибка, то делается вывод о существенности разности средних.

Для нашего примера:

По таблицам найдем значение t – критерия Стьюдента при уровне значимости 0,05 (такой уровень принят в дисперсионном анализе) и числе степеней свободы ν_{3 =}6 для остаточной дисперсии. Он равен 2,45.

Рассчитаем НСР:

НСР =2,45·0,79=1,94.

Средние по вариантам орошения следующие:

х₁=14,6; х₂=25,5; х₃=27,1; х₄=30,4

Составим следующие равности:

х₁–х₂= –10,9; х₁–х₃= –12,5; х₁–х₄= –15,8;

х₂-х₃= –1,6; х₂–х₄= –4,9; х₃–х₄ = – 3,3

Сопоставление этих разностей с возможной предельной ошибкой свидетельствует о том, что между 1,2 и 3,4 вариантами различия достоверны.